109 專技高考高等考試 航空工程技師 飛行力學（包括自動控制與飛機性能） 考古題詳解

核心觀念

直線、定高度飛行時，飛機加速度為零，因此沿飛行方向與垂直飛行方向的合力都為零。升力 $L$ 垂直於飛行路徑，阻力 $D$ 與飛行方向相反。

依圖示，飛機縱軸與水平飛行路徑的夾角為攻角 $\alpha=4^\circ$，引擎推力方向又比飛機縱軸向上偏 $i_t=3^\circ$，故推力方向與飛行路徑的夾角為

解題方法

取飛行方向為沿向前的軸，垂直飛行路徑向上為法向軸。將推力分解為：

沿飛行方向平衡：

核心觀念

本題屬於飛機性能學（Aircraft Performance）中的基礎計算題，主要評量定常水平飛行（Steady Level Flight）之升力平衡、失速速率定義、翼剖面升力線模型，以及國際標準大氣（International Standard Atmosphere, ISA）物性參數之應用。

1. 定常水平飛行力平衡方程式： 在無加速之對稱水平巡航或平飛狀態下，飛機升力等於全機重量： $L = W = \frac{1}{2} \rho V^2 S C_L$ 其中 $\rho$ 為飛行高度之空氣密度、$V$ 為真實空速（True Airspeed, TAS）、$S$ 為機翼參考面積、$C_L$ 為升力係數。

2. 失速速率（Stall Speed, $V_s$）與機翼負載（Wing Loading, $W/S$）： 失速速率對應於飛機能產生最大升力係數 $C_{L_{\max}}$ 時的最低平飛速率： $W = \frac{1}{2} \rho V_s^2 S C_{L_{\max}} \implies \frac{W}{S} = \frac{1}{2} \rho V_s^2 C_{L_{\max}}$

3. 升力係數與攻角之線性關係（升力線模型）： 在失速之前的線性工作區間內，升力係數 $C_L$ 與攻角 $\alpha$ 呈線性關係： $C_L = a (\alpha - \alpha_{L=0}) = \frac{dC_L}{d\alpha}(\alpha - \alpha_{L=0})$ 其中 $\alpha_{L=0}$ 為零升力攻角（Zero-lift angle of attack），$a$ 為升力線斜率。

4. 國際標準大氣（ISA）之密度性質： 依據國家考試試卷附表之標準大氣數據（ICAO / U.S. Standard Atmosphere）：

• 海平面（$h = 0\ \mathrm{m}$）：$\rho_0 = 1.2250\ \mathrm{kg/m^3}$
• 高度 $h = 1000\ \mathrm{m}$：$\rho_{1000} = 1.1117\ \mathrm{kg/m^3}$

解題方法

（一）求該機在高度 $1000\ \mathrm{m}$ 以失速速率飛行時之機翼負載（$W/S$）

1. 列出平衡式： 依失速速率定義，平飛失速時機翼所產生的升力恰好支撐全機重量，且此時升力係數達到最大值 $C_{L_{\max}}$： $L = W = \frac{1}{2} \rho_{1000} V_s^2 S C_{L_{\max}}$

2. 導出機翼負載關係式： $\frac{W}{S} = \frac{1}{2} \rho_{1000} V_s^2 C_{L_{\max}}$

3. 代入已知條件數值：

• 高度 $h = 1000\ \mathrm{m}$ 處之標準空氣密度 $\rho_{1000} = 1.1117\ \mathrm{kg/m^3}$
• 失速速率 $V_s = 27\ \mathrm{m/s}$
• 最大升力係數 $C_{L_{\max}} = 1.9$

$\frac{W}{S} = \frac{1}{2} \times 1.1117 \times (27)^2 \times 1.9$ $\frac{W}{S} = 0.5 \times 1.1117 \times 729 \times 1.9 = 769.907835\ \mathrm{N/m^2}$

4. 依規定取至小數點後第 4 位（第 5 位四捨五入）： $\frac{W}{S} \approx 769.9078\ \mathrm{N/m^2}\quad (\text{或 }\mathrm{Pa})$

（二）求該機在海平面以攻角 $\alpha = 1^\circ$ 飛行時之飛行速率（$V$）

核心觀念

本題為飛機飛行性能（Aircraft Performance）的經典綜合計算題，涵蓋了「阻力極化曲線與最佳升阻比」、「等速水平飛行之最小阻力與對應速率」、「不同高度之推力平衡與最大平飛速率」，以及「發動機推力隨高度衰減下的飛機絕對升限」等四大核心主題。

