111 專技高考高等考試 大地工程技師(二) 土壤力學及土壤動力（含地震工程） 考古題詳解

核心觀念

本題評量凝聚性土壤在不同應力路徑與應力歷史下的「不排水剪力強度（Undrained Shear Strength, $S_u$）」評估理論，核心涵蓋三大觀念：

1. SHANSEP 程序理論（Ladd and Foott, 1974）：

• 全名為 Stress History And Normalized Soil Engineering Properties。
• 核心經驗公式為常態化強度方程式： $\left( \frac{S_u}{\sigma'_v} \right)_{OC} = \left( \frac{S_u}{\sigma'_v} \right)_{NC} \cdot \text{OCR}^m$ 其中：
• $\sigma'_v$：剪力破壞前的現地垂直有效應力。
• $\text{OCR} = \frac{\sigma'_p}{\sigma'_v}$：過壓密比（$\sigma'_p$ 為先期壓密應力）。
• $\left(\frac{S_u}{\sigma'_v}\right)_{NC}$：正常壓密狀態下的不排水強度比。
• $m$：常態化強度指數（依 Ladd 建議，沉積黏土之典型經驗值約為 $0.75 \sim 0.85$，常實務取 $0.80$）。

2. 開挖卸載之應力歷史演變：

• 開挖並等待孔隙水壓消散完成後，土層產生回脹，垂直有效應力下降（$\sigma'_v \downarrow$），但先期壓密應力 $\sigma'_p$ 仍記錄著地層歷史承受過的最大有效應力（不變），導致土壤由正常壓密（NC）轉變為過壓密（OC）。

3. 瞬間外加載重下有效應力之不變性（$U = 0\%$）：

• 依據 Terzaghi 一維壓密理論與有效應力原理 $\sigma' = \sigma - u$。
• 在平均壓密度 $U = 0\%$ 瞬間，外加總應力增量全數由超額孔隙水壓承受（$\Delta u = \Delta \sigma$），有效應力增量為零（$\Delta \sigma' = 0$）。
• 飽和黏土之不排水剪力強度僅取決於「剪裂前之有效應力與孔隙比（結構狀態）」，外加瞬間載重尚未引起排水固結前，強度維持不變。

解題方法

（一）SHANSEP 程序之假設（Premise）、目的（Purpose）及流程（Procedure）

1. 假設（Premise）：

• 常態化土壤行為假設（Normalized Soil Behavior, NSB）：相同地質來源之黏土，其工程性質（如剪力強度、孔隙水壓反應）經垂直有效壓密應力常態化後，僅取決於過壓密比（OCR），即 $\left( \frac{S_u}{\sigma'_v} \right)_{OC} = \left( \frac{S_u}{\sigma'_v} \right)_{NC} \cdot \text{OCR}^m$。
• 消除擾動假設：取樣引起的擾動會破壞土壤微觀結構並大幅降低強度；若在室內將試體重新壓密至遠高於先期壓密應力（一般大於 $1.5 \sim 2.5\ \sigma'_p$），可消除取樣擾動效應，重現原狀土的代表性力學行為。
• 強度非均向性假設：土壤不排水剪力強度具有強烈之非均向性，應配合現地不同滑動破壞面機制，選用對應之剪力模式（三軸壓縮 $CK_0UC$、三軸伸張 $CK_0UE$、直接單剪 $DSS$）進行試驗。

2. 目的（Purpose）：

• 克服取樣擾動之強度低估：傳統未受側限壓縮試驗（UC）或一般不壓密不排水試驗（UU）受解壓及取樣擾動影響嚴重，導致強度低估且離散度過大；SHANSEP 透過室內再壓密重新建立客觀標準。
• 建立可靠的現地強度剖面（In-situ Strength Profile）：結合現地先期壓密應力與有效應力變化，精確推估不同深度以及各施工階段（開挖、填土加載、預壓）在各方向破壞模式下之原位不排水剪力強度。

