110 專技高考高等考試 大地工程技師(二) 土壤力學及土壤動力（含地震工程） 考古題詳解

110 年・專技高考・高等考試・大地工程技師(二)
試題代碼 土壤力學及土壤動力（含地震工程）

第 一 題

下圖所示為一土層剖面，水位面位於地表，請回答以下問題。

剖面資料如下：

  • 砂土層厚度為 4 m4\ \mathrm{m}，飽和單位重 γsat=19 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=19\ \mathrm{kN/m^3}。
  • 黏土層上方至 A 點深度為 3 m3\ \mathrm{m}，A 點位於地表下 7 m7\ \mathrm{m}處。
  • A 點以下黏土層厚度為 6 m6\ \mathrm{m}，黏土層下方為不透水岩盤。
  • 黏土飽和單位重 γsat=18 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=18\ \mathrm{kN/m^3}。
  • 黏土孔隙比 e=1.1e=1.1。
  • 壓縮指數 Cc=0.35C_c=0.35。
  • 滲透係數 k=0.02 m/年k=0.02\ \mathrm{m/年}。

(一) 黏土層中 A 點處之總應力、水壓力及有效應力大小？（5 分）

(二) 當地下水位面快速降低 4 m4\ \mathrm{m}，A 點處之總應力、水壓力與有效應力大小在水位降低後會立刻變成多少？假設水位面上之土壤單位重為 18 kN/m318\ \mathrm{kN/m^3}。（5 分）

(三) 長期 A 點處之總應力、水壓力及有效應力會變為多少？（5 分）

(四) 在水位降低後 66 個月，黏土層會沉陷多少？（10 分）

註：

U=0∼60%,Tv=π4(U%100)2U=0\sim60\%,\qquad T_v=\frac{\pi}{4}\left(\frac{U\%}{100}\right)^2 U>60%,Tv=1.781−0.933log⁡(100−U%)U>60\%,\qquad T_v=1.781-0.933\log(100-U\%)
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核心觀念

本題考查總應力、孔隙水壓與有效應力的關係，以及地下水位快速下降後的瞬時應力變化、長期固結與沉陷計算。基本關係為：

σ′=σ−u\sigma'=\sigma-u

其中 σ\sigma 為總應力、uu 為孔隙水壓、σ′\sigma' 為有效應力。

掃描圖顯示砂土層厚度為 7 m7\ \mathrm{m}，黏土層頂面在地表下 7 m7\ \mathrm{m}，A 點在黏土層頂面下 3 m3\ \mathrm{m}，即地表下 10 m10\ \mathrm{m}。這與題目文字整理所列的砂土厚度 4 m4\ \mathrm{m}、A 點深度 7 m7\ \mathrm{m} 不一致；以下依原頁掃描圖作答，並採常用 γw=10 kN/m3\gamma_w=10\ \mathrm{kN/m^3}。

解題方法

初始水位在地表，A 點上方有 7 m7\ \mathrm{m} 飽和砂土與 3 m3\ \mathrm{m} 飽和黏土。水位快速下降 4 m4\ \mathrm{m} 後，砂土上方 4 m4\ \mathrm{m} 採題示單位重 18 kN/m318\ \mathrm{kN/m^3}，其下 3 m3\ \mathrm{m} 砂土仍飽和。黏土滲透性低，因此水位下降後的瞬間，黏土內孔隙水壓仍維持原值；長期則達到新水位下的靜水壓分布。

（一）初始 A 點應力

總應力為：

σ=7(19)+3(18)=187 kPa\sigma=7(19)+3(18)=187\ \mathrm{kPa}

A 點距初始水位 10 m10\ \mathrm{m}，故孔隙水壓為：

u=10(10)=100 kPau=10(10)=100\ \mathrm{kPa}

因此有效應力為：

σ′=σ−u=187−100=87 kPa\sigma'=\sigma-u=187-100=87\ \mathrm{kPa}

（二）水位快速下降 4 m4\ \mathrm{m} 後的瞬時應力

下降後，地表至新水位的 4 m4\ \mathrm{m} 土壤採單位重 18 kN/m318\ \mathrm{kN/m^3}；新水位以下至黏土頂面的砂土厚 3 m3\ \mathrm{m}，仍採飽和單位重 19 kN/m319\ \mathrm{kN/m^3}。A 點上方另有 3 m3\ \mathrm{m} 黏土：

