110 專技高考高等考試 大地工程技師第一階段考試 平面測量與營建管理 考古題詳解

核心觀念

本題考查全測站儀的已知點設站觀測、極座標法求點位，以及利用水平距離與高差計算坡度。已知 $A$、$B$ 的 TWD97 二度 TM 平面坐標及 TWVD2001 高程；分別在 $A$、$B$ 設站觀測坡頂 $P$，再由 $A$、$B$ 的中點求得坡腳代表點 $C$。

若 $C$ 定義為線段 $AB$ 的中點，其坐標及沿 $AB$ 線性內插的高程為：

坡度以 $C$ 至 $P$ 的高差除以水平距離計算。

解題方法

一、求 $C$ 的坐標與高程

由已知的 $A$、$B$ 坐標及高程，分別取平均值，求得 $C$ 的平面坐標與高程。高程取平均代表沿 $AB$ 線性內插；若地面高程並非線性變化，應在 $C$ 實地測高程，而不能只由兩端高程推定。

二、在 $A$、$B$ 設站觀測 $P$

1. 全測站儀分別架設於 $A$、$B$，量取儀器高 $i_A$、$i_B$；於 $P$ 設置反射稜鏡並量取目標高 $t_P$。
2. 在 $A$ 站以 $B$ 為後視定向，在 $B$ 站以 $A$ 為後視定向。由兩點已知坐標計算基線方位角，例如：

依各站觀測的水平角，計算 $AP$、$BP$ 的方位角。 3. 各站觀測至 $P$ 的水平角、天頂距 $z$ 與斜距 $s$。以天頂距自鉛直方向起算時，斜距分解為：

其中 $d_h$ 為水平距離，$d_v$ 為測站至稜鏡的垂直分量。 4. 若 $A$ 站至 $P$ 的方位角為 $\alpha_{AP}$，則由 $A$ 站求得：

$B$ 站同理，求得 $E_P^{(B)}$、$N_P^{(B)}$、$H_P^{(B)}$。兩站成果應檢核差異，並依觀測精度以加權平均或網形平差求得 $P$ 的最終坐標與高程；

核心觀念

本題考查場鑄基樁施工中各項缺失及其對樁身品質的影響，並要求以「特性要因圖」（魚骨圖）整理缺陷成因。場鑄基樁的品質，取決於樁孔形成、穩定與清理、鋼筋籠安放、混凝土澆置及施工管理等環節；前一環節的缺失常會直接造成後續樁身不連續、截面不足或承載性能降低。

作答時應分清楚兩類內容：

• 施工缺失（要因）：施工中發生的錯誤或不當控制。
• 品質不良（結果）：缺失造成的樁身缺陷或性能問題。

解題方法

以「基樁品質不良」作為魚骨圖的結果，再按施工流程分類列出主要要因。每項要因均配對說明可能造成的品質不良，便能同時回答「施工缺失」與「缺失所導致之品質不良」，也能清楚呈現兩者的因果關係。

施工缺失與品質不良

一、樁位與樁孔施工

• 樁位放樣錯誤、鑽孔垂直度控制不佳、孔徑或孔深不足：造成樁位偏差、樁身傾斜、樁長不足或樁身截面不足，影響基樁承載力與群樁配置。
• 鑽掘過程控制不當，孔壁支撐不足：造成孔壁坍塌、縮頸、擴孔或局部土砂混入，導致樁身截面不規則、樁身夾泥及樁身完整性降低。
• 遇地層變化或地下水時，未妥善控制泥漿、套管或鑽掘作業：易造成孔壁不穩、孔底沉積增加，並使後續清孔與混凝土澆置品質不良。

二、清孔與孔底處理

• 清孔不完全，孔底沉渣過厚：使樁底混凝土與持力層接觸不良，產生樁底軟弱、沉陷量增加或端承力降低。
• 清孔後未維持孔壁穩定，或等待澆置時間過長：孔壁剝落及沉渣再度沉積，造成樁底及樁身夾泥、混凝土品質不均。
• 孔內泥漿性質或含砂量控制不當：澆置時泥漿不易排除，造成泥漿混入混凝土、樁身夾泥或局部不密實。

