109 專技高考高等考試 航空工程技師 空氣動力學 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・航空工程技師
試題代碼 空氣動力學

第 1 題10 分

考慮一機翼在不可壓縮（incompressible）、非黏性流體（inviscid）及非漩流（irrotational flow）的定常流場（steady flow）中。自由流速度為 40 m/s40\ \mathrm{m/s}，機翼表面上某一給定點位置的速度為 60 m/s60\ \mathrm{m/s}。

計算該點的壓力係數（pressure coefficient）。

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核心觀念

本題考查壓力係數的定義，以及伯努力方程式在定常、不可壓縮、非黏性流場中的應用。壓力係數定義為

Cp=p−p∞12ρV∞2,C_p=\frac{p-p_\infty}{\tfrac12\rho V_\infty^2},

其中 pp 是翼面給定點的壓力，p∞p_\infty 與 V∞V_\infty 分別是自由流壓力與速度，ρ\rho 是流體密度。

沿同一條流線套用伯努力方程式，可得

p+12ρV2=p∞+12ρV∞2.p+\frac12\rho V^2 = p_\infty+\frac12\rho V_\infty^2.

因此，壓力係數可直接寫成速度比的形式：

Cp=1−(VV∞)2.C_p=1-\left(\frac{V}{V_\infty}\right)^2.
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第 2 題10 分

相對於流線形的形狀（例如機翼）相比，圓柱體（cylinder）形狀的阻力非常高。對此，機翼可以作為整流罩，用以包圍圓柱體以減小阻力。

考慮一最大厚度為弦長百分之十的翼剖面形狀整流罩（airfoil-shaped fair），其最大厚度／弦長為 t/c=0.1t/c=0.1；另有一直徑 dd 等於翼剖面形狀整流罩最大厚度 tt 的圓柱體。兩者同在相同自由流速度（free stream velocity）的流場中，且此圓柱體與翼剖面整流罩的阻力係數分別為 1.21.2 及 0.0120.012。

試計算此時二者（圓柱體阻力／翼剖面整流罩阻力）的阻力大小比。

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核心觀念

阻力可由阻力係數定義式表示：

D=12ρV∞2CDAD=\frac{1}{2}\rho V_\infty^2 C_D A

其中 ρ\rho 為流體密度、V∞V_\infty 為自由流速度、CDC_D 為阻力係數，AA 為參考面積。比較兩物體的阻力時，若兩者處於相同流場，12ρV∞2\frac{1}{2}\rho V_\infty^2 相同，可在比值中消去；但仍須比較阻力係數與各自採用的參考面積。

本題圓柱體與翼剖面整流罩的阻力係數，皆以迎風投影面積為參考面積。圓柱體的投影面積為直徑乘以跨距，整流罩的投影面積為最大厚度乘以相同跨距。

解題方法

設兩者沿跨距方向的長度皆為 LL。圓柱直徑 dd 等於整流罩最大厚度 tt，因此：

A圓柱=dL=tLA_{\text{圓柱}}=dL=tL
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第 3 題20 分

請應用不可壓縮流二維薄翼理論，分析計算攻角（angle of attack）為 1.5∘1.5^\circ 時，薄對稱機翼的空氣動力學特徵相關結果，回答下列問題。

（一）薄對稱機翼之升力曲線斜率（lift slope, dCl/dαdC_l/d\alpha）。

（二）攻角 1.5∘1.5^\circ 時的升力係數（lift coefficient）。

（三）相對於四分之一弦長位置參考點的力矩係數（moment coefficient about quarter chord）。

（四）相對於翼前緣的力矩係數（moment coefficient about leading edge）。

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核心觀念

本題考查不可壓縮流二維薄翼理論對薄對稱翼的基本預測。採用小攻角、無黏性、不可壓縮及二維流動假設，並以弦長 cc 為參考長度。

薄對稱翼的零升力攻角為零，升力係數與攻角的關係為

Cl=2παC_l=2\pi\alpha

其中 α\alpha 必須以弧度表示。因此升力曲線斜率為

dCldα=2π rad−1\frac{dC_l}{d\alpha}=2\pi\ \text{rad}^{-1}

薄翼理論也預測氣動中心位於四分之一弦長處；對稱翼關於該點的力矩係數為零。若改以翼前緣為力矩參考點，則須計入升力作用線與參考點間的力臂。

解題方法

（一）升力曲線斜率

直接使用薄翼理論的升力斜率：

dCldα=2π=6.283 rad−1\boxed{\frac{dC_l}{d\alpha}=2\pi=6.283\ \text{rad}^{-1}}

若以每度表示，利用 1∘=π/1801^\circ=\pi/180 弧度：

dCldα=2π(π180)≈0.1097 degree−1\frac{dC_l}{d\alpha} =2\pi\left(\frac{\pi}{180}\right) \approx 0.1097\ \text{degree}^{-1}