σ=4(18)+3(19)+3(18)=183 kPa\sigma=4(18)+3(19)+3(18)=183\ \mathrm{kPa}

黏土內孔隙水壓尚未立即消散，仍為：

u=100 kPau=100\ \mathrm{kPa}

故瞬時有效應力為：

σ′=183−100=83 kPa\sigma'=183-100=83\ \mathrm{kPa}

（三）長期 A 點應力

長期水位位於地表下 4 m4\ \mathrm{m}，A 點在新水位下方 6 m6\ \mathrm{m}，所以：

u=10(10−4)=60 kPau=10(10-4)=60\ \mathrm{kPa}

總應力仍為 183 kPa183\ \mathrm{kPa}，故：

σ′=183−60=123 kPa\sigma'=183-60=123\ \mathrm{kPa}
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第 二 題

某一工址為一正常壓密飽和黏土層，水位面位於地表。今於深度 10 m10\ \mathrm{m} 處取出三組不擾動土樣，分別進行 CD、CU 及 UU 三軸壓縮試驗（飽和試體）。已知取樣試體於現地所承受之平均圍壓為 200 kN/m2200\ \mathrm{kN/m^2}，及 CD 試驗所得之有效摩擦角 ϕ′=24∘\phi'=24^\circ，請回答下列問題：

(一) 對於 CU 試驗之試體，試體承受圍壓 σ3=300 kN/m2\sigma_3=300\ \mathrm{kN/m^2}，當垂直方向施加軸差應力 Δσd=180 kN/m2\Delta\sigma_d=180\ \mathrm{kN/m^2} 時試體發生破壞，決定總應力剪力強度參數 cc 及 ϕ\phi，並估算試體破壞時可能產生之超額孔隙水壓及對應之 AfA_f 值。（10 分）

(二) 推估上述試體之破壞面與垂直面的夾角。（4 分）

(三) 對於 UU 試驗，估算在圍壓 σ3=300 kN/m2\sigma_3=300\ \mathrm{kN/m^2} 作用下，試體破壞時所受之垂直向應力 σ1f\sigma_{1f}，以及其不排水剪力強度。（6 分）

(四) 請根據土壤力學觀念推估深度 20 m20\ \mathrm{m} 處黏土之不排水剪力強度，須說明理由。（5 分）

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核心觀念

本題考查三軸壓縮試驗中總應力與有效應力強度參數的關係，以及黏土不排水剪力強度隨深度的推估。

  • CD 試驗排水，破壞時超額孔隙水壓可視為零，所得參數為有效應力參數 c′c'、ϕ′\phi'。
  • CU 試驗剪力階段不排水，會產生超額孔隙水壓；以破壞時總應力求得總應力參數 cc、ϕ\phi。
  • UU 試驗全程不排水；飽和黏土通常以 ϕu=0\phi_u=0 表示，故不排水剪力強度為破壞偏應力的一半。
  • 正常壓密黏土可用不排水強度比 su/σv0′s_u/\sigma'_{v0} 近似不變，推估不同深度的強度。

題目未提供 CU 試體破壞時孔隙水壓的直接量測值，因此第一小題的孔壓與 AfA_f，依三軸試驗常用的 Skempton 孔壓參數關係估算。

解題方法與計算

（一）CU 試驗：總應力強度參數、超額孔隙水壓與 AfA_f

破壞時總主應力為

σ3f=300 kN/m2,σ1f=σ3f+Δσd=300+180=480 kN/m2.\sigma_{3f}=300\ \mathrm{kN/m^2},\qquad \sigma_{1f}=\sigma_{3f}+\Delta\sigma_d=300+180=480\ \mathrm{kN/m^2}.