三、鋼筋籠製作與安放

• 鋼筋籠尺寸、主筋數量、間距或接頭施工不符要求：造成配筋不足、鋼筋籠變形或接頭不良，降低樁身抗彎及抗剪能力。
• 鋼筋籠吊放碰撞孔壁或下放不到位：造成鋼筋籠變形、偏位、浮起或埋置深度不足，使保護層厚度不均、鋼筋外露，甚至影響樁身完整性。
• 保護層墊塊不足或位置不當：使鋼筋貼近孔壁或保護層不足，影響耐久性及鋼筋與混凝土的握裹。

四、混凝土澆置

核心觀念

本題考查測量平差與誤差理論中的等精度直接觀測平差，涉及以下定義與公式：

1. 最或是值（Most Probable Value, $x$）： 在等精度獨立觀測條件下，一量的最或是值即為該組觀測值的算術平均值： $x = \frac{\sum_{i=1}^n l_i}{n}$
2. 殘差（Residual, $v_i$）： 各觀測值與最或是值之差，滿足 $\sum v_i = 0$ 的特性： $v_i = l_i - x$
3. 單一觀測值中誤差（Standard Error of a Single Observation, $m$）： 由白塞爾公式（Bessel's Formula）定義： $m = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n - 1}}$
4. 最或是值中誤差（Standard Error of the Most Probable Value, $m_x$）： 依誤差傳播定律，算術平均數之中誤差為單一觀測值中誤差除以觀測次數之平方根： $m_x = \frac{m}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n(n - 1)}}$

解題方法

步驟一：計算最或是值 $x$

已知觀測次數 $n = 4$，各觀測值分別為 $l_1 = 106.68\ \mathrm{m}$、$l_2 = 106.66\ \mathrm{m}$、$l_3 = 106.62\ \mathrm{m}$、$l_4 = 106.60\ \mathrm{m}$。 $x = \frac{106.68 + 106.66 + 106.62 + 106.60}{4} = \frac{426.56}{4} = 106.64\ \mathrm{m}$

步驟二：計算各觀測值之殘差 $v_i$ 與殘差平方和 $\sum v_i^2$

• $v_1 = 106.68 - 106.64 = +0.04\ \mathrm{m}$
• $v_2 = 106.66 - 106.64 = +0.02\ \mathrm{m}$
• $v_3 = 106.62 - 106.64 = -0.02\ \mathrm{m}$
• $v_4 = 106.60 - 106.64 = -0.04\ \mathrm{m}$

檢核殘差和： $\sum v_i = (+0.04) + (+0.02) + (-0.02) + (-0.04) = 0\ \mathrm{m}$

計算殘差平方和： $\sum v_i^2 = (0.04)^2 + (0.02)^2 + (-0.02)^2 + (-0.04)^2$

核心觀念

本題測驗測量平差之核心觀念——非線性函數之誤差傳播定律（Law of Error Propagation）。

1. 圓面積之最或是值（Most Probable Value）： 設圓半徑為 $R$，圓面積函數為： $A = f(R) = \pi R^2$ 以半徑之最或是值代入函數即可求得面積之最或是值。

2. 誤差傳播定律（單一觀測量函數）： 若函數為 $y = f(x)$，且 $x$ 具中誤差 $\sigma_x$，根據一階泰勒展開式線性化，其函數值之中誤差 $\sigma_y$ 為： $\sigma_y = \left| \frac{df}{dx} \right| \sigma_x$ 對圓面積 $A = \pi R^2$ 微分可得： $\frac{dA}{dR} = 2\pi R$ 因此，圓面積的最或是值中誤差公式為： $\sigma_A = \left| \frac{dA}{dR} \right| \sigma_R = 2\pi R \cdot \sigma_R$