1. 阻力極化曲線（Drag Polar）與最大升阻比 $\left(\frac{L}{D}\right)_{\max}$： 飛機的阻力係數可表示為零升力阻力係數（寄生阻力係數）$C_{D_0}$ 與升力引發阻力係數（誘導阻力係數）$k C_L^2$ 之和： $C_D = C_{D_0} + k C_L^2$ 升阻比為 $\frac{L}{D} = \frac{C_L}{C_D}$。當誘導阻力等於零升力阻力時（$k C_L^2 = C_{D_0}$），飛機具有最大升阻比： $\left(\frac{L}{D}\right)_{\max} = \frac{1}{2\sqrt{k C_{D_0}}}$ 此時的最佳升力係數為 $C_{L,md} = \sqrt{\frac{C_{D_0}}{k}}$。

2. 等速水平飛行（Steady Level Flight）性能方程式： 在穩定對稱無側滑水平飛行中，升力等於全機重量（$L = W = mg$），推力等於全機阻力（$T = D$）。 全機阻力（所需推力 $T_R$）為速度 $V$ 的函數： $T_R = D = \frac{1}{2}\rho V^2 S C_{D_0} + \frac{2 k W^2}{\rho S V^2}$ 最小阻力（所需最小推力 $T_{R\min} = D_{\min}$）出現在最大升阻比處： $D_{\min} = \frac{W}{\left(\frac{L}{D}\right)_{\max}} = 2 W \sqrt{k C_{D_0}}$ 其對應之最小阻力空速為： $V_{D\min} = \sqrt{\frac{2W}{\rho S C_{L,md}}} = \sqrt{\frac{2W}{\rho S} \sqrt{\frac{k}{C_{D_0}}}}$

3. 最大平飛速率 $V_{\max}$： 當全機雙發動機的總可用推力 $T_A$ 等於所需推力 $T_R$ 時，可推導得關於 $V^2$ 的一元二次方程式： $\left(\frac{1}{2}\rho S C_{D_0}\right) V^4 - T_A V^2 + \left(\frac{2 k W^2}{\rho S}\right) = 0$ 解此方程式之較大正實數根即為最大水平飛行速率 $V_{\max}$： $V_{\max} = \sqrt{\frac{T_A + \sqrt{T_A^2 - 4 k C_{D_0} W^2}}{\rho S C_{D_0}}} = \sqrt{\frac{T_A + \sqrt{T_A^2 - D_{\min}^2}}{\rho S C_{D_0}}}$

4. 絕對升限（Absolute Ceiling, $h_a$）： 題目未指定爬升率條件時，飛行力學中「升限」一般指「絕對升限」，即最大爬升率為零（$R/C_{\max} = 0$）的高度。此時可用推力恰好等於最小所需推力： $T_{A,\text{total}} = D_{\min}$ 標準大氣中，對流層（Troposphere, $0 \leq h \leq 11{,}000\ \mathrm{m}$）具有垂直溫度遞減率；同溫層（Stratosphere, $11{,}000\ \mathrm{m} < h \leq 20{,}000\ \mathrm{m}$）溫度保持為定值 $T_{11} = 216.65\ \mathrm{K}$，其密度比滿足氣壓高程公式： $\frac{\sigma}{\sigma_{11}} = \exp\left(-\frac{g(h - 11000)}{R T_{11}}\right)$

解題方法

（一）求該機最大升阻比 $\left(\frac{L}{D}\right)_{\max}$

升阻比的數學表示式為： $\frac{L}{D} = \frac{C_L}{C_D} = \frac{C_L}{C_{D_0} + k C_L^2}$

將上式對 $C_L$ 微分並令其為零： $\frac{d}{d C_L}\left(\frac{L}{D}\right) = \frac{(C_{D_0} + k C_L^2) - C_L(2k C_L)}{(C_{D_0} + k C_L^2)^2} = \frac{C_{D_0} - k C_L^2}{(C_{D_0} + k C_L^2)^2} = 0$

極值條件為零升力阻力等於誘導阻力： $C_{D_0} = k C_L^2 \implies C_{L,md} = \sqrt{\frac{C_{D_0}}{k}}$

代入已知參數 $C_{D_0} = 0.0245$、$k = 0.0765$： $C_{L,md} = \sqrt{\frac{0.0245}{0.0765}} = \sqrt{\frac{49}{153}} \approx 0.565917$

