109 專技高考高等考試 航空工程技師 飛機結構學 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・航空工程技師
試題代碼 飛機結構學

第 一 題25 分

起落架承受之外力如下圖所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

桿件 CFCF 及 CECE 為二力桿件（two-force member）。DD 支撐點能承受所有方向的力（force），但僅能承受 BCDBCD 軸的扭力（torsion）。忽略起落架重量，請求出支撐點 DD 的所有反作用力。

圖中座標與外力資料如下：

  • D=(−22 in.,42 in.,0)D=(-22\ \mathrm{in.},42\ \mathrm{in.},0)
  • E=(−46 in.,42 in.,−10 in.)E=(-46\ \mathrm{in.},42\ \mathrm{in.},-10\ \mathrm{in.})
  • F=(0,42 in.,0)F=(0,42\ \mathrm{in.},0)
  • C=(−11 in.,21 in.,14 in.)C=(-11\ \mathrm{in.},21\ \mathrm{in.},14\ \mathrm{in.})
  • B=(0,0,28 in.)B=(0,0,28\ \mathrm{in.})
  • A=(0,0,35 in.)A=(0,0,35\ \mathrm{in.})

AA 點受有 7500 lb7500\ \mathrm{lb}、1500 lb1500\ \mathrm{lb} 及 1200 lb1200\ \mathrm{lb} 外力，方向如圖所示。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考三維剛體平衡、二力構件，以及支承反力矩的方向限制。二力構件只沿構件軸線施力；支點 D 可提供三個方向的反力，但只能提供沿 BCD 軸的反力矩。

依圖中箭頭方向，A 點外力為

P=(7500 i+1500 j−1200 k) lb.\mathbf P=(7500\,\mathbf i+1500\,\mathbf j-1200\,\mathbf k)\ \mathrm{lb}.

解題方法

取起落架整體為自由體。令 TCFT_{CF}、TCET_{CE} 分別表示 C 點沿「由 C 指向 F」及「由 C 指向 E」的桿力；解得負值時，代表實際方向與所設方向相反。

由座標可得

uCF=(11,21,−14)758,uCE=(−35,21,−24)2242,uBCD=(11,−21,14)758.\begin{aligned} \mathbf u_{CF}&=\frac{(11,21,-14)}{\sqrt{758}},\\ \mathbf u_{CE}&=\frac{(-35,21,-24)}{\sqrt{2242}},\\ \mathbf u_{BCD}&=\frac{(11,-21,14)}{\sqrt{758}}. \end{aligned}

以 D 點取矩，A 點外力矩為

MA=(rA−rD)×P=(22,−42,35)×(7500,1500,−1200)=(−2100,288900,348000) lb⋅in.\mathbf M_A =(\mathbf r_A-\mathbf r_D)\times\mathbf P =(22,-42,35)\times(7500,1500,-1200) =(-2100,288900,348000)\ \mathrm{lb\cdot in}.

兩桿力對 D 點的力矩係數為

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第 二 題25 分

在機翼表面上一點的應力狀態為：

σx=30 MPa,σy=−60 MPa,τxy=90 MPa\sigma_x=30\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_y=-60\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{xy}=90\ \mathrm{MPa}

請問其主應力、最大剪應力和相關的正應力。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題考平面應力轉換。主應力是剪應力為零時的正應力；平面內最大剪應力等於莫耳圓半徑，而最大剪應力面上的相關正應力等於平均正應力。

σavg=σx+σy2,R=(σx−σy2)2+τxy2\sigma_{\mathrm{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}

因此，兩個主應力為 σavg±R\sigma_{\mathrm{avg}}\pm R，最大面內剪應力為 RR。

解題方法

先計算平均正應力與莫耳圓半徑：

σavg=30+(−60)2=−15 MPa\sigma_{\mathrm{avg}}=\frac{30+(-60)}{2}=-15\ \mathrm{MPa} R=(30−(−60)2)2+902=452+902=455≈100.62 MPaR=\sqrt{\left(\frac{30-(-60)}{2}\right)^2+90^2} =\sqrt{45^2+90^2} =45\sqrt{5} \approx100.62\ \mathrm{MPa}

主應力為：

σ1=σavg+R=−15+100.62≈85.62 MPa\sigma_1=\sigma_{\mathrm{avg}}+R =-15+100.62 \approx85.62\ \mathrm{MPa}
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第 三 題25 分