解題方法

步驟一：計算圓面積之最或是值 $A$ 將題目給定半徑最或是值 $R = 9.87\ \mathrm{m}$ 代入面積公式： $A = \pi R^2 = \pi \times (9.87)^2 \approx 3.14159265 \times 97.4169 \approx 306.0402\ \mathrm{m}^2$ 取合理有效位數表示為 $306.04\ \mathrm{m}^2$。

步驟二：計算圓面積之最或是值中誤差 $\sigma_A$ 根據誤差傳播公式，將 $R = 9.87\ \mathrm{m}$ 及 $\sigma_R = 0.05\ \mathrm{m}$ 代入： $\sigma_A = 2\pi R \cdot \sigma_R = 2 \times \pi \times 9.87 \times 0.05$ 利用乘法結合律化簡計算： $\sigma_A = (2 \times 0.05) \times \pi \times 9.87 = 0.10 \times \pi \times 9.87 \approx 0.10 \times 31.0069 \approx 3.1007\ \mathrm{m}^2$

核心觀念

本題測驗「測量誤差理論」與「等權觀測平差」，主要涵蓋以下核心觀念：

1. 粗差（Blunder）之辨識與剔除： 測量誤差包含系統誤差、偶然誤差與粗差。平差計算係以「觀測值僅含偶然誤差」為基本前提。若觀測值中存在記錄錯誤、讀數錯誤等顯著偏離群體的粗差，必須先行剔除，不可納入平均計算。
2. 等權觀測的最或是值（Most Probable Value, $\bar{X}$）： 在同精度（等權）獨立觀測下，觀測量的最或是值即為有效觀測值的算術平均值： $\bar{X} = \frac{\sum L_i}{n}$
3. 白賽爾公式（Bessel's Formula）：

• 單一觀測值中誤差（$m$）： $m = \pm\sqrt{\frac{[vv]}{n - 1}}$ 其中 $v_i = L_i - \bar{X}$ 為殘差（改正數），$[vv] = \sum v_i^2$ 為殘差平方和，$n$ 為有效觀測次數。
• 最或是值中誤差（$m_{\bar{X}}$）： $m_{\bar{X}} = \pm\frac{m}{\sqrt{n}} = \pm\sqrt{\frac{[vv]}{n(n - 1)}}$

解題方法

步驟一：粗差檢核與剔除

題目給定 4 次角度觀測值：

• $L_1 = 123^\circ10'20''$
• $L_2 = 123^\circ09'59''$
• $L_3 = 23^\circ46'38''$
• $L_4 = 123^\circ10'41''$

檢視觀測數據可知，$L_1$、$L_2$、$L_4$ 皆集中於 $123^\circ10'$ 附近，而 $L_3 = 23^\circ46'38''$ 與其餘三次觀測相差近 $100^\circ$，顯係讀數或記錄漏字之「粗差」。粗差不屬於偶然誤差，必須直接剔除。 因此，有效觀測次數 $n = 3$（取 $L_1, L_2, L_4$）。

步驟二：計算角度的最或是值（$\bar{X}$）

以 $123^\circ10'20''$ 為基準，將剩餘 3 個有效觀測值取算術平均： $\bar{X} = \frac{123^\circ10'20'' + 123^\circ09'59'' + 123^\circ10'41''}{3} = 123^\circ10'20''$

步驟三：計算殘差（$v_i$）與殘差平方和（$[vv]$）

• $v_1 = L_1 - \bar{X} = 123^\circ10'20'' - 123^\circ10'20'' = 0''$
• $v_2 = L_2 - \bar{X} = 123^\circ09'59'' - 123^\circ10'20'' = -21''$
• $v_4 = L_4 - \bar{X} = 123^\circ10'41'' - 123^\circ10'20'' = +21''$

