109 專技高考高等考試 航空工程技師 航空發動機 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・航空工程技師
試題代碼 航空發動機

第 1 題20 分

考慮準一維流（quasi-one dimensional flow），依據動量方程式（momentum equation）與連續方程式（continuity equation）：

ρu du=−dp\rho u\,du=-dp

dAA+dρρ+duu=0\frac{dA}{A}+\frac{d\rho}{\rho}+\frac{du}{u}=0

(一) 請推導準一維流的面積與馬赫數（Mach number）關係式：

dAA=(M2−1)duu\frac{dA}{A}=(M^2-1)\frac{du}{u}

(二) 請說明在噴射發動機的流場中，哪一部分可以用面積與馬赫數的關係式來描述流場的現象。

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核心觀念

本題考查準一維流的面積—速度—馬赫數關係。流場截面積改變時，流速的變化取決於流動是亞音速或超音速。推導使用題目給定的動量方程式與連續方程式，並採用聲速及馬赫數的定義：

a2=(∂p∂ρ)s,M=uaa^2=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s,\qquad M=\frac{u}{a}

其中 aa 為聲速；對等熵流，壓力與密度的微分關係為 dp=a2dρdp=a^2d\rho。

解題方法與推導

由動量方程式

ρu du=−dp\rho u\,du=-dp

及等熵聲速定義 dp=a2dρdp=a^2d\rho，得

ρu du=−a2dρ\rho u\,du=-a^2d\rho

兩側除以 ρa2\rho a^2：

dρρ=−u dua2=−u2a2duu=−M2duu\frac{d\rho}{\rho}=-\frac{u\,du}{a^2} =-\frac{u^2}{a^2}\frac{du}{u} =-M^2\frac{du}{u}

連續方程式為

dAA+dρρ+duu=0\frac{dA}{A}+\frac{d\rho}{\rho}+\frac{du}{u}=0

代入上式：

dAA−M2duu+duu=0\frac{dA}{A}-M^2\frac{du}{u}+\frac{du}{u}=0

整理可得

dAA=(M2−1)duu\boxed{\frac{dA}{A}=(M^2-1)\frac{du}{u}}

噴射發動機中的應用

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第 2 題10 分

正震波（normal shock）前的氣流與後的氣流速率，分別以符號 u1u_1 及 u2u_2 表示。兩者的乘積可用下式表示：

u1u2=a∗2u_1u_2=a^{*2}

其中，a∗a^* 為特徵音速（characteristic speed of sound）。

請問此關係式如何描述正震波前後氣流的馬赫數關係？

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核心觀念

題目考查正震波前後流速與特徵音速的關係，以及「特徵馬赫數」和一般馬赫數的區別。特徵音速 a∗a^* 是依氣流總焓定義的臨界速度；特徵馬赫數定義為

M∗=ua∗M^*=\frac{u}{a^*}

正震波前後的流速滿足 u1u2=a∗2u_1u_2=a^{*2}，因此前後特徵馬赫數的乘積為

M1∗M2∗=u1a∗u2a∗=1M_1^*M_2^* =\frac{u_1}{a^*}\frac{u_2}{a^*} =1

也就是震波前後的特徵馬赫數互為倒數。

解題方法

令震波前後的特徵馬赫數分別為 M1∗=u1/a∗M_1^*=u_1/a^*、M2∗=u2/a∗M_2^*=u_2/a^*。將題目給的速度關係式兩側同除以 a∗2a^{*2}，即可得到

(u1a∗)(u2a∗)=1⟹M1∗M2∗=1\left(\frac{u_1}{a^*}\right) \left(\frac{u_2}{a^*}\right)=1 \quad\Longrightarrow\quad M_1^*M_2^*=1

對正震波而言，震波前是超音速流，震波後是亞音速流；在特徵馬赫數表示法中，這表示 M1∗>1M_1^*>1、M2∗<1M_2^*<1，且 M2∗=1/M1∗M_2^*=1/M_1^*。

一般馬赫數的關係

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第 3 題10 分

請問漸縮漸闊噴嘴（convergent-divergent nozzle）出口外的氣壓，對於離開噴嘴的氣流有何影響？

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核心觀念

本題考查漸縮漸闊噴嘴的背壓（back pressure）如何影響噴嘴內的流動狀態，以及噴嘴出口壓力與周圍氣壓的關係。喉部達到音速後，若噴嘴出口仍維持超音速，出口靜壓 pep_e 不一定等於出口外氣壓 pap_a；兩者的差異會使氣流在噴嘴外繼續膨脹，或受到壓縮調整。

出口與外界氣壓相等時，稱為完全膨脹：

pe=pap_e=p_a

若不相等，噴流會在噴嘴外經由膨脹波或壓縮波調整，使壓力逐漸接近周圍氣壓。

解題方法

先比較噴嘴出口靜壓 pep_e 與出口外氣壓 pap_a，再判斷噴流的膨脹狀態：

  • pe>pap_e>p_a：未充分膨脹（underexpanded）。噴流出口壓力偏高，離開噴嘴後仍向外膨脹並加速，形成膨脹波。
  • pe<pap_e<p_a：過度膨脹（overexpanded）。噴流出口壓力偏低，外界較高的氣壓會壓縮噴流；壓差較大時，噴嘴內可能出現激波或流動分離。
  • pe=pap_e=p_a：完全膨脹（perfectly expanded）。
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第 4 題60 分