最大升阻比為： $\left(\frac{L}{D}\right)_{\max} = \frac{C_{L,md}}{2 C_{D_0}} = \frac{1}{2\sqrt{k C_{D_0}}}$

計算根號項： $k C_{D_0} = 0.0765 \times 0.0245 = 0.00187425$ $\sqrt{k C_{D_0}} = \sqrt{0.00187425} \approx 0.04329261$ $\left(\frac{L}{D}\right)_{\max} = \frac{1}{2 \times 0.04329261} = \frac{1}{0.08658522} \approx 11.549318$

依規定取至小數點後第 4 位： $\left(\frac{L}{D}\right)_{\max} = 11.5493$

（二）求海平面穩定水平飛行時之最小阻力速率 $V_{D\min}$ 與所需最小推力 $T_{\min}$

題目於第（四）小題註明「假設重力加速度為定值 $g=9.776\ \mathrm{m/s^2}$」，全機重量為： $W = mg = 5670\ \mathrm{kg} \times 9.776\ \mathrm{m/s^2} = 55429.9200\ \mathrm{N}$ （若採標準海平面重力加速度 $g_0 = 9.80665\ \mathrm{m/s^2}$，則 $W = 5670 \times 9.80665 = 55603.7055\ \mathrm{N}$）

海平面標準空氣密度取 $\rho_0 = 1.2250\ \mathrm{kg/m^3}$，機翼面積 $S = 23.7\ \mathrm{m^2}$。

1. 所需最小推力 $T_{\min}$： 在穩定水平飛行中，所需推力等於阻力（$T = D$）。最小阻力發生於最大升阻比狀態： $T_{\min} = D_{\min} = \frac{W}{\left(\frac{L}{D}\right)_{\max}} = 2 W \sqrt{k C_{D_0}}$ 代入數值（以 $g = 9.776\ \mathrm{m/s^2}$ 計算）： $T_{\min} = \frac{55429.9200}{11.549318} = 4799.4107\ \mathrm{N}$ （若以全機兩具發動機分攤，每具發動機需提供之推力為 $T_{\min} / 2 = 2399.7054\ \mathrm{N}$；若以標準重力 $g_0 = 9.80665\ \mathrm{m/s^2}$ 計算，全機 $T_{\min} = 4814.4571\ \mathrm{N}$）

2. 最小阻力速率 $V_{D\min}$： 最小阻力對應之升力係數為 $C_{L,md} = \sqrt{\frac{C_{D_0}}{k}} \approx 0.565917$。由水平飛行升力平衡 $L = \frac{1}{2}\rho_0 V^2 S C_{L,md} = W$： $V_{D\min} = \sqrt{\frac{2W}{\rho_0 S C_{L,md}}}$ 代入數值： $V_{D\min} = \sqrt{\frac{2 \times 55429.9200}{1.2250 \times 23.7 \times 0.5659165}} = \sqrt{\frac{110859.8400}{16.429972}} = \sqrt{6747.4149} \approx 82.14265\ \mathrm{m/s}$ 取至小數點後第 4 位： $V_{D\min} = 82.1427\ \mathrm{m/s}$ （若以標準重力 $g_0 = 9.80665\ \mathrm{m/s^2}$ 計算，則 $V_{D\min} = 82.2713\ \mathrm{m/s}$）

（三）求高度 $8000\ \mathrm{m}$ 穩定水平飛行時之最大速率

1. 查取高度 $8000\ \mathrm{m}$ 之大氣參數： 根據國際標準大氣（ISA）特性表，在海拔高度 $h = 8000\ \mathrm{m}$ 處：

• 空氣密度 $\rho = 0.5258\ \mathrm{kg/m^3}$
• 密度比 $\sigma = \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{0.5258}{1.2250} \approx 0.4292$

2. 計算高度 $8000\ \mathrm{m}$ 處發動機總可用推力 $T_A$： 因為 $h = 8000\ \mathrm{m} \leq 11{,}000\ \mathrm{m}$，推力衰減指數 $m = 0.72$。 單具發動機推力： $T = T_0 \sigma^{0.72} = 11600 \times (0.4292)^{0.72}$ 計算 $(0.4292)^{0.72}$： $\ln(0.4292) \approx -0.845823 \implies 0.72 \times (-0.845823) = -0.608993$ $\sigma^{0.72} = e^{-0.608993} \approx 0.543902$ 單具可用推力： $T = 11600 \times 0.543902 \approx 6309.2632\ \mathrm{N}$ 該機裝配兩具噴射發動機，全機總可用推力為： $T_A = 2 T = 2 \times 6309.2632 = 12618.5264\ \mathrm{N}$