（二）攻角 1.5∘1.5^\circ 時的升力係數

先將攻角換算為弧度：

α=1.5∘(π180∘)=π120≈0.02618 rad\alpha=1.5^\circ\left(\frac{\pi}{180^\circ}\right) =\frac{\pi}{120} \approx 0.02618\ \text{rad}

代入升力係數公式：

Cl=2π(π120)=π260≈0.1645C_l=2\pi\left(\frac{\pi}{120}\right) =\frac{\pi^2}{60} \approx 0.1645

（三）相對於四分之一弦長位置的力矩係數

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第 4 題20 分

請應用不可壓縮流之有限翼升力線理論（finite wing lifting line theory），考慮下圖中三對馬蹄形渦流線（horseshoe vortex filaments）。

三對馬蹄形渦流線 AF∞‾\overline{AF\infty}、BE∞‾\overline{BE\infty} 及 CD∞‾\overline{CD\infty} 的強度分別為 dΓ1d\Gamma_1、dΓ2d\Gamma_2 和 dΓ3d\Gamma_3。找出升力線沿 −b/2<y<b/2-b/2<y<b/2 上每個線段 ABAB、BCBC、CDCD、DEDE、EFEF 的渦流線強度。

圖示資訊：升力線上各點依序為 AA、BB、CC、DD、EE、FF，翼展方向範圍為 −b/2<y<b/2-b/2<y<b/2；三對馬蹄形渦流線分別位於 AA 至 FF 的相應位置，強度標示為 dΓ1d\Gamma_1、dΓ2d\Gamma_2 及 dΓ3d\Gamma_3，並延伸至無限遠處。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

馬蹄形渦流的束縛渦段沿升力線分布。多個渦流在同一線段重疊時，合成渦流強度等於各渦流強度的代數和。以下依圖示方向取各渦流強度為正。

圖中的 AF∞‾\overline{AF\infty} 覆蓋整段 AFAF；BE∞‾\overline{BE\infty} 覆蓋 BEBE；CD∞‾\overline{CD\infty} 覆蓋 CDCD。因此，某一線段上的合成強度，就是覆蓋該線段的馬蹄形渦流強度總和。

解題方法

沿升力線由左至右，逐段列出各馬蹄形渦流是否覆蓋該線段：

線段覆蓋該線段的馬蹄形渦流合成渦流強度
ABABAFAFdΓ1d\Gamma_1
BCBCAF、BEAF、BEdΓ1+dΓ2d\Gamma_1+d\Gamma_2
CDCDAF、BE、CDAF、BE、CDdΓ1+dΓ2+dΓ3d\Gamma_1+d\Gamma_2+d\Gamma_3
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第 5 題20 分

三維勢流理論（3D potential flow theory）中，關於三維源流（3D source flow）流場，請回答下列問題。

（一）考慮三維源流強度為 cc，請寫出三維源流於球狀座標（spherical coordinate）系統的速度場

V⃗(r,θ,ϕ)=Vrr^+Vθθ^+Vϕϕ^.\vec{V}(r,\theta,\phi)=V_r\hat{r}+V_\theta\hat{\theta}+V_\phi\hat{\phi}.

（二）請證明三維源流是否為不可壓縮流。

提示：球狀座標系統中，

∇⋅V⃗=1r2∂∂r(r2Vr)+1rsin⁡θ∂∂θ(Vθsin⁡θ)+1rsin⁡θ∂Vϕ∂ϕ.\nabla\cdot\vec{V} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2V_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(V_\theta\sin\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V_\phi}{\partial\phi}. ∇×V⃗=1rsin⁡θ[∂∂θ(Vϕsin⁡θ)−∂Vθ∂ϕ]r^+1r[1sin⁡θ∂Vr∂ϕ−∂∂r(rVϕ)]θ^+1r[∂∂r(rVθ)−∂Vr∂θ]ϕ^.\nabla\times\vec{V} = \frac{1}{r\sin\theta} \left[ \frac{\partial}{\partial\theta}(V_\phi\sin\theta) - \frac{\partial V_\theta}{\partial\phi} \right]\hat{r} + \frac{1}{r} \left[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial V_r}{\partial\phi} - \frac{\partial}{\partial r}(rV_\phi) \right]\hat{\theta} + \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r}(rV_\theta) - \frac{\partial V_r}{\partial\theta} \right]\hat{\phi}.