3. 流程（Procedure）：

• 步驟一：評估現地應力歷史。藉由現地調查、取樣與標準壓密試驗，測定土層各深度之垂直有效應力 $\sigma'_{v0}$ 與先期壓密應力 $\sigma'_p$，建立原位 $\text{OCR} = \sigma'_p / \sigma'_{v0}$ 分布剖面。
• 步驟二：室內 $K_0$ 壓密以消除擾動。將高品質薄管取樣試體置於三軸儀或單剪儀中，施加 $K_0$ 條件壓密至高應力水準（通常 $\sigma'_c \ge 1.5 \sim 2.5\ \sigma'_p$），使其完全進入正常壓密狀態，消除擾動歷史。
• 步驟三：常態化參數測定。

1. 將部分試體在最大壓密應力下進行不排水剪力試驗，求得正常壓密強度比 $\left(\frac{S_u}{\sigma'_v}\right)_{NC}$。
2. 將其餘試體由最大壓密應力回脹解壓至不同的指定 OCR（例如 OCR = 2, 4, 8），再剪斷求得各 OCR 之 $\left(\frac{S_u}{\sigma'_v}\right)_{OC}$。
3. 於雙對數座標圖繪製 $\log(S_u/\sigma'_v)$ 對 $\log(\text{OCR})$ 之關係直線，回歸擬合求得指數 $m$。

• 步驟四：推估現地強度剖面。將現地各深度之實際 $\sigma'_v$ 與 OCR 代入常態化公式，求得現地各點之 $S_u$。

（二）開挖完成且超額孔隙水壓消散後之不排水剪力強度推估

1. 求正常壓密強度比 $\left(\frac{S_u}{\sigma'_v}\right)_{NC}$：

• 現地初始垂直有效應力 $\sigma'_{v0} = 200\ \mathrm{kPa}$。
• 預壓密應力 $\sigma'_p = 200\ \mathrm{kPa}$，此時 $\text{OCR}_0 = \frac{200}{200} = 1.0$（正常壓密狀態）。
• 由試驗測得正常壓密不排水剪力強度 $S_{u0} = 60\ \mathrm{kPa}$，因此： $\left(\frac{S_u}{\sigma'_v}\right)_{NC} = \frac{S_{u0}}{\sigma'_{v0}} = \frac{60}{200} = 0.30$

2. 計算開挖消散後之應力狀態與 OCR：

• 開挖後垂直有效應力降至 $\sigma'_{v1} = 100\ \mathrm{kPa}$。

核心觀念

本題評量土壤液化評估的核心經典架構——**簡易液化評估法（Simplified Procedure）**及其現地指標之應用，涉及以下核心觀念與規範公式：

1. 反覆剪應力比（Cyclic Stress Ratio, $CSR$）：地震引致土層內之等效反覆剪應力，依據 Seed & Idriss（1971）公式推估，並經由應力折減係數 $r_d$ 考量土體柔度效應。
2. 反覆阻抗比（Cyclic Resistance Ratio, $CRR$）：土層抵抗液化之能力，由現地試驗指標換算至標準基準（地震規模 $M_w = 7.5$、有效覆土壓力 $\sigma'_v = 1\text{ atm}$ 之潔淨砂）。
3. NCEER（1997/2001, Youd et al.）修正架構：

• 標準貫入試驗（SPT）擊數之能量、孔徑、鑽桿長度、取樣管及覆土有效應力修正 $(N_1)_{60}$。
• 細料含量（Fines Content, $FC$）修正為潔淨砂等值擊數 $(N_1)_{60cs}$。
• 地震規模修正係數（Magnitude Scaling Factor, $MSF$）與高覆土壓力修正係數 $K_\sigma$。

4. 液化安全係數（$FS_L$）與液化潛能指數（$LPI$）：評估點位液化安全性及整層地盤液化危害嚴重程度。
5. 替代現地試驗指標之特性與修正：如圓錐貫入試驗（CPT）、剪力波速（$V_s$）或扁平膨脹儀（DMT）之阻抗正規化與特殊效應修正（細料、薄層效應等）。

