112 專技高考高等考試 大地工程技師(二) 土壤力學及土壤動力（含地震工程） 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・大地工程技師(二)
試題代碼 土壤力學及土壤動力（含地震工程）

第 一 題20 分

回答下列凝聚性土壤物理與夯實問題：（每小題 10 分，共 20 分）

(一) 某一凝聚性土壤其顆粒比重 GsG_s 為 2.7，標準 Proctor 試驗結果其最大乾單位重 γd,max⁡\gamma_{d,\max} 為 18.65 kN/m318.65\ \text{kN/m}^3，最佳含水量（OMC）為 12.4%，修正 Proctor 試驗其對應 OMC 為 11%。試繪製土壤三相圖並據以推導最佳含水量線（line of optimum），並推估於修正 Proctor 試驗時其最大乾單位重。

(二) 比較夯實凝聚性土壤其於最佳態之乾側（dry of optimum）及最佳態之濕側（wet of optimum）下，土壤微觀結構（soil structure）、滲透係數、壓縮性及剪力強度之差異。

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核心觀念

土壤乾單位重與孔隙比的關係為

γd=Gsγw1+e\gamma_d=\frac{G_s\gamma_w}{1+e}

其中 GsG_s 為土粒比重、γw\gamma_w 為水的單位重、ee 為孔隙比。夯實曲線的最佳含水量線（line of optimum）可用「飽和度固定」近似描述；標準與修正 Proctor 試驗的最佳狀態採相同飽和度假設，便能由標準試驗結果推估修正試驗的最大乾單位重。

解題方法

以每 1 m31\ \text{m}^3 土體為基準，標準 Proctor 試驗在最佳狀態時的乾土質量為

Ms=γd,max⁡gM_s=\frac{\gamma_{d,\max}}{g}

水的質量為 Mw=wMsM_w=wM_s，其中 w=0.124w=0.124。三相圖的體積關係為

Vs=MsGsρw,Vw=Mwρw,Va=1−Vs−VwV_s=\frac{M_s}{G_s\rho_w},\qquad V_w=\frac{M_w}{\rho_w},\qquad V_a=1-V_s-V_w

若以單位重計算，亦可直接求得孔隙比：

e=Gsγwγd−1=2.7(9.81)18.65−1=0.420e=\frac{G_s\gamma_w}{\gamma_d}-1 =\frac{2.7(9.81)}{18.65}-1 =0.420

三相圖各相體積比例為

VsV=γdGsγw=18.652.7(9.81)=0.704\frac{V_s}{V} =\frac{\gamma_d}{G_s\gamma_w} =\frac{18.65}{2.7(9.81)} =0.704 VwV=wγdγw=0.124(18.65)9.81=0.236\frac{V_w}{V} =\frac{w\gamma_d}{\gamma_w} =\frac{0.124(18.65)}{9.81} =0.236 VaV=1−0.704−0.236=0.060\frac{V_a}{V}=1-0.704-0.236=0.060

因此，標準 Proctor 最佳狀態三相圖可表示為：

相別體積比例（每 1 m31\ \text{m}^3 土體）
土粒 VsV_s0.704 m30.704\ \text{m}^3
水 VwV_w0.236 m30.236\ \text{m}^3
空氣 VaV_a0.060 m30.060\ \text{m}^3

土粒質量為 Ms=γd/gM_s=\gamma_d/g，水質量為 Mw=wMsM_w=wM_s，空氣質量忽略；總體積為 1 m31\ \text{m}^3。由三相圖求得孔隙體積 Vv=Vw+Va=0.296 m3V_v=V_w+V_a=0.296\ \text{m}^3，飽和度為

Sr=VwVv=0.2360.296=0.797S_r=\frac{V_w}{V_v} =\frac{0.236}{0.296} =0.797

故最佳狀態飽和度約為 80%80\%。

最佳含水量線與修正試驗推估

由 w=Mw/Msw=M_w/M_s、Sr=Vw/VvS_r=V_w/V_v 及 e=Vv/Vse=V_v/V_s，可得

Sre=wGs⟹w=SreGsS_re=wG_s \quad\Longrightarrow\quad w=\frac{S_re}{G_s}
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第 二 題20 分