如圖所示桁架結構，每根桿件皆為直徑 1.5 in.1.5\ \mathrm{in.} 的圓形截面。試求容許載重 PP 最大為多少，才不會造成任何桿件產生屈曲（buckling）影響？

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圖示幾何尺寸如下：

  • AC=4 ftAC=4\ \mathrm{ft}
  • CB=4 ftCB=4\ \mathrm{ft}
  • CD=4 ftCD=4\ \mathrm{ft}
  • BCBC 的垂直高度為 3 ft3\ \mathrm{ft}
  • PP 作用於 AA 點，方向鉛直向下。
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核心觀念

桁架桿件在兩端鉸接的理想條件下，可視為兩端鉸支柱。先用接點平衡求出各桿軸力，再檢查受壓桿件的軸力是否超過 Euler 屈曲載重：

Pcr=π2EI(KL)2,I=πd464P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}, \qquad I=\frac{\pi d^4}{64}

本題依理想桁架假設取 K=1K=1。只有受壓桿件需檢核屈曲。

解題方法

圖中的 4 ft4\ \mathrm{ft} 是水平投影；由 33、44、55 直角三角形可知：

  • AC=CB=5 ftAC=CB=5\ \mathrm{ft}
  • AB=8 ftAB=8\ \mathrm{ft}
  • CD=4 ftCD=4\ \mathrm{ft}

在接點 AA 平衡：

∑Fy=0:35FAC−P=0⇒FAC=53P\sum F_y=0:\quad \frac{3}{5}F_{AC}-P=0 \quad\Rightarrow\quad F_{AC}=\frac{5}{3}P ∑Fx=0:FAB+45FAC=0⇒FAB=−43P\sum F_x=0:\quad F_{AB}+\frac{4}{5}F_{AC}=0 \quad\Rightarrow\quad F_{AB}=-\frac{4}{3}P

因此 ABAB 受壓，壓力為 4P/34P/3。

在接點 CC 平衡：

∑Fy=0:−P−35FCB=0⇒FCB=−53P\sum F_y=0:\quad -P-\frac{3}{5}F_{CB}=0 \quad\Rightarrow\quad F_{CB}=-\frac{5}{3}P

因此 CBCB 也受壓，壓力為 5P/35P/3。ACAC 與 CDCD 受拉，不會產生本題所問的壓屈屈曲。

分別比較兩根受壓桿的軸力與 Euler 臨界載重：

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第 四 題25 分

直升機的旋翼軸驅動旋翼葉片，旋翼提供提升力以在空中支撐直升機。因此，旋翼軸受到扭轉和軸向負載的共同作用。

如果直徑 70 mm70\ \mathrm{mm} 的旋翼軸傳遞扭矩 T=5 kN⋅mT=5\ \mathrm{kN\cdot m} 和軸向拉力 P=250 kNP=250\ \mathrm{kN}，請問旋翼軸的最大拉伸應力、最大壓縮應力和最大剪應力分別是多少？

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核心觀念

旋翼軸是實心圓軸，承受軸向拉力與扭矩的組合。軸向力產生均勻正應力，扭矩在軸表面產生最大剪應力；將兩者視為同一點的平面應力狀態，即可求主應力與最大剪應力。

解題方法

先以軸向拉力求正應力，再以扭轉公式求軸表面的剪應力。採用 NN、mmmm 單位：

d=70 mm,P=250,000 N,T=5,000,000 N⋅mmd=70\ \mathrm{mm},\qquad P=250{,}000\ \mathrm{N},\qquad T=5{,}000{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}

圓軸截面積為

A=πd24=π(70)24=3848.45 mm2A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(70)^2}{4} =3848.45\ \mathrm{mm^2}

因此軸向正應力為

σ=PA=250,0003848.45=64.96 MPa\sigma=\frac{P}{A} =\frac{250{,}000}{3848.45} =64.96\ \mathrm{MPa}

實心圓軸的最大扭轉剪應力發生在外表面：

τmax⁡=TcJ=16Tπd3=16(5,000,000)π(70)3=74.24 MPa\tau_{\max}=\frac{Tc}{J} =\frac{16T}{\pi d^3} =\frac{16(5{,}000{,}000)}{\pi(70)^3} =74.24\ \mathrm{MPa}

平面應力狀態下，兩個主應力為

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