3. 建立推力平衡方程式求解最大速率： 在高度 $8000\ \mathrm{m}$ 等速水平飛行時，$T_A = T_R$： $T_A = \frac{1}{2}\rho S C_{D_0} V^2 + \frac{2 k W^2}{\rho S} \frac{1}{V^2}$

核心觀念

本題考側滑擾動下的橫向靜穩定性：飛機發生側滑後，是否會產生使側滑減小、機翼姿態回復的滾轉力矩。常以側滑角 $\beta$ 與滾轉力矩係數 $C_l$ 的關係表示；採用常見符號定義時，橫向靜穩定要求：

也就是側滑角改變時，滾轉力矩會朝減輕側滑的方向作用。

解題方法

看圖中側滑箭頭，先判斷側滑造成的相對氣流方向，再觀察高翼、低翼的機翼位置與機身側面受風情形。側滑會使左右兩側機翼的有效迎角及升力不同，形成滾轉力矩；機翼相對重心的高低，也會影響機身側力對重心產生的力矩。

• **高翼飛機：**側滑時，機翼與機身的氣流干擾通常會增強側滑所引起的升力差，使滾轉力矩具有較強的恢復作用。因此，高翼配置通常增加橫向靜穩定性。
• **低翼飛機：**機翼與機身的干擾通常會減弱側滑所引起的恢復性滾轉力矩，因此橫向靜穩定性通常較弱；

核心觀念

本題考查飛機飛行力學中「縱向靜穩定性（Longitudinal Static Stability）」與「縱向操控性／配平能力（Longitudinal Controllability and Trim）」的權衡關係，以及飛機載重與平衡（Weight and Balance）包絡線（Envelope）之極限訂定準則。

1. 縱向俯仰力矩方程式與配平： 飛機整體的無因次俯仰力矩係數表示為： $C_m = C_{m_0} + C_{m_\alpha}\alpha + C_{m_{\delta_e}}\delta_e$ 當處於等速對稱飛行配平狀態時，$C_m = 0$，所需之升降舵偏角為： $\delta_e = -\frac{C_{m_0} + C_{m_\alpha}\alpha}{C_{m_{\delta_e}}}$
2. 靜穩定度判據與中性點（Neutral Point, NP）： 縱向靜穩定性的充要條件為俯仰力矩斜率為負： $C_{m_\alpha} = \frac{dC_m}{d\alpha} < 0$ 若以無因次重心位置 $h = x_{cg}/\bar{c}$ 與中性點位置 $h_{np} = x_{np}/\bar{c}$（$\bar{c}$ 為平均氣動弦長 MAC）表示： $C_{m_\alpha} = C_{L_\alpha} (h - h_{np})$ 定義靜穩定裕度（Static Margin, SM）： $SM = -\frac{dC_m}{dC_L} = h_{np} - h$

• 當重心後移使得 $h \to h_{np}$ 時，$SM \to 0$，飛機處於中性穩定；若 $h > h_{np}$，則 $C_{m_\alpha} > 0$，飛機靜不穩定。

3. 穩定性與操控性的權衡原則：

• 重心越往前移動：靜穩定裕度越大（越穩定），但產生抬頭力矩抵抗低頭力矩所需的升降舵偏角越大（操縱越吃力）。
• 重心越往後移動：操縱越敏銳，但靜穩定裕度降低，甚至導致縱向發散。

解題方法

本題為國家考試專業科目之申論題，答題架構應從「力學物理機制」切入，分別分析重心前移與後移對氣動力矩、舵面偏角、操縱桿力及結構幾何造成的邊界限制：

1. 前極限分析切入點（操控能力與結構極限）： 重心前移會產生強大的自然低頭力矩，飛機必須依賴水平尾翼產生更大的負升力（向上抬頭的升降舵偏角）來維持平衡。因此，前極限是由「在最嚴苛的低速或起降條件下，升降舵是否仍有足夠的控制權限抬起機頭」以及「機頭起落架承受之地面負荷」所決定。
2. 後極限分析切入點（靜穩定性與動態恢復能力）： 重心後移會使重心接近或超越氣動中性點，削弱恢復力矩。因此，後極限是由「法規規定的最低縱向靜穩定裕度」、「防止操縱過度敏感引發失控」以及「高攻角失速改出能力」所決定。