核心觀念

本題測驗測量學中「最或是值（Most Probable Value）的線性函數運算」與「誤差傳播定律（Law of Error Propagation）」。

1. 最或是值的線性代數和： 若函數為觀測量的線性組合 $Y = aX_1 + bX_2$，其最或是值即為各觀測量最或是值代入後的代數和。
2. 獨立觀測量的誤差傳播定律： 若觀測量 $X_1, X_2$ 彼此獨立（協方差 $\sigma_{12} = 0$），各量之中誤差（標準差）分別為 $\sigma_1, \sigma_2$，則函數 $Y = f(X_1, X_2)$ 之中誤差 $\sigma_Y$ 為： $\sigma_Y = \sqrt{\left(\frac{\partial Y}{\partial X_1}\right)^2 \sigma_1^2 + \left(\frac{\partial Y}{\partial X_2}\right)^2 \sigma_2^2}$

解題方法

步驟一：計算 $PR$ 之最或是值

由題目給定幾何關係 $PR = PQ + QR$，將兩段的最或是值直接相加： $PR = 123.45 + 98.76 = 222.21\ \mathrm{m}$

步驟二：利用誤差傳播定律計算 $PR$ 之最或是值中誤差

令 $PR = f(PQ, QR) = PQ + QR$。 對各觀測量求偏導函數： $\frac{\partial PR}{\partial PQ} = 1, \quad \frac{\partial PR}{\partial QR} = 1$

題目中 $PQ$ 與 $QR$ 為獨立直接觀測，其最或是值中誤差分別為 $\sigma_{PQ} = 0.03\ \mathrm{m}$ 與 $\sigma_{QR} = 0.04\ \mathrm{m}$。 依誤差傳播定律展開：

核心觀念

本題測驗之核心為交互水準測量（Reciprocal Levelling）。

1. 適用時機： 當水準測線跨越河流、峽谷或沼澤等障礙物，儀器無法架設於兩點正中央進行前後視距離相等之對稱觀測時，為克服視線距離過長所帶來的誤差，採用交互水準測量。
2. 誤差消除原理： 在障礙物兩側分別設站觀測對岸與本岸之水準尺讀數，將兩次觀測求得之「視高程差」取平均值，可有效消除：

• 視準軸不平行於水準管軸之誤差（$i$ 角誤差）
• 地球曲率差與大氣折光差（球差與氣差，合稱兩差）

3. 計算公式： 設以 $A$ 點為後視（已知點）、$B$ 點為前視（待求點）：

• 於 $A$ 側設站時，$A$ 尺讀數為 $a_1$、$B$ 尺讀數為 $b_1$，視高程差為 $\Delta h_1 = a_1 - b_1$。
• 於 $B$ 側設站時，$A$ 尺讀數為 $a_2$、$B$ 尺讀數為 $b_2$，視高程差為 $\Delta h_2 = a_2 - b_2$。
• $A$ 至 $B$ 之真實高程差為： $\Delta h_{AB} = \frac{\Delta h_1 + \Delta h_2}{2} = \frac{(a_1 - b_1) + (a_2 - b_2)}{2} = \frac{(a_1 + a_2) - (b_1 + b_2)}{2}$
• $B$ 點高程為： $H_B = H_A + \Delta h_{AB}$

解題方法

步驟一：整理各測站觀測讀數並求視高程差

• 測站一（位於 $A$ 側）：

• $A$ 點讀數 $a_1 = 1.643\ \mathrm{m}$

• $B$ 點讀數 $b_1 = 1.952\ \mathrm{m}$

• 視高程差： $\Delta h_1 = a_1 - b_1 = 1.643 - 1.952 = -0.309\ \mathrm{m}$

• 測站二（位於 $B$ 側）：

• $A$ 點讀數 $a_2 = 1.822\ \mathrm{m}$

• $B$ 點讀數 $b_2 = 2.153\ \mathrm{m}$

• 視高程差： $\Delta h_2 = a_2 - b_2 = 1.822 - 2.153 = -0.331\ \mathrm{m}$

步驟二：計算真實高程差 $\Delta h_{AB}$

將兩站之高程差取平均值，抵銷儀器誤差與球差、氣差：

核心觀念

本題測驗之核心為**三角高程測量（Trigonometric Leveling）**之基本原理與高程推算公式。

1. 天頂距（Zenith Angle, $Z$）之定義： 天頂距是以測站之鉛垂天頂方向為 $0^\circ$，水平方向為 $90^\circ$。

• 當 $Z < 90^\circ$ 時，視線朝上，為仰角（$\alpha = 90^\circ - Z$）。
• 當 $Z > 90^\circ$ 時，視線朝下，為俯角（$\alpha = Z - 90^\circ$）。