回答下列有關土壤剪力強度問題：（每小題 10 分，共 20 分）

(一) 常用土壤剪力破壞準則包括 Coulomb（1776）提出之莫爾庫倫破壞準則及 Lambe（1964）之應力路徑。莫爾庫倫破壞準則其有效應力破壞包絡線為：

τf=c′+σ′tan⁡ϕ′\tau_f=c'+\sigma'\tan\phi'

其中有效凝聚力 c′c' 及有效摩擦角 ϕ′\phi' 為強度參數。應力路徑法則以有效破壞應力比線（KfK_f-line）表示：

q=m+p′tan⁡αq=m+p'\tan\alpha

強度參數截距為 mm，斜率為 tan⁡α\tan\alpha。試以一破壞狀態莫爾圓畫圖，推導如何由 (m,α)(m,\alpha) 決定 (c′,ϕ′)(c',\phi')。

(二) 一正常壓密黏土進行三軸 SCU 試驗，破壞時最大有效主應力為 150 kPa150\ \text{kPa}，最小有效主應力為 50 kPa50\ \text{kPa}，Skempton 孔隙水壓力參數 Af=0.5A_f=0.5；相同土壤於三軸試體飽和後，軸差破壞時最小有效應力為 100 kPa100\ \text{kPa}。預測破壞時超額孔隙水壓力、最大與最小總應力。

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核心觀念

莫爾庫倫破壞準則以剪應力與有效正向應力表示；KfK_f 線則以三軸應力不變量 p′p'、qq 表示。兩者描述同一破壞狀態，因此可由破壞莫爾圓與 KfK_f 線的幾何關係，將 (m,α)(m,\alpha) 轉換為 (c′,ϕ′)(c',\phi')。

採三軸壓縮慣用定義：

p′=σ1′+σ3′2,q=σ1′−σ3′2p'=\frac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2},\qquad q=\frac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2}

題目給定破壞線：

q=m+p′tan⁡αq=m+p'\tan\alpha

解題方法

在破壞時，以有效主應力 σ1′\sigma_1'、σ3′\sigma_3' 為莫爾圓兩端點，圓心與半徑分別為：

圓心=(p′,0),半徑=q\text{圓心}=(p',0),\qquad \text{半徑}=q

莫爾庫倫破壞包絡線為：

τf=c′+σ′tan⁡ϕ′\tau_f=c'+\sigma'\tan\phi'

其斜率為 tan⁡ϕ′\tan\phi'。破壞莫爾圓與包絡線相切。從圓心到切點的半徑垂直於包絡線，因此其幾何關係給出：

q=p′sin⁡ϕ′+c′cos⁡ϕ′q=p'\sin\phi'+c'\cos\phi'

亦可由三軸壓縮的破壞主應力關係寫成：

σ1′=σ3′1+sin⁡ϕ′1−sin⁡ϕ′+2c′cos⁡ϕ′1−sin⁡ϕ′\sigma_1' =\sigma_3'\frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'} +\frac{2c'\cos\phi'}{1-\sin\phi'}

將 p′=(σ1′+σ3′)/2p'=(\sigma_1'+\sigma_3')/2、q=(σ1′−σ3′)/2q=(\sigma_1'-\sigma_3')/2 代入，得到上述線性形式。與 q=m+p′tan⁡αq=m+p'\tan\alpha 比較係數：

sin⁡ϕ′=tan⁡α,c′cos⁡ϕ′=m\sin\phi'=\tan\alpha,\qquad c'\cos\phi'=m

所以：

ϕ′=sin⁡−1(tan⁡α)\boxed{\phi'=\sin^{-1}(\tan\alpha)} c′=mcos⁡ϕ′=m1−tan⁡2α\boxed{c'=\frac{m}{\cos\phi'} =\frac{m}{\sqrt{1-\tan^2\alpha}}}

其中三軸壓縮情況須符合 tan⁡α=sin⁡ϕ′\tan\alpha=\sin\phi'，故 ∣tan⁡α∣<1|\tan\alpha|<1；若採正的凝聚力參數，則 m≥0m\geq 0。