選項分析

本題為專技高考工程技師之「申論計算與問答題」，非選擇題，故無個別選項。在閱卷評分上，重點在於考生能否精準劃分「前極限決定於操控力上限（Controllability-limited）」與「後極限決定於穩定性下限（Stability-limited）」，並逐項列出客觀工況與物理成因。

解題技巧

1. 記憶心訣：

• 前極限＝「抬頭控制極限」：前移越穩定，但升降舵會「打到底」，怕抬不起頭、前輪過重。
• 後極限＝「自穩與恢復極限」：後移越靈敏，但氣動中心與重心重合，怕靜不穩定、太靈敏導致超載或無法低頭改出。

2. 常見陷阱：

• 誤以為前極限也是由穩定性不足引起。事實上，重心越前越穩定，前極限完全是受限於「升降舵操縱權限飽和（Elevator Control Saturation）」與「過大的桿力（Stick Force）」。
• 答題時遺漏地面滾行條件（起飛抬前輪速度 $V_r$ 以及地面尾部傾覆限制）。

【答案】

飛機重心的容許範圍（c.g. Range / Envelope）受飛行力學、飛控系統權限以及結構幾何多重限制。前極限與後極限的決定因素及原因如下：

一、 決定重心前極限（Forward Limit）的因素與原因

重心前極限由縱向操控能力（Longitudinal Controllability）、升降舵配平能力及起落架結構限制所決定（操縱性邊界）：

核心觀念

1. 縱向長週期（遊獵模態，Phugoid Mode）簡化模型： 在長週期運動中，短週期動態已快速衰減完畢，攻角擾動量維持極小（$\alpha \approx 0$），運動主要表現為前進速度擾動 $u$ 與俯仰角擾動 $\theta$ 之間的動能與位能週期性交換。其線性化狀態空間模型為： $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\delta_T$ 其中狀態向量 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} u/u_0 \\ \theta \end{bmatrix}$，系統矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} X_u & -g_0/u_0 \\ -Z_u & 0 \end{bmatrix}$，控制輸入矩陣 $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} X_{\delta_T}/u_0 \\ M_{\delta_T} \end{bmatrix}$。

2. 線性系統穩定性判準： 線性非時變（LTI）系統的內在穩定性（漸近穩定性，Asymptotic Stability）完全由系統矩陣 $\mathbf{A}$ 的特徵值（即特徵方程式 $\det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = 0$ 的根）決定，與控制輸入矩陣 $\mathbf{B}$ 及其元素（如 $M_{\delta_T}$）無關。

3. 常值輸入下之穩定狀態反應（Steady-State Response）： 當系統漸近穩定且輸入為常數步階輸入時，系統各狀態變化率在穩態時趨近於零（$\dot{\mathbf{x}} \to \mathbf{0}$），可直接求解代數方程式 $\mathbf{A}\mathbf{x}_{ss} + \mathbf{B}\delta_T = \mathbf{0}$ 得到穩態值： $\mathbf{x}_{ss} = -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\delta_T$

4. 飛行力學之能量與配平原理： 在未變更升降舵配平（攻角維持原配平值）的條件下，穩態升力平衡限制了前進速度必須回到原平衡空速；增加的油門推力轉化為克服重力後向分力以維持等速爬升，即符合「油門控制爬升／高度，升降舵控制空速」的飛行力學定則。

解題方法

（一）系統穩定性分析

1. 求系統特徵方程式： 系統矩陣為： $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} X_u & -\frac{g_0}{u_0} \\ -Z_u & 0 \end{bmatrix}$ 特徵方程式為： $\det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = \det\begin{bmatrix} s - X_u & \frac{g_0}{u_0} \\ Z_u & s \end{bmatrix} = s(s - X_u) - \left(-\frac{g_0}{u_0} Z_u\right) = 0$ 整理得標準二階特徵多項式： $s^2 - X_u s - \frac{g_0}{u_0}Z_u = 0$

2. 應用穩定性準則（Routh-Hurwitz Criterion）： 對於二階特徵方程式 $s^2 + a_1 s + a_0 = 0$，系統為漸近穩定的充要條件為各階係數皆嚴格大於零（$a_1 > 0$ 且 $a_0 > 0$）：