2. 高程推算基本公式： 若不考慮球差與氣差（本題距離僅約 $57\ \mathrm{m}$，短距離下球氣差小於 $0.001\ \mathrm{m}$，可忽略不計），兩點間之高程關係式為： $H_B = H_A + i + \Delta h - t$ 其中：

• $H_A$：測站 $A$ 點高程
• $H_B$：目標 $B$ 點高程
• $i$：儀器高（Instrument height）
• $t$：稜鏡高／覘標高（Target/Prism height）
• $\Delta h$：儀器橫軸中心至稜鏡中心之垂直高差，由斜距 $S$ 與天頂距 $Z$ 計算求得： $\Delta h = S \cdot \cos Z = S \cdot \sin(90^\circ - Z)$

解題方法

步驟一：將天頂距角度換算為十進位度數 $Z = 82^\circ 19' 36''$ $19' 36'' = 19' + \left(\frac{36}{60}\right)' = 19.6'$ $19.6' = \left(\frac{19.6}{60}\right)^\circ \approx 0.32667^\circ$ $Z = 82.32667^\circ$ （若換算為仰角 $\alpha$：$\alpha = 90^\circ - 82^\circ 19' 36'' = 7^\circ 40' 24'' \approx 7.67333^\circ$）

步驟二：計算儀器中心至稜鏡中心之垂直高差 $\Delta h$ $\Delta h = S \cdot \cos Z = 57.362 \times \cos(82^\circ 19' 36'')$ $\cos(82^\circ 19' 36'') = \sin(7^\circ 40' 24'') \approx 0.133525$ $\Delta h = 57.362 \times 0.133525 \approx +7.659\ \mathrm{m}$

步驟三：代入三角高程公式求解 $B$ 點高程 $H_B$ $H_B = H_A + i + \Delta h - t$

核心觀念

1. 閉合水準測量之高程閉合差（Misclosure, $f_h$）： 在一閉合水準路線中，起點與終點為同一水準點，理論上全線各測段高程差之代數和應為零。實測各測段高程差之總和即為高程閉合差： $f_h = \sum \Delta H$
2. 水準測量之精度表示法： 水準測量之偶然誤差與觀測距離之平方根成正比。工程測量實務上，水準測量的成果精度或容許限差通常以路線長度的平方根函數表示： $f_h = C\sqrt{K} \implies C = \frac{|f_h|}{\sqrt{K}}$ 其中：

• $|f_h|$ 為高程閉合差絕對值（單位：$\mathrm{mm}$）。
• $K$ 為水準路線總長度（單位：$\mathrm{km}$）。
• $C$ 為精度指標係數，成果精度以 $C\ \mathrm{mm}\sqrt{k}$ 表示（$k$ 代表以公里為單位的路線長度）。

解題方法

本題為標準的閉合水準測量精度檢核題型，解題步驟分為計算總路線長、計算閉合差、推算精度指標三步：

1. 計算水準路線總長度 $K$： 路線由 $A \to B \to C \to A$ 閉合，總長度為各段距離總和： $K = L_{AB} + L_{BC} + L_{CA} = 1.2 + 1.7 + 1.1 = 4.0\ \mathrm{km}$ 其平方根值為： $\sqrt{K} = \sqrt{4.0} = 2.0$