（二）SCU 試驗孔隙水壓與總應力

核心觀念

SCU（飽和、固結、不排水）試驗中，破壞時的有效應力已知，可先由有效主應力差及孔隙水壓力參數 AfA_f 求破壞時超額孔隙水壓，再用有效應力原理 σ′=σ−u\sigma'=\sigma-u 還原總應力。

軸差應力定義為：

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第 三 題20 分

回答下列土壤壓密問題：（每小題 10 分，共 20 分）

(一) 以圖一所示土層及所列相關參數，若 Δσ=100 kPa\Delta\sigma=100\ \text{kPa}、H1=2.0 mH_1=2.0\ \text{m}、H2=4.0 mH_2=4.0\ \text{m}、H3=8.0 mH_3=8.0\ \text{m}，地下水位於 2.0 m2.0\ \text{m} 深度，忽略砂層沉陷，計算主壓密完成後地表沉陷量。

(二) 現場加載後經 120 天其壓密沉陷量為 16.5 cm16.5\ \text{cm}，若現地以排水砂樁加速其壓密過程，目標為最遲於 128 天後完成 90% 平均壓密度，試計算排水砂樁之最大間距。

參考公式：

T=π4(U%100)2for U≤60%T=\frac{\pi}{4}\left(\frac{U\%}{100}\right)^2\quad\text{for }U\leq 60\%

T=cvt(Hdr)2T=\frac{c_vt}{(H_{dr})^2}

T90=0.848T_{90}=0.848

圖一所列參數：

e=0.60,Gs=2.65e=0.60,\quad G_s=2.65

Cc=0.35,Cr=0.07,OCR=1.3C_c=0.35,\quad C_r=0.07,\quad OCR=1.3

e=0.5,Gs=2.70e=0.5,\quad G_s=2.70

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考兩個部分：先以有效應力及超固結土壓密公式計算黏土層主壓密沉陷量，再由已知沉陷量反算平均壓密度與壓密係數，估算砂樁間距。

黏土層中心初始有效應力為 σ0′\sigma'_0，前期壓密壓力為 σp′=OCR σ0′\sigma'_p=OCR\,\sigma'_0。因最終有效應力超過前期壓密壓力，沉陷量須分成再壓密與正常壓密兩段計算：

Sc=H31+e0[Crlog⁡10(σp′σ0′)+Cclog⁡10(σ0′+Δσσp′)]S_c=\frac{H_3}{1+e_0} \left[ C_r\log_{10}\left(\frac{\sigma'_p}{\sigma'_0}\right) +C_c\log_{10}\left(\frac{\sigma'_0+\Delta\sigma}{\sigma'_p}\right) \right]

解題方法

（一）主壓密完成後的地表沉陷量

地下水位在地表下 2.0 m2.0\text{ m}，因此 H1H_1 位於地下水位以上；H2H_2 與黏土層位於地下水位以下。忽略砂層沉陷，只計算厚度 H3=8.0 mH_3=8.0\text{ m} 的黏土層。

砂土與黏土的浮重度分別為：

γ砂′=Gs−11+eγw=2.65−11+0.60(9.81)=10.12 kN/m3\gamma'_{\text{砂}} =\frac{G_s-1}{1+e}\gamma_w =\frac{2.65-1}{1+0.60}(9.81) =10.12\text{ kN/m}^3 γ黏土′=Gs−11+eγw=2.70−11+0.50(9.81)=11.12 kN/m3\gamma'_{\text{黏土}} =\frac{G_s-1}{1+e}\gamma_w =\frac{2.70-1}{1+0.50}(9.81) =11.12\text{ kN/m}^3

地下水位以上砂土採乾單位重：

γd,砂=Gs1+eγw=2.651+0.60(9.81)=16.25 kN/m3\gamma_{d,\text{砂}} =\frac{G_s}{1+e}\gamma_w =\frac{2.65}{1+0.60}(9.81) =16.25\text{ kN/m}^3

黏土層中心位於地表下 H1+H2+H3/2=10.0 mH_1+H_2+H_3/2=10.0\text{ m}，其初始有效應力為：

σ0′=(2)(16.25)+(4)(10.12)+(4)(11.12)=117.44 kPa\sigma'_0 =(2)(16.25)+(4)(10.12)+(4)(11.12) =117.44\text{ kPa}