解題方法

1. 第（一）小題：

• 採結構化之「輸入參數 $\rightarrow$ 震誘導應力（$CSR$） $\rightarrow$ 抗液化阻抗（$CRR$） $\rightarrow$ 安全係數與成果產出（$FS_L$、$LPI$）」四階段流程說明。
• 完整列出 NCEER 推薦之關鍵公式（$CSR$、$(N_1)_{60}$、$r_d$、$CRR_{7.5}$）。
• 以文字精確描繪 NCEER 經驗邊界曲線圖（Base Curve: $CRR_{7.5}\text{ vs. }(N_1)_{60cs}$）之特徵與軸向意義。
• 總結其產出成果：包含點位液化安全係數 $FS_L$ 剖面、液化層厚度、液化潛能指數 $LPI$、地表沉陷量與側向擴散預測。

2. 第（二）小題：

• 挑選工程實務上最完整且與簡易法最契合之圓錐貫入試驗（CPT）錐首阻抗 $q_c$ 作為代表（亦對照說明剪力波速 $V_s$）。
• 詳列 CPT 正規化與阻抗計算之各項修正因子（上覆壓力修正、細料含量/土壤行為型態指數修正、薄層效應修正）。

選項分析

本題為申論與計算論述題，非選擇題。各子題評分核心要素分析如下：

• 子題（一）評分關鍵：能否清楚交代 $CSR$ 與 $CRR$ 的物理意義、NCEER 經驗公式的完整修正因子（尤其擊數修正與細料修正），並正確描繪 $CRR\text{-}(N_1)_{60}$ 圖之臨界臨界點（如 $(N_1)_{60cs} \ge 30$ 不液化區），最後說明如何從點位安全係數整合至工程設計指標（$LPI$ 與沉陷）。
• 子題（二）評分關鍵：選取的試驗指標是否具備規範依據（CPT 或 $V_s$），且修正因子說明不可僅寫「覆土修正」，必須深入探討「細料影響（$I_c$ 指數）」與 CPT 特有的「薄層效應（Thin-layer effect）」，展現大地專業深度。

解題技巧

1. 記憶口訣與公式架構：

• 簡易法公式本質為「供需比」：$FS_L = \frac{\text{Capacity (抗力)}}{\text{Demand (需求)}} = \frac{CRR}{CSR}$。
• $CSR$ 記住 $0.65 \times \frac{a_{max}}{g} \times \frac{\sigma_v}{\sigma'_v} \times r_d$；其中 $0.65$ 為地震隨機時程折減為等效均勻剪應力之係數。

2. SPT 修正係數口訣：$N \times C_N \times C_E \times C_B \times C_R \times C_S$（覆土、能量、孔徑、桿長、襯管）。
3. 圖表繪製技巧：在試卷上繪製 $CRR\text{-}(N_1)_{60}$ 圖時，橫軸標示 $(N_1)_{60cs}$（$0 \sim 40$），縱軸標示 $CRR$（$0 \sim 0.6$），務必標明「$M=7.5$ 基準曲線」、「液化區（左上）」、「非液化區（右下）」及「$(N_1)_{60cs} = 30$ 之漸近線」。

詳細解答

（一）Seed et al. 簡易液化評估法與 NCEER 法流程及主要成果

簡易液化評估法係將地震對土層造成的「反覆剪應力比（$CSR$）」與土層本身的「抗反覆剪應力比（$CRR$）」進行比較。依據 NCEER（Youd et al., 2001）建議架構，評估流程與主要公式、圖表如下：

[地盤輸入條件: a_max, M_w, 地下水位, 土層柱狀圖]
 │
 ├─────────────────────────────┐
 ▼ ▼
【計算地震誘導剪應力 CSR】 【計算土層抗液化阻抗 CRR】
 - 應力折減係數 r_d - 擊數修正至 (N1)60
 - CSR = 0.65(a_max/g)(σv/σ'v)r_d - 細料修正至 (N1)60cs
 - NCEER基準曲線計算 CRR_7.5
 - 規模修正 MSF 與高覆土修正 K_σ
 │ │
 └──────────────┬──────────────┘
 ▼
 【評估液化安全係數 FS_L】
 FS_L = (CRR / CSR)
 │
 ▼
 【主要成果產出】
 - 液化安全係數剖面 FS_L(z)
 - 液化潛能指數 LPI
 - 地表沉陷量與側向擴散量