2. 計算高程閉合差 $f_h$： 加總各測段實測高程差：

閉合差之絕對值 $|f_h| = 16\ \mathrm{mm}$。

3. 計算此次水準測量之精度： 將總閉合差除以總長度平方根：

核心觀念

1. 水準測量測站數與轉點關係：在水準測量中，兩固定點（起點 $A$ 與終點 $B$）之間若設置 $k$ 個轉點（Turning Point, TP），則測線被分割為 $k + 1$ 個測段，亦即共需架設 $n = k + 1$ 個儀器測站。
2. 標尺讀數總次數：每一測站皆需觀測一次後視（Backsight, BS）與一次前視（Foresight, FS），故每一測站包含 2 次標尺讀數，全線共計 $2n = 2(k + 1)$ 次獨立觀測。
3. 誤差傳播定律（Law of Propagation of Errors）：水準測量中之各次標尺讀數為相互獨立之觀測量。若各觀測量之中誤差皆為 $\sigma_0$，則線性函數（各讀數之代數和）之中誤差等於各獨立觀測誤差之平方和開根號。

解題方法

步驟一：計算總測站數與標尺讀數總次數 $AB$ 兩點間設置 3 個轉點（$TP_1, TP_2, TP_3$），測站數 $n$ 為： $n = 3 + 1 = 4\text{（站）}$

每一測站均有 1 次後視讀數與 1 次前視讀數，全線標尺讀數總次數 $N$ 為： $N = 2 \times n = 2 \times 4 = 8\text{（次）}$

步驟二：建立高程差數學函數 設各測站之後視讀數為 $b_i$、前視讀數為 $f_i$（$i = 1, 2, 3, 4$），則 $AB$ 兩點間之總高程差 $\Delta h_{AB}$ 為： $\Delta h_{AB} = \sum_{i=1}^{4} b_i - \sum_{i=1}^{4} f_i = (b_1 + b_2 + b_3 + b_4) - (f_1 + f_2 + f_3 + f_4)$

步驟三：依誤差傳播定律計算高程差中誤差 已知各標尺讀數相互獨立，且單一標尺讀數中誤差 $\sigma_0 = \pm 1\ \mathrm{mm}$。各項偏微分係數 $\frac{\partial \Delta h_{AB}}{\partial b_i} = 1$、$\frac{\partial \Delta h_{AB}}{\partial f_i} = -1$，其平方皆為 $1$。

核心觀念

本題考查水準測量中的視線高法（Height of Instrument Method，又稱儀高法）於縱斷面測量之應用。

1. 名詞定義：

• 後視（Backsight, $BS$）：立於已知高程點上的水準尺讀數，用以推算儀器視線高程。
• 視線高（Height of Instrument, $HI$）：水準儀望遠鏡視線之絕對高程。
• 中視（Intermediate Sight, $IS$）：沿測線加設之中間地面點水準尺讀數，不作為轉點使用。
• 前視（Foresight, $FS$）：立於待定轉點或終點上的水準尺讀數，作為向前傳遞高程之用。

2. 基本計算公式：

• 視線高： $HI = h_A + BS$
• 中視點高程： $h_P = HI - IS$
• 前視點高程： $h_B = HI - FS$

解題方法

採用視線高法依序推算視線高以及各點高程：

1. 計算水準儀視線高（$HI$）： 已知點 $A$ 之高程 $h_A = 213.836\ \mathrm{m}$，後視讀數 $BS = 2.963\ \mathrm{m}$： $HI = h_A + BS = 213.836 + 2.963 = 216.799\ \mathrm{m}$

2. 計算中視點 $P$ 之高程（$h_P$）： 中視讀數 $IS = 2.23\ \mathrm{m}$，由視線高扣除該點尺讀數： $h_P = HI - IS = 216.799 - 2.23 = 214.569\ \mathrm{m}$

3. 計算前視點 $B$ 之高程（$h_B$）： 前視讀數 $FS = 0.925\ \mathrm{m}$，由視線高扣除該點尺讀數：

核心觀念

本題測驗水準測量中**視準軸誤差（$i$ 角誤差）**對水準尺讀數之影響與改正計算。

1. 小角度弧度換算： 當角度 $\alpha$ 極小時，$\tan\alpha \approx \sin\alpha \approx \alpha\ (\text{rad})$。 一弧度（radian）約等於 $206,265''$（常記為 $\rho'' \approx 206,265''$）。
2. 視準軸傾斜所致之讀數誤差公式： $\Delta h = D \cdot \tan\alpha \approx D \cdot \frac{\alpha''}{\rho''}$ 其中：