三軸壓縮莫耳圓的圓心與半徑為

σ1+σ32=390,σ1−σ32=90 kN/m2.\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}=390,\qquad \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=90\ \mathrm{kN/m^2}.

以破壞莫耳圓與總應力破壞包線相切求 c,ϕc,\phi。取常用強度式

σ1−σ32=σ1+σ32sin⁡ϕ+ccos⁡ϕ,\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}\sin\phi+c\cos\phi,

代入得

90=390sin⁡ϕ+ccos⁡ϕ.90=390\sin\phi+c\cos\phi.

採用題目給定的 c′=0c'=0、ϕ′=24∘\phi'=24^\circ 作為正常壓密黏土有效強度包線，並以 CU 破壞時應力狀態配合孔壓估算，得到總應力參數約為

c≈0,ϕ≈13.3∘.\boxed{c\approx 0,\qquad \phi\approx 13.3^\circ}.

由有效應力破壞條件，若有效黏聚力取零，破壞時須滿足

σ1f′=σ3f′1+sin⁡ϕ′1−sin⁡ϕ′.\sigma'_{1f}=\sigma'_{3f}\frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}.

因此

σ3f′=σ1f′1−sin⁡24∘1+sin⁡24∘≈480(0.417)≈200 kN/m2.\sigma'_{3f} = \sigma'_{1f}\frac{1-\sin24^\circ}{1+\sin24^\circ} \approx 480(0.417) \approx 200\ \mathrm{kN/m^2}.

總圍壓為 300 kN/m2300\ \mathrm{kN/m^2}，故破壞時超額孔隙水壓估算為

Δuf=σ3−σ3f′≈300−200=100 kN/m2.\Delta u_f=\sigma_3-\sigma'_{3f}\approx 300-200 =\boxed{100\ \mathrm{kN/m^2}}.

Skempton 孔壓參數關係為

Δu=B[Δσ3+A (Δσ1−Δσ3)].\Delta u=B\left[\Delta\sigma_3+A\,(\Delta\sigma_1-\Delta\sigma_3)\right].

剪力階段圍壓不變，且飽和試體 B≈1B\approx1，所以

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第 三 題

關於土壤液化潛能評估，請回答下列問題：

(一) 說明抗液化安全係數之定義及其內涵。（5 分）

(二) 說明土壤液化潛能評估分析的主要工作項目及其內容。（7 分）

(三) 說明以下公式各參數及係數所代表之意義，以及此公式推導過程之相關考量。（7 分）

τavσv′=0.65Amax⁡gσvσv′rd\frac{\tau_{\mathrm{av}}}{\sigma'_v} = 0.65\frac{A_{\max}}{g} \frac{\sigma_v}{\sigma'_v} r_d

(四) 說明地震規模、細料含量會如何影響土壤液化潛能分析結果。（6 分）

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核心觀念

本題考查簡化液化評估法的兩個核心比較：地震造成的循環應力需求（cyclic stress ratio, CSR），以及土壤抵抗液化的循環抗力（cyclic resistance ratio, CRR）。評估時將兩者換算到相同基準後比較，並進一步判斷地震規模、土壤細料性質等因素如何改變液化判斷。

(一) 抗液化安全係數之定義及內涵

抗液化安全係數為土壤可提供的抗液化能力與地震所造成的循環應力需求之比：

FSliq=CRRCSRFS_{\mathrm{liq}}=\frac{CRR}{CSR}

其中：

  • CRRCRR 為循環抗力比，表示土壤抵抗地震循環剪應力、避免發生液化的能力。可由標準貫入試驗（SPT）、圓錐貫入試驗（CPT）、剪力波速或試驗資料，配合經驗關係求得。
  • CSRCSR 為循環應力比，表示地震在土層中造成的循環剪應力需求；簡化應力法常以題示公式估算。

若地震規模不是基準規模，須依所採用的方法將CRRCRR或CSRCSR調整到相同的地震規模基準後再比較。例如，分析以規模7.57.5為基準的抗力曲線時，應納入地震規模修正係數（magnitude scaling factor, MSF）。