1. 步驟一：計算地震引致之反覆剪應力比（$CSR$）

由地表最大加速度 $a_{max}$ 與土層應力狀態計算指定深度 $z$ 處之 $CSR$： $CSR = \frac{\tau_{cyc}}{\sigma'_v} = 0.65 \left( \frac{a_{max}}{g} \right) \left( \frac{\sigma_v}{\sigma'_v} \right) r_d$

式中：

• $\tau_{cyc}$：地震引致之等效反覆剪應力（約為最大剪應力之 65%）。
• $\sigma_v$、$\sigma'_v$：深度 $z$ 處之總垂直應力與有效垂直應力。
• $g$：重力加速度。
• $r_d$：剪應力折減係數（Stress Reduction Coefficient），反映非剛性土體之柔度效應。NCEER 建議經驗公式： $\begin{cases} r_d = 1.0 - 0.00765 z & \text{for } z \le 9.15\text{ m} \\ r_d = 1.174 - 0.0267 z & \text{for } 9.15\text{ m} < z \le 23\text{ m} \end{cases}$

2. 步驟二：SPT 擊數修正與細料含量修正

將現地實測之 SPT-$N$ 值正規化為能量比 60% 且有效覆土壓力為 1 個大氣壓（$1\text{ atm} \approx 100\text{ kPa}$）之標準擊數 $(N_1)_{60}$： $(N_1)_{60} = N \cdot C_N \cdot C_E \cdot C_B \cdot C_R \cdot C_S$

式中：

• $C_N = \sqrt{P_a / \sigma'_v} \le 1.7$：有效覆土壓力修正係數（$P_a = 100\text{ kPa}$）。
• $C_E$：落槌能量比修正係數（換算至 60% 能量比，例如自由落體槌 $C_E \approx 1.2 \sim 1.3$；傳統甜甜圈槌 $C_E \approx 0.75 \sim 1.0$）。
• $C_B$：鑽孔直徑修正係數（$65 \sim 115\text{ mm}$ 取 1.0；$150\text{ mm}$ 取 1.05；$200\text{ mm}$ 取 1.15）。
• $C_R$：鑽桿長度修正係數（長度 $< 3\text{ m}$ 取 0.75；$3 \sim 4\text{ m}$ 取 0.8；$4 \sim 6\text{ m}$ 取 0.85；$6 \sim 10\text{ m}$ 取 0.95；$> 10\text{ m}$ 取 1.0）。
• $C_S$：取樣管內襯修正係數（含標準內襯取 1.0；無內襯取 $1.1 \sim 1.3$）。

為考量細料含量（$FC$）增加對抗液化能力之貢獻，進一步修正為等值潔淨砂擊數 $(N_1)_{60cs}$： $(N_1)_{60cs} = \alpha + \beta (N_1)_{60}$ 其中：

核心觀念

本題為大地工程技師（二）類科「土壤力學及土壤動力（含地震工程）」之指標性經典考題，涵蓋地震工程與土壤動力學之三大核心架構：

1. 場址地震危害度分析（Seismic Hazard Analysis, SHA）：包含決定論（DSHA）與機率論（PSHA）之架構，本質建立於地震波自發震至到達場址之物理機制三要素——震源（Source）、路徑（Path）、場址（Site）。
2. 場址地盤反應分析（Site Response Analysis）：以一維剪力波（SH 波）於成層地盤向上垂直傳播之波動理論為基礎，評估地層濾波與共振放大效應，提供結構與大地耐震設計之關鍵動力參數。
3. 等值線性法（Equivalent Linear Method）與 SHAKE 程式：利用頻率域傳遞函數（Transfer Function）解波動方程式，並透過反覆疊代有效剪應變（$\gamma_{\mathrm{eff}} = R_\gamma \cdot \gamma_{\max}$）修正應變相依之剪力模數 $G$ 與阻尼比 $\xi$，其分析所需動態參數之試驗與求取途徑為大地工程實務之核心。

