108 公務人員升官等薦任 經建行政 公共經濟學 考古題詳解

核心觀念

1. 純公共財（Pure Public Goods）的特徵： 涼亭具備「非敵對性（Non-rivalry）」與「非排他性（Non-excludability）」，一人消費不會減少他人消費數量，且無法（或成本過高而難以）排除其他村落居民使用。
2. 薩繆森條件（Samuelson Condition）： 公共財的社會最適提供水準，應滿足全體消費者的邊際效益總和等於邊際成本，即： $\sum_{i=1}^n MRS_i = MRT \iff \sum_{i=1}^n MWTP_i = MC$ 在圖形上表現為個別需求曲線的「垂直加總」（Vertical Summation）。
3. 私人自願提供（Private Provision）與搭便車問題（Free-rider Problem）： 當缺乏集體強制力或協調機制時，個別主體採取奈許均衡（Nash Equilibrium）決策，僅衡量「私人生產帶來的個人邊際效益」與「個人邊際成本」（$MB_i = MC$），忽略帶給他人的正外部性，導致公共財提供不足（Under-provision），甚至完全不提供。

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解題方法

(一) 全部三個村落的最適涼亭數量與圖形說明

1. 需求曲線的垂直加總（市場總邊際效益）

個別村落的願付價格（邊際願付價格 $MWTP_i = p_i$）需大於等於 $0$：

• 村落 1：$p_1 = 50 - G \ge 0 \implies G \le 50$
• 村落 2：$p_2 = 110 - G \ge 0 \implies G \le 110$
• 村落 3：$p_3 = 150 - G \ge 0 \implies G \le 150$

社會總邊際願付價格（$SMB$）為個別願付價格的垂直加總。當 $0 \le G \le 50$ 時，三個村落的願付價格皆大於等於 $0$： $SMB = \sum_{i=1}^3 p_i = (50 - G) + (110 - G) + (150 - G) = 310 - 3G$

註：完整的分段總需求曲線為：

• 當 $0 \le G \le 50$：$P = 310 - 3G$
• 當 $50 < G \le 110$：$P = (110 - G) + (150 - G) = 260 - 2G$
• 當 $110 < G \le 150$：$P = 150 - G$
• 當 $G > 150$：$P = 0$

2. 求解社會最適數量

依據薩繆森條件，$SMB = MC$： $310 - 3G^* = 190$ $3G^* = 120 \implies G^* = 40$

檢驗各村落在 $G^* = 40$ 時的邊際願付價格：

• $p_1(40) = 50 - 40 = 10 > 0$
• $p_2(40) = 110 - 40 = 70 > 0$
• $p_3(40) = 150 - 40 = 110 > 0$
• 總願付價格：$10 + 70 + 110 = 190 = MC$

均衡解 $G^* = 40$ 確實座落於 $0 \le G \le 50$ 的區間內，故全體最適涼亭數量為 $40$ 座。

3. 圖形說明

考卷作圖繪製方式如下：

• 橫軸：涼亭數量 $G$；縱軸：價格與邊際成本 $P, MC$。
• 邊際成本線：繪製一條水平線 $MC = 190$。
• 個別需求線：
• $d_1$：縱軸截距為 $50$，橫軸截距為 $50$。
• $d_2$：縱軸截距為 $110$，橫軸截距為 $110$。
• $d_3$：縱軸截距為 $150$，橫軸截距為 $150$。

核心觀念

本題旨在測驗公共經濟學中「公共選擇理論」（Public Choice Theory）與「社會選擇理論」（Social Choice Theory）的奠基理論——艾羅不可能定理（Arrow’s Impossibility Theorem）。核心觀念涵蓋：

1. Arrow 不可能定理的定義與公理系統：在個人偏好為順序效用（Ordinal Utility）、無法進行人際效用比較（No Interpersonal Comparison of Utility），且備選方案至少有 3 種、個人至少有 2 人的前提下，不存在任何一種集體決策規則（社會福利函數），能同時滿足「社會理性」（集體完全性與遞移性）與四項最低限度的「民主公平條件」（無限制領域、帕雷托原則、無關備選方案獨立性、非獨裁性）。
2. 社會福利函數（Social Welfare Function, SWF）之意涵：

• 區分 Arrow 的社會福利函數（以聚合個人偏好為目的之投票或選擇規則）與 Bergson-Samuelson 的社會福利函數（基於主觀倫理價值判斷的社會福利衡量）。
• 凸顯「民主聚合個人偏好」在技術上的根本限制，以及後續研究透過放寬偏好限制（如單峰偏好）、引入基數效用與人際效用比較、或承認價值判斷不可避免性之轉折。

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解題方法

本題為標準申論題，作答架構分為兩大部分：

1. 第一部分：完整闡明 Arrow 不可能定理的內容

• 先界定定理的前提假設（至少 3 個選項、至少 2 個人）。
• 條列並詳述不可同時滿足的五項公理條件（集體理性、無限制領域、帕雷托原則、無關備選方案獨立性、非獨裁性），並以數學符號輔助定義。

2. 第二部分：申論其對「社會福利函數組成」的重要意涵

• 從「規範經濟學與實證選擇的斷裂」、「人際效用比較的必要性」、「制度設計與放寬假設（如單峰偏好與中位數投票者）」以及「Bergson-Samuelson 社會福利函數的定位」四個層面，層層剖析該定理對經濟學如何建構與評估社會福利的深遠影響。

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詳細解析

一、Arrow 不可能定理之內容

1951 年，諾貝爾經濟學獎得主肯尼斯・艾羅（Kenneth Arrow）於《社會選擇與個人價值》（Social Choice and Individual Values）一書中提出。該定理指出：當社會面臨至少 3 種備選方案（$A, B, C$），且至少由 2 位具有完全性與遞移性順序偏好的個體所組成時，不存在任何一種集體決策機制（社會選擇規則），能同時滿足下列五項看似極為合理且最低限度的基本條件：