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核心觀念

三維源流是以球心為源點、向各方向均勻放射的徑向流。若源流強度為 cc，球面半徑為 rr，依球面面積 4πr24\pi r^2 分攤流量，徑向速度與 r−2r^{-2} 成正比。速度勢流的速度方向沿徑向，因此球座標中的兩個切向分量為零。

解題方法

令 cc 表示源流的體積流率（單位為 m3/s\mathrm{m^3/s}）。任取半徑 rr 的球面，流經球面的體積流率為

Q=∫SV⃗⋅dA⃗=Vr(4πr2).Q=\int_S \vec{V}\cdot d\vec{A} =V_r(4\pi r^2).

對源流，Q=cQ=c，故

Vr=c4πr2,Vθ=0,Vϕ=0.V_r=\frac{c}{4\pi r^2},\qquad V_\theta=0,\qquad V_\phi=0.

因此速度場為

V⃗(r,θ,ϕ)=c4πr2r^\boxed{ \vec{V}(r,\theta,\phi) =\frac{c}{4\pi r^2}\hat{r} }

其中 c>0c>0 表示源流向外放射；若 c<0c<0，則表示匯流、流向球心。部分教材會把 4π4\pi 併入源流強度的定義；本題若採該慣例，速度可寫成 Vr=c/r2V_r=c/r^2，散度結論相同。

不可壓縮性證明

對不可壓縮流，速度場須滿足連續方程的不可壓縮條件：

∇⋅V⃗=0.\nabla\cdot\vec{V}=0.

在 r>0r>0 處，代入球座標散度公式。因為 Vθ=Vϕ=0V_\theta=V_\phi=0，且 VrV_r 不依賴 θ,ϕ\theta,\phi，

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第 6 題20 分

對於絕熱的非等熵流（adiabatic non-isentropic flow），點 1 和點 2 在同一條路徑線（pathline）上。點 1 和點 2 之間的全壓（total pressure）、全溫（total temperature）、全密度（total density）及全焓（total enthalpy）等流體特性，分別表示為點 1 的 (P01,T01,ρ01,h01)(P_{01},T_{01},\rho_{01},h_{01}) 和點 2 的 (P02,T02,ρ02,h02)(P_{02},T_{02},\rho_{02},h_{02})。

其中下標 00 代表靜滯點（stagnation）的性質，下標 11 及 22 代表點 1 和點 2。請回答下列問題。

（一）點 1 和點 2 之全壓 P01P_{01} 及 P02P_{02} 是否相等？

（二）點 1 和點 2 之全溫 T01T_{01} 及 T02T_{02} 是否相等？

（三）點 1 和點 2 之全密度 ρ01\rho_{01} 及 ρ02\rho_{02} 是否相等？

（四）點 1 和點 2 之全焓 h01h_{01} 及 h02h_{02} 是否相等？

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核心觀念

本題考查絕熱流的總焓守恆，以及總壓、總溫、總密度與總焓各自的物理意義。總性質是將流體由當地狀態等熵減速至零速度時所定義的滯止狀態；流動本身非等熵，並不代表沿路徑線的所有總性質都會改變。

對定比熱理想氣體，總焓與總溫的關係為

h0=h+V22=cpT0h_0=h+\frac{V^2}{2}=c_pT_0

其中 hh、TT、VV 分別為靜焓、靜溫與流速。全壓則是當地流體等熵滯止後的壓力；它會受熵增影響。全密度是滯止狀態的密度，亦會隨滯止壓力改變。

解題方法

沿同一條路徑線套用穩態流動能量方程。若流動絕熱，且沒有軸功，則總焓沿流線守恆：

h01=h02h_{01}=h_{02}

這個結論不要求流動等熵。對定比熱理想氣體，h0=cpT0h_0=c_pT_0，因此全溫也相等。非等熵流動則表示熵可能增加；對絕熱流，熵增會使全壓降低。由滯止狀態的理想氣體關係，全密度也隨全壓降低。

各小題分析

（一）全壓 P01P_{01} 與 P02P_{02} 是否相等？

不相等。對絕熱非等熵流，熵增使全壓沿流線下降，因此

P02<P01P_{02}<P_{01}

（二）全溫 T01T_{01} 與 T02T_{02} 是否相等？

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