解題方法

（一）場址地震危害度分析之三大部分組成

場址地震危害度分析（不論採決定論 DSHA 或機率論 PSHA）目的在於評估特定工程場址在未來特定年限內可能遭遇之地面運動強度。依據地震學與地震工程之標準分析程序，主要由下列三大部分組成：

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 1. 震源特性模式 (Seismic Source Characterization) │
│ - 活動斷層、隱伏震源帶、發震機率分布 (G-R 關係式)、規模上限 M_max │
└──────────────────────────────┬──────────────────────────────┘
 │
 ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 2. 地面運動衰減模式 (Ground Motion Prediction Equations, GMPEs)│
│ - 規模、震源距離 (R)、斷層斷裂機制與震波於基岩之衰減規律 │
└──────────────────────────────┬──────────────────────────────┘
 │
 ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 3. 危害度評估與局部場址效應 (Hazard Computation & Site Effects) │
│ - 機率危害度積分、目標回歸期基岩超越機率、局部表層地盤放大修正 │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

1. 震源特性模式（Seismic Source Characterization / Source Model）：

• 界定所有對場址具威脅之地震源位置與幾何形態（包括點震源、線震源/活動斷層、面震源/地震分區，以及隱沒帶地震源）。
• 評估各震源之活動性參數：包含地震規模之重現率關係（通常採 Gutenberg-Richter 關係式：$\log N = a - bM$）、活動斷層之滑移速率（Slip rate）、最大可能地震規模（$M_{\max}$）及震源斷裂機制。

2. 地面運動衰減模式（Ground Motion Attenuation Model / GMPEs）：

• 採用適合場址構造環境之地面運動預測方程式（Ground Motion Prediction Equations, GMPEs）。
• 描述地震波自震源沿傳播路徑向外擴散時，幾何擴散與路徑材料阻尼所造成之能量衰減，建立地震規模（$M$）、震源距離（$R$）、斷層型態與工程基岩（Engineering Bedrock，$V_s \ge 760\text{ m/s}$）地面運動參數（如 PGA、PGV、譜加速度 $S_a$）間之關係及統計標準差（不確定性 $\sigma$）。

3. 危害度計算與局部場址效應評估（Hazard Computation & Local Site Characterization）：

• 整合震源發震率與衰減律之不確定性，以計算場址工程基岩在特定暴露年限下之超越機率與再現週期（如 475 年回歸期設計基準地震 DBE、2475 年回歸期最大考量地震 MCE），繪製地震危害度曲線（Hazard Curves）與等危害度反應譜（UHS）。
• 納入特定場址表層土層之局部場址放大效應（Local Site Amplification Effects），求得場址地表處之目標設計地面運動強度。

（二）場址地盤反應分析所提供之資訊與耐震分析設計應用

1. 地盤反應分析可提供之資訊

透過輸入工程基岩入射地震波，經表層土壤剪力波傳播分析後，可輸出：

• 時歷資訊（Time Histories）：地表及地層任意深度處之加速度時歷（Acceleration Time History）、速度時歷與動態位移時歷。
• 極值反應參數（Peak Responses）：地表最大加速度（Peak Ground Acceleration, PGA）、各土層深度之最大剪應力（$\tau_{\max}$）與最大剪應變（$\gamma_{\max}$）沿深度分布剖面。
• 頻譜特性（Spectral Characteristics）：地表加速度反應譜（Acceleration Response Spectrum, $S_a$）、擬速度反應譜（$S_v$）。
• 場址傳遞函數與動態放大特性（Transfer Function & Dynamic Amplification）：地盤放大倍率曲線（Amplification Function）、場址優勢週期（Fundamental Site Period, $T_G$ 或 $T_0$）。