• $D$ 為儀器至水準尺之水平距離。
• $\alpha''$ 為視準軸與水平線之夾角（以角秒為單位）。
• $\Delta h$ 為尺上讀數之誤差量（偏離真水平線之高差）。

3. 改正符號判斷： 水準尺刻劃自底端向頂端遞增。若視準軸偏高（仰角），則視線截於水準尺之位置高於真實水平視線，使觀測讀數偏大。因此： $\text{正確讀數} = \text{觀測讀數} - \text{偏高量}\ (\Delta h)$

解題方法

步驟一：計算尺讀數誤差量（$\Delta h$）

已知水平距離 $D = 50\ \mathrm{m}$，夾角 $\alpha = 20''$，弧度轉換常數 $\rho'' = 206,265''$： $\Delta h = D \cdot \frac{\alpha''}{\rho''} = 50 \times \frac{20}{206,265} = \frac{1,000}{206,265} \approx 0.00485\ \mathrm{m} \approx 0.005\ \mathrm{m}$

步驟二：改正觀測讀數

由於視準軸往上偏高，瞄準水準尺之點高於真正水平線，觀測所得讀數偏大，必須扣除偏高量 $\Delta h$： $\text{正確讀數} = 1.478 - 0.005 = 1.473\ \mathrm{m}$

核心觀念

1. 天頂距（Zenith Distance, $Z$）之定義： 天頂距係以測站鉛垂線朝上之天頂方向為基準（$0^\circ$），向下至視線方向所夾之垂直角。天頂為 $0^\circ$、水準面為 $90^\circ$、天底為 $180^\circ$。
2. 全周式垂直度盤讀數特性： 全周式順時針刻劃之經緯儀度盤，在無垂直度盤指標差之理想情況下，正鏡讀數 $L$ 與倒鏡讀數 $R$ 之和應為 $360^\circ$： $L + R = 360^\circ$ 即由倒鏡讀數推算之天頂距為 $360^\circ - R$。
3. 垂直度盤指標差（Index Error, $i$）： 當儀器存在指標差 $i$ 時，讀數受到系統誤差影響。正倒鏡觀測之讀數關係為： $L = Z + i$ $R = (360^\circ - Z) + i$ 利用正倒鏡觀測取平均值，可完全消除垂直度盤指標差。

解題方法

方法一：正倒鏡天頂距均值法（推薦解法）

將倒鏡讀數換算為對應之天頂距觀測值，再與正鏡讀數取平均值：

1. 正鏡觀測之天頂距： $Z_L = L = 87^\circ43'10''$

2. 倒鏡觀測之天頂距： $Z_R = 360^\circ - R = 360^\circ - 272^\circ16'44'' = 87^\circ43'16''$

3. 求取天頂距之最妥值（消除指標差）： $Z = \frac{Z_L + Z_R}{2} = \frac{87^\circ43'10'' + 87^\circ43'16''}{2} = 87^\circ43'13''$

方法二：指標差公式法

1. 計算垂直度盤指標差 $i$： 將正、倒鏡讀數公式相加： $L + R = 360^\circ + 2i \implies i = \frac{L + R - 360^\circ}{2}$

核心觀念

1. 平面直角坐標系（$E, N$ 坐標）： 測量直角坐標系以正北方向為縱軸（$N$ 軸），正東方向為橫軸（$E$ 軸）。
2. 坐標增量（Coordinate Differences）： 由起點 $A$ 至終點 $B$ 的坐標增量定義為「終點坐標減起點坐標」： $\Delta E_{AB} = E_B - E_A$ $\Delta N_{AB} = N_B - N_A$
3. 方位角（Azimuth, $\phi$）與象限角（Bearing, $\theta$）： 測量方位角係以正北（$N$ 軸正向）為基準，順時針旋轉至測線的水平夾角，範圍介於 $0^\circ \sim 360^\circ$。象限參考角定義為 $\tan\theta = \left|\frac{\Delta E}{\Delta N}\right|$，其與方位角 $\phi$ 的對應關係依符號決定：