判讀上，FSliq>1FS_{\mathrm{liq}}>1表示依採用的分析方法，土壤抗力大於地震需求；FSliq<1FS_{\mathrm{liq}}<1表示地震需求超過土壤抗力，具有觸發液化的可能。安全係數是工程評估指標，不能單獨代表液化後的沉陷、側向擴展或結構損害程度；這些後果仍須另行評估。

(二) 土壤液化潛能評估的主要工作項目及內容

可依「先判斷土層是否易液化，再比較地震需求與土壤抗力，最後評估工程後果」的順序進行。

  1. 調查場址與地下水條件 蒐集地層分布、土層厚度、地下水位及其季節變化、土壤單位重與地形等資料。據此計算各深度的總垂直應力σv\sigma_v及有效垂直應力σv′\sigma'_v。有效應力會隨地下水位及孔隙水壓改變，直接影響液化判斷。

  2. 判斷土層是否具有液化敏感性 檢視土壤種類、粒徑分布、細料含量、塑性、密度與沉積環境等。一般評估重點為飽和、鬆散的砂土或低塑性粉土；黏性與高塑性土的行為則須依其性質及適用方法判斷，不能只憑「細料含量高」就排除液化。

  3. 選定設計地震並估計地震需求 決定設計地震的最大地表水平加速度Amax⁡A_{\max}及規模，再以簡化應力法計算各深度的CSRCSR。若分析條件與抗力曲線採用的規模基準不同，須進行規模修正。

  4. 調查現地土壤抗力 進行SPT、CPT或剪力波速等現地試驗，並取得土層資料及細料性質。依所採用的經驗關係與規範，將試驗結果修正至合適的標準條件，再估算CRRCRR。

  5. 逐層比較需求與抗力 在各分析深度計算液化安全係數FSliq=CRR/CSRFS_{\mathrm{liq}}=CRR/CSR，標示可能觸發液化的土層及其厚度、深度與地下水條件，並說明採用的規模、應力及試驗修正方式。

  6. 評估液化後的工程影響 對可能液化的土層，評估沉陷、震陷、側向擴展、地基承載力降低、樁基受力變化及結構物損害等。若有必要，再提出地盤改良、基礎調整或其他減災措施。

(三) 公式各參數與係數的意義及推導考量

題示公式為簡化應力法估算地震引致循環應力比（CSR）的關係式：

τavσv′=0.65Amax⁡gσvσv′rd\frac{\tau_{\mathrm{av}}}{\sigma'_v} = 0.65\frac{A_{\max}}{g} \frac{\sigma_v}{\sigma'_v} r_d

各符號及係數意義如下：

  • τav\tau_{\mathrm{av}}：地震作用下該深度的平均等效循環剪應力。
  • σv′\sigma'_v：該深度的初始有效垂直應力；作為剪應力需求的正規化基準。
  • Amax⁡A_{\max}：地表最大水平加速度。
  • gg：重力加速度；Amax⁡/gA_{\max}/g為無因次加速度比。
  • σv\sigma_v：該深度的初始總垂直應力。
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第 四 題

某振動機械固定於半徑 2 m2\ \mathrm{m} 之圓形基礎上，機械與其基礎重量為 735 kN735\ \mathrm{kN}。已知此系統因機械振動受到頻率 3 Hz3\ \mathrm{Hz}、振幅 20 kN20\ \mathrm{kN} 之動態載重。基礎座落的土層條件為：土壤單位重 18.5 kN/m318.5\ \mathrm{kN/m^3}、剪力模數 18,000 kN/m218{,}000\ \mathrm{kN/m^2}、泊松比 0.40.4。請回答下列問題：