一具理想的噴射發動機於標準大氣下在三萬英尺操作，條件如下：

  • 氣溫：T=228.80 KT=228.80\ \mathrm{K}
  • 氣壓：p=3.0149×104 N/m2p=3.0149\times10^4\ \mathrm{N/m^2}
  • 密度：ρ=0.459 kg/m3\rho=0.459\ \mathrm{kg/m^3}
  • 音速：a=303.23 m/sa=303.23\ \mathrm{m/s}
  • 飛行馬赫數：M=0.6M=0.6

下圖為該發動機的簡圖，圖中並列出發動機各站的標號。

理想的循環分析（ideal cycle analysis）假設發動機的工作流體為空氣，並依循理想氣體定律（ideal gas law），條件如下：

  • 氣體常數：R=287 J/(kg⋅K)R=287\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
  • 比熱比（ratio of specific heats）：γ=1.4\gamma=1.4

請依據下列步驟計算：

(一) 假設氣流由自由流進入壓縮器入口為等熵流（isentropic flow），且：

p2p1=(T2T1)γγ−1\frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}

請計算壓縮器入口的氣流全溫（total temperature，T01T_{01}）及全壓（total pressure，p01p_{01}）。

(二) 假設氣流在壓縮器內也視為等熵流，壓縮比：

p02p01=10\frac{p_{02}}{p_{01}}=10

請計算壓縮器出口的氣流全溫（total temperature，T02T_{02}）及全壓（total pressure，p02p_{02}）。

(三) 假設氣流在燃燒室內是等全壓（constant total pressure）燃燒，並且忽略燃油流量。若渦輪段入口溫度限制為 1667 K1667\ \mathrm{K}，請計算燃油燃燒使空氣增加的度數。

(四) 假設空氣動渦輪做的功直接傳動到壓縮器，沒有任何的損耗，請計算離開渦輪段氣流的全溫及全壓。

(五) 假設氣流在噴嘴是等熵膨脹（isentropic expansion），請計算噴嘴出口的氣流馬赫數。

(六) 最後請計算這具發動機在這個操作狀況下的比推（specific thrust）。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考理想渦輪噴射發動機的布雷頓循環分析：先由自由流馬赫數求壓縮器入口的全溫、全壓，再依序計算壓縮器、燃燒室、渦輪與噴嘴的總狀態，最後由噴嘴出口速度減去飛行速度求比推。

使用空氣比熱比 γ=1.4\gamma=1.4 與氣體常數 R=287 J/(kg⋅K)R=287\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}，故定壓比熱為

cp=γRγ−1=1.4(287)0.4=1004.5 J/(kg⋅K).c_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1} =\frac{1.4(287)}{0.4} =1004.5\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

以下依理想循環慣例，渦輪視為等熵；噴嘴出口靜壓取環境壓力，故無壓力推力。

解題方法與計算

（一）壓縮器入口全溫、全壓

飛行速度為

V0=Ma=0.6(303.23)=181.94 m/s.V_0=Ma=0.6(303.23)=181.94\ \mathrm{m/s}.

自由流進入壓縮器入口的過程為等熵停滯，因此

T01T=1+γ−12M2=1+0.2(0.6)2=1.072,\frac{T_{01}}{T} =1+\frac{\gamma-1}{2}M^2 =1+0.2(0.6)^2 =1.072, T01=228.80(1.072)=245.27 K.T_{01}=228.80(1.072)=245.27\ \mathrm{K}.

全壓與靜壓的關係為

p01p=(T01T)γγ−1=(1.072)3.5,\frac{p_{01}}{p} =\left(\frac{T_{01}}{T}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} =(1.072)^{3.5}, p01=3.0149×104(1.072)3.5≈3.845×104 Pa.p_{01}=3.0149\times10^4(1.072)^{3.5} \approx3.845\times10^4\ \mathrm{Pa}.

（二）壓縮器出口全溫、全壓

題目給定壓縮器總壓比 p02/p01=10p_{02}/p_{01}=10，因此

p02=10p01≈3.845×105 Pa.p_{02}=10p_{01} \approx3.845\times10^5\ \mathrm{Pa}.

壓縮器等熵，故

T02T01=(p02p01)γ−1γ=102/7,\frac{T_{02}}{T_{01}} =\left(\frac{p_{02}}{p_{01}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} =10^{2/7}, T02=245.27(102/7)≈473.55 K.T_{02}=245.27(10^{2/7}) \approx473.55\ \mathrm{K}.

（三）燃燒使空氣增加的溫度

燃燒室等全壓，忽略燃油質量，渦輪入口全溫為 T03=1667 KT_{03}=1667\ \mathrm{K}。空氣因燃燒增加的溫度為

ΔTcomb=T03−T02=1667−473.55≈1193.45 K.\Delta T_{\mathrm{comb}}=T_{03}-T_{02} =1667-473.55 \approx1193.45\ \mathrm{K}.

（四）渦輪出口全溫、全壓

渦輪提供的功等於壓縮器所需的功：

cp(T03−T04)=cp(T02−T01).c_p(T_{03}-T_{04})=c_p(T_{02}-T_{01}).

消去 cpc_p 後，

T04=T03−(T02−T01)=1667−(473.55−245.27)≈1438.72 K.T_{04}=T_{03}-(T_{02}-T_{01}) =1667-(473.55-245.27) \approx1438.72\ \mathrm{K}.

燃燒室為等全壓，所以 p03=p02p_{03}=p_{02}。理想循環中渦輪等熵，故

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