由 OCR=1.3OCR=1.3 得前期壓密壓力：

σp′=OCR σ0′=1.3(117.44)=152.67 kPa\sigma'_p=OCR\,\sigma'_0 =1.3(117.44)=152.67\text{ kPa}

加載後最終有效應力為：

σf′=σ0′+Δσ=117.44+100=217.44 kPa\sigma'_f=\sigma'_0+\Delta\sigma =117.44+100=217.44\text{ kPa}

因 σ0′<σp′<σf′\sigma'_0<\sigma'_p<\sigma'_f，沉陷量分別計算再壓密段與正常壓密段：

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第 四 題40 分

回答下列土壤動力相關問題：

(一) 定義加速度反應譜（acceleration response spectrum）及其與最大水平加速度之關係。（10 分）

(二) 考慮強地動預估式（Ground-Motion Predict Equation, GMPE）之形式，列出影響場址強地動之因子及指出影響強地動最顯著之因子。（10 分）

(三) 現地剪力波速剖面如表所列，試計算此場址 30 公尺內之平均剪力波速（Vs30V_{s30}）；若定義岩盤為剪力波速高於 360 m/s360\ \text{m/s} 之地盤，請計算此場址之地盤共振主頻。（20 分）

深度（m）剪力波速（VsV_s）（m/s）
0–5145
5–15180
15–27215
27–40420
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

加速度反應譜是以指定地震地表加速度歷時，輸入一系列不同自然週期、並採用指定阻尼比的單自由度振子，記錄各振子最大反應加速度後，繪成「週期—最大反應加速度」曲線。常用阻尼比為 5%5\%。

以 Sa(T,ξ)S_a(T,\xi) 表示週期 TT、阻尼比 ξ\xi 下的譜加速度；最大水平加速度（PGA）則是地表水平加速度歷時的最大絕對值。當振子週期趨近於零時，振子反應加速度趨近地表加速度，因此：

lim⁡T→0Sa(T,ξ)=PGA\lim_{T\to 0} S_a(T,\xi)=\mathrm{PGA}

反應譜上的其他週期值，代表該週期振子在地震作用下的最大反應，通常不等於 PGA，也可能高於 PGA。計算或比較反應譜時，須一併說明採用的阻尼比。

（二）強地動預估式的影響因子

核心觀念與解題方法

強地動預估式（GMPE）依地震規模、震源至場址距離、震源特性及場址條件等，估計場址的地震動指標。其概念形式可寫為：

ln⁡Y=f(M,R,震源機制,傳播路徑,場址條件,…)+ε\ln Y=f(M,R,\text{震源機制},\text{傳播路徑},\text{場址條件},\ldots)+\varepsilon

其中 YY 可代表 PGA 或特定週期的譜加速度，ε\varepsilon 表示地震動的隨機離散性。

主要影響因子包括：

  • 地震規模 MM：影響震源釋放能量及地震動幅度。
  • 震源至場址距離 RR：地震波傳播過程會衰減，通常距離愈遠，地震動愈小。
  • 震源及斷層特性：包括斷層型態、破裂方向性、破裂深度，以及場址是否位於上盤等。
  • 傳播路徑條件：包括地殼構造與地震波在路徑中的衰減。
  • 場址條件：包括淺層剪力波速、土層厚度、盆地效應及地形條件等。

就一般 GMPE 的整體預測而言，地震規模是最主要的控制因子之一，通常是影響強地動最顯著的因子。在規模固定時，震源距離與場址條件也會顯著改變場址地震動。

（三）計算 Vs30V_{s30} 與地盤共振主頻

核心觀念

Vs30V_{s30} 是地表下 30 公尺土層的等效平均剪力波速，須按各層波傳時間加權，採用調和平均：

Vs30=30∑ihiVs,iV_{s30}=\frac{30}{\displaystyle\sum_i\frac{h_i}{V_{s,i}}}

地盤基本共振主頻可用四分之一波長法估算。地表至岩盤界面的總波傳時間為 ∑hi/Vs,i\sum h_i/V_{s,i}，故：

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