• $a_1 = -X_u$：$X_u$ 為阻力隨前進速度增加的力導數，物理上阻力隨速度增加而增加，對前進運動產生阻尼效應，故 $X_u < 0$（題中給定數值為 $-0.0219\ \mathrm{s^{-1}} < 0$），因此 $a_1 = -X_u > 0$。
• $a_0 = -\frac{g_0}{u_0}Z_u$：在體軸/穩定軸系中，$z$ 軸向下，升力方向為負 $z$ 軸。速度增加會使升力增加，向下外力減少，故 $Z_u < 0$（題中給定數值為 $-0.0836\ \mathrm{s^{-1}} < 0$）。又 $g_0 > 0$、$u_0 > 0$，因此 $a_0 = -\frac{g_0}{u_0}Z_u > 0$。

3. 控制導數 $M_{\delta_T}$ 的影響： $M_{\delta_T}$ 是控制矩陣 $\mathbf{B}$ 中的俯仰力矩控制導數，僅決定外加輸入 $\delta_T$ 如何激發各模態（影響受迫響應與可控性），完全不改變系統矩陣 $\mathbf{A}$ 的特徵多項式及其根的分佈。

結論：特徵方程式之兩根皆具備負實部，因此當 $M_{\delta_T} = 0$ 時，系統是穩定的（漸近穩定）。

（二）步階輸入 $\delta_T = 0.1$ 下之穩態反應計算

在步階輸入 $\delta_T = 0.1$ 下，系統達到穩定狀態時變化率為零： $\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} u/u_0 \\ \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

代入狀態方程式： $\begin{bmatrix} X_u & -\frac{g_0}{u_0} \\ -Z_u & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (u/u_0)_{ss} \\ \theta_{ss} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{X_{\delta_T}}{u_0} \\ M_{\delta_T} \end{bmatrix} \delta_T = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

由已知條件 $M_{\delta_T} = 0.0$：

1. 由第二列方程式求解速度擾動： $-Z_u \left(\frac{u}{u_0}\right)_{ss} + 0 \cdot \theta_{ss} + M_{\delta_T} \delta_T = 0$ $-Z_u \left(\frac{u}{u_0}\right)_{ss} + 0 = 0$

核心觀念

本題評量飛機飛行動力學中「小擾動理論」（Small-Perturbation Theory）應用於非線性運動方程式的微小擾動線性化（Linearization）。核心概念與數學工具包含：

1. 機體軸系之縱向平移動力學方程式： 飛機沿機體 $x$ 軸（縱向）之牛頓第二運動定律為： $m(\dot{U} + QW - RV) = X_{total} - mg\sin\Theta$ 全變數表示為基準參考運動（Reference flight path）與微小擾動量（Perturbation）之和。
2. 小擾動階數判別（First-Order Perturbation Approximation）： 設各微擾量 $u, v, w, p, q, r, \theta$ 為一階微小量 $\mathcal{O}(\epsilon)$。在線性化過程中，凡兩微小量相乘之二階項（如 $qw$、$rv$）階數為 $\mathcal{O}(\epsilon^2)$，均視為高階微量予以忽略（$qw \approx 0$、$rv \approx 0$）。
3. 三角函數之和角公式與小角度近似： 微擾俯仰角滿足 $|\theta| \ll 1\text{ rad}$，展開後取一階近似： $\cos\theta \approx 1, \quad \sin\theta \approx \theta$
4. 參考軌跡扣除（Perturbation Equation Derivation）： 全運動方程式減去參考軌跡（配平狀態／基準狀態）方程式，即可獲得描述微擾量動態行為的線性常微分方程式。

解題方法

線性化推導流程分為三個關鍵步驟：

步驟一：展開左式並略去二階微小項

運動方程式左側為： $\text{LHS} = m\left[\frac{d(u_0+u)}{dt} + qw - rv\right] = m\frac{du_0}{dt} + m\frac{du}{dt} + m(qw - rv)$

已知 $q, w, r, v$ 皆為微小擾動量，滿足 $|q| \ll 1, |w| \ll 1, |r| \ll 1, |v| \ll 1$：

• $qw = \mathcal{O}(\epsilon^2) \approx 0$
• $rv = \mathcal{O}(\epsilon^2) \approx 0$

因此，保留至一階線性項後，左側化簡為： $\text{LHS} \approx m\frac{du_0}{dt} + m\frac{du}{dt}$

步驟二：展開右式重力項並進行小角度近似

運動方程式右側為： $\text{RHS} = X_0 + \Delta X - mg_0\sin(\Theta_0+\theta)$

利用三角函數正弦和角公式展開 $\sin(\Theta_0+\theta)$： $\sin(\Theta_0+\theta) = \sin\Theta_0\cos\theta + \cos\Theta_0\sin\theta$