(一) 計算此系統之阻尼比與阻尼自然頻率。（10 分）

(二) 說明設計上控制此系統避免發生共振所需滿足之條件，並檢核此系統是否符合該條件。（5 分）

(三) 若系統不滿足要求，說明該如何解決，並建議可採行的解決方案。（5 分）

(四) 此系統在共振時之位移振幅。（5 分）

Kz=4Gr01−μK_z=\frac{4Gr_0}{1-\mu} Cz=3.4r02Gρ1−μC_z=\frac{3.4r_0^2\sqrt{G\rho}}{1-\mu} fd=fn1−ξ2f_d=f_n\sqrt{1-\xi^2} Az=Q0Kz1(1−(ffn)2)2+4ξ2(ffn)2A_z= \frac{Q_0}{K_z} \frac{1}{ \sqrt{ \left(1-\left(\frac{f}{f_n}\right)^2\right)^2 + 4\xi^2\left(\frac{f}{f_n}\right)^2 } }

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核心觀念

本題將圓形基礎、機械與土壤視為垂直向受迫振動的單自由度系統。土壤提供基礎的垂直向彈性勁度 KzK_z 與阻尼係數 CzC_z；機械與基礎的重量換算成質量 m=W/gm=W/g。計算流程為：

  1. 由土壤參數求 KzK_z、CzC_z。
  2. 由 mm 與 KzK_z 求無阻尼自然頻率 fnf_n，再求阻尼比 ξ\xi 及阻尼自然頻率 fdf_d。
  3. 以操作頻率與自然頻率之比檢核共振避讓條件。
  4. 在共振條件下，代入受迫振動振幅公式求位移振幅。

解題方法與計算

已知基礎半徑 r0=2 mr_0=2\ \mathrm{m}、重量 W=735 kNW=735\ \mathrm{kN}、動態載重振幅 Q0=20 kNQ_0=20\ \mathrm{kN}、操作頻率 f=3 Hzf=3\ \mathrm{Hz}。取重力加速度 g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}，土壤質量密度為

ρ=γg=18.59.81=1.886 kN⋅s2/m4\rho=\frac{\gamma}{g} =\frac{18.5}{9.81} =1.886\ \mathrm{kN\cdot s^2/m^4}

其中 γ=18.5 kN/m3\gamma=18.5\ \mathrm{kN/m^3}。以下頻率以 Hz 表示，角頻率另以 ω=2πf\omega=2\pi f 表示。

先計算垂直向基礎勁度：

Kz=4Gr01−μ=4(18,000)(2)1−0.4=240,000 kN/mK_z=\frac{4Gr_0}{1-\mu} =\frac{4(18{,}000)(2)}{1-0.4} =240{,}000\ \mathrm{kN/m}

土壤阻尼係數為

Cz=3.4r02Gρ1−μ=3.4(2)218,000(1.886)0.6≈6,250 kN⋅s/mC_z=\frac{3.4r_0^2\sqrt{G\rho}}{1-\mu} =\frac{3.4(2)^2\sqrt{18{,}000(1.886)}}{0.6} \approx 6{,}250\ \mathrm{kN\cdot s/m}

機械與基礎的等效質量：

m=Wg=7359.81=74.92 kN⋅s2/mm=\frac{W}{g} =\frac{735}{9.81} =74.92\ \mathrm{kN\cdot s^2/m}

無阻尼自然角頻率及自然頻率為

ωn=Kzm=240,00074.92≈56.61 rad/s\omega_n=\sqrt{\frac{K_z}{m}} =\sqrt{\frac{240{,}000}{74.92}} \approx 56.61\ \mathrm{rad/s} fn=ωn2π≈56.612π=9.01 Hzf_n=\frac{\omega_n}{2\pi} \approx \frac{56.61}{2\pi} =9.01\ \mathrm{Hz}

阻尼比為

ξ=Cz2Kzm=6,2502(240,000)(74.92)≈0.0737\xi=\frac{C_z}{2\sqrt{K_zm}} =\frac{6{,}250}{2\sqrt{(240{,}000)(74.92)}} \approx 0.0737

阻尼自然頻率為

fd=fn1−ξ2=9.011−(0.0737)2≈8.98 Hzf_d=f_n\sqrt{1-\xi^2} =9.01\sqrt{1-(0.0737)^2} \approx 8.98\ \mathrm{Hz}

(一) 阻尼比與阻尼自然頻率

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