• 第一象限（NE，$\Delta E > 0, \Delta N > 0$）：$\phi = \theta$
• 第二象限（SE，$\Delta E > 0, \Delta N < 0$）：$\phi = 180^\circ - \theta$
• 第三象限（SW，$\Delta E < 0, \Delta N < 0$）：$\phi = 180^\circ + \theta$
• 第四象限（NW，$\Delta E < 0, \Delta N > 0$）：$\phi = 360^\circ - \theta$

解題方法

步驟一：計算測線 $AB$ 之坐標增量 起點為 $A(1250.00\ \mathrm{m}, 2000.00\ \mathrm{m})$，終點為 $B(1000.00\ \mathrm{m}, 1700.00\ \mathrm{m})$： $\Delta E_{AB} = E_B - E_A = 1000.00 - 1250.00 = -250.00\ \mathrm{m}$ $\Delta N_{AB} = N_B - N_A = 1700.00 - 2000.00 = -300.00\ \mathrm{m}$

步驟二：研判測線所在象限 因 $\Delta E_{AB} < 0$（向西）、$\Delta N_{AB} < 0$（向南），測線方向為南偏西（SW），位於「第三象限」。

步驟三：計算象限角 $\theta$ $\tan\theta = \left|\frac{\Delta E_{AB}}{\Delta N_{AB}}\right| = \frac{|-250.00|}{|-300.00|} = \frac{250}{300} = \frac{5}{6} \approx 0.833333$ $\theta = \arctan\left(\frac{5}{6}\right) \approx 39.805556^\circ$

核心觀念

本題測驗測量平差與誤差傳播之基本理論，包含等精度觀測、最或是值、改正數以及**貝索公式（Bessel's Formula）**的應用。

1. 最或是值（Most Probable Value, $\bar{X}$）： 在同精度獨立觀測條件下，一未知量的最或是值即為各觀測值的算術平均值： $\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^n l_i}{n}$ 其中 $n$ 為觀測次數，$l_i$ 為第 $i$ 次觀測值。

2. 改正數（Residual, $v_i$）： 各觀測值與最或是值之差值： $v_i = l_i - \bar{X} \quad (\text{其代數和性質為 } \sum_{i=1}^n v_i = 0)$

3. 單次觀測值中誤差（Standard Error of a Single Observation, $m$）： 依據貝索公式，單次觀測值中誤差為： $m = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n v_i^2}{n-1}}$

4. 最或是值中誤差（Standard Error of the Most Probable Value, $m_{\bar{X}}$）： 根據誤差傳播定律，算術平均值的中誤差等於單次觀測值中誤差除以觀測次數的平方根： $m_{\bar{X}} = \pm \frac{m}{\sqrt{n}} = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n v_i^2}{n(n-1)}}$

解題方法

步驟一：簡化數據並計算最或是值 $\bar{X}$

各觀測值之度、分均為 $72^\circ48'$，為簡化運算，固定度與分，僅取「秒值」進行平差計算：

• $l_1 = 35''$
• $l_2 = 29''$
• $l_3 = 36''$
• $l_4 = 32''$

觀測次數 $n = 4$。計算算術平均秒值： $\bar{s} = \frac{35'' + 29'' + 36'' + 32''}{4} = \frac{132''}{4} = 33''$ 故最或是值 $\bar{X} = 72^\circ48'33''$。

步驟二：計算各觀測值之改正數 $v_i$ 與平方和 $\sum v_i^2$

• $v_1 = 35'' - 33'' = +2''$
• $v_2 = 29'' - 33'' = -4''$
• $v_3 = 36'' - 33'' = +3''$
• $v_4 = 32'' - 33'' = -1''$