2. 於耐震分析與設計之具體應用

• 結構耐震設計基準之建立（建築物耐震設計規範與解說）：
• 訂定場址專屬設計反應譜：針對特殊地盤（如厚軟弱黏土層、深沉積盆地、近斷層場址），以地盤反應分析建立場址專屬設計反應譜，用以檢核或取代規範一般地況之標準設計反應譜。
• 提供動力歷時分析之輸入地震歷時：高層建築、隔震消能結構或重大公共工程進行非線性動力歷時分析時，地盤反應分析可產生符合場址條件之地表動態歷時人工或匹配地震波。
• 土壤液化潛能評估（Liquefaction Potential Evaluation）：
• 免除傳統簡化經驗法計算應力折減係數 $r_d$ 之誤差，直接擷取地盤分析所得之各土層最大剪應力 $\tau_{\max}$，精確計算地震引致之剪應力比（Cyclic Stress Ratio, CSR）： $CSR = 0.65 \cdot \frac{\tau_{\max}}{\sigma'_{v0}}$ 顯著提升液化安全係數 $F_L$ 評估之精準度。
• 地下結構物耐震與土壤-結構互制（Soil-Structure Interaction, SSI）：
• 提供地下連續壁、擋土結構、共同管道及深基礎之自由場剪力變形（Free-field shear strain），計算深基樁之運動互制（Kinematic interaction）側向位移與動態土壓力。
• 邊坡耐震穩定性評估（Seismic Slope Stability）：
• 擷取潛在滑動塊體質心處之加速度時歷，計算等效地震水平加速度係數 $k_h$，供擬靜態分析（Pseudo-static analysis）或 Newmark 永久滑動位移分析使用。

（三）SHAKE 等值線性分析所需土壤動態參數及其求得方法

SHAKE 程式基於一維黏彈性半無限介質中垂直傳播之剪力波波動理論，於頻率域（Frequency Domain）內求解。等值線性法需反覆疊代修正剪力模數 $G$ 與阻尼比 $\xi$： $\gamma_{\mathrm{eff}} = R_\gamma \cdot \gamma_{\max} \quad \left(\text{通常取 } R_\gamma = \frac{M - 1}{10} \text{ 或 } 0.65\right)$

1. 所需之土壤動態參數

1. 地層基本幾何與物理性質：各土層厚度 $H$、全單位重 $\gamma_t$（計算土層質量密度 $\rho = \gamma_t / g$）、地下水位深度。
2. 小應變動態剪力模數 $G_{\max}$（或微應變剪力波速 $V_s$）：代表剪應變 $\gamma \le 10^{-6}$ 時之初始彈性剛度，滿足： $G_{\max} = \rho V_s^2 = \frac{\gamma_t}{g} V_s^2$
3. 動態變形應變相依特性曲線（Nonlinear Modulus & Damping Curves）：

核心觀念

夯實曲線的最高點給出最佳含水量 $w_{\mathrm{opt}}$ 與最大乾密度 $\rho_{d,\max}$。零空氣孔隙曲線（zero-air-void curve）則表示土壤完全飽和、空氣體積為零時的乾密度；最佳線可用最佳點所對應的飽和度表示為一條等飽和度曲線。

三相關係式為

解題方法

令土粒體積 $V_s=1$，則固體重量為 $W_s=G_s\rho_w$，孔隙體積為 $V_v=e$。由含水量定義，

因此，三相圖的體積比例可寫成

其中 $V_a=e-wG_s$。此處 $w$ 必須使用小數表示。

當完全飽和時 $V_a=0$，所以 $e=V_v=V_w=wG_s$。代入乾密度式，得到零空氣孔隙曲線：

取 $G_s=2.7$、$\rho_w=1000\ \mathrm{kg/m^3}$：

若含水量以百分比 $w(\%)$ 表示，則

由圖讀得最佳點約為 $w_{\mathrm{opt}}\approx14.6\%$、$\rho_{d,\max}\approx1715\ \mathrm{kg/m^3}$。最佳點的孔隙比為

故該點飽和度為