1. 集體理性（Collective Rationality）

• 完全性（Completeness）：社會偏好對於任兩個備選方案 $A$ 與 $B$，必定存在明確排序，即 $A \succsim_S B$ 或 $B \succsim_S A$。
• 遞移性（Transitivity）：若社會偏好 $A \succsim_S B$ 且 $B \succsim_S C$，則必定有 $A \succsim_S C$。此條件旨在避免集體決策陷入「循環多數決」（Condorcet Paradox / 投票矛盾）。

2. 無限制領域（Unrestricted Domain / Universal Domain）

• 制度必須允許個人擁有任何邏輯上可能的偏好排序，社會福利函數不得預先剔除或限制任何個人偏好結構。

3. 帕雷托原則（Pareto Principle / 弱帕雷托準則）

• 若社會中每一位個人 $i$ 皆認為方案 $A$ 優於方案 $B$（即對所有 $i$，皆滿足 $A \succ_i B$），則社會偏好亦必須判定 $A$ 優於 $B$（$A \succ_S B$）。此反映了集體決策的最低效率標準。

4. 無關備選方案獨立性（Independence of Irrelevant Alternatives, IIA）

• 社會對任何兩個備選方案 $A$ 與 $B$ 的相對排序結果，僅取決於個人對 $A$ 與 $B$ 之間的相對偏好，絕不受第三者方案 $C$ 的排序改變或引進與否之干擾。此條件可杜絕策略性投票或外加方案操控結果的行為。

5. 非獨裁性（Non-Dictatorship）

• 社會中不存在任何單一個人 $d$（獨裁者），其個人偏好能無條件決定社會偏好（即不存在某人 $d$，只要其 $A \succ_d B$，不論其他所有人偏好為何，社會結果必定為 $A \succ_S B$）。

定理結論：若堅持集體決策必須滿足「完全性與遞移性」、「無限制領域」、「帕雷托原則」與「無關備選方案獨立性」，則最後必定會產生一個「獨裁者」（即唯有獨裁制能同時吻合前四項準則）；換言之，完美符合民主原則的理性集體決策程序在邏輯上是不存在的。

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二、Arrow 不可能定理對社會福利函數組成的重要意涵

Arrow 不可能定理打破了古典福利經濟學企圖純粹由個人偏好「客觀聚合」出社會福利指標的構想，其對社會福利函數（SWF）的組成帶來以下關鍵意涵：

1. 純粹「順序效用」與「無人際效用比較」之理論限制

• Arrow 定理建立在新古典經濟學的標準假設上：效用僅具順序性，且個體間的滿足感不可相互比較。定理證明：若完全拒絕人際效用比較，客觀的民主聚合機制將徹底失效。
• 這意味著一個實用且能對政策進行評估的社會福利函數，必須引進基數效用（Cardinal Utility）或某種程度的人際效用可比性（如阿馬蒂亞・森 Amartya Sen 後續的拓展研究），否則無法自個人偏好建構出合理的社會評價標準。

核心觀念

本題評量公共經濟學與福利經濟學中評估政府租稅與補貼政策對個別消費者福利影響的兩大核心工具：補償變量（Compensating Variation, CV）與均等變量（Equivalent Variation, EV）。涉及的核心公式與經濟工具包括：

1. Cobb-Douglas 效用函數需求均衡： 對於標準 Cobb-Douglas 效用函數 $U(x,y)=x^\alpha y^\beta$，消費者在預算限制式 $p_x x + p_y y = I$ 下追求效用極大，對兩商品的支出份額固定為 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 與 $\frac{\beta}{\alpha+\beta}$。
2. 間接效用函數（Indirect Utility Function, $V$）與支出函數（Expenditure Function, $E$）：

• 間接效用函數 $V(p_x, p_y, I)$ 表示在既定價格與所得下所能達到的最大效用水準。
• 支出函數 $E(p_x, p_y, U)$ 為間接效用函數之反函數，表示在既定價格下達到特定效用水準 $U$ 所需的最低貨幣支出。

3. 福利變動之貨幣衡量指標：

• 補償變量（CV）：以價格變動後的價格向量（新價格 $p'$）為評價基準，衡量欲使消費者維持在價格變動前的原有效用水準（$U_0$），政府應給予（或取走）的所得補償金額。 $CV = E(p', U_0) - E(p^0, U_0) = E(p', U_0) - I$ 若價格上漲導致福利受損，需給予正的所得補償（$CV > 0$），該數值即為以 CV 衡量的貨幣化福利損失。
• 均等變量（EV）：以價格變動前的價格向量（舊價格 $p^0$）為評價基準，衡量相當於價格變動後所造成消費者福利變動（達到新效用水準 $U_1$）的所得變動金額。 $EV = E(p^0, U_1) - E(p^0, U_0) = E(p^0, U_1) - I$ 若 $EV > 0$，代表政策使效用增加（福利利得）；若 $EV < 0$，代表政策使效用下降（福利損失）。

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解題方法

一、基礎模型與函數推導

小樂的效用函數為 $U(x,y)=x^{1/2}y^{1/2}$，預算限制式為 $p_x x + p_y y = I$。

1. 推導馬歇爾需求函數（Marshallian Demands）： 由消費者效用極大化一階條件（邊際替代率等於相對價格）： $MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{\frac{1}{2}x^{-1/2}y^{1/2}}{\frac{1}{2}x^{1/2}y^{-1/2}} = \frac{y}{x} = \frac{p_x}{p_y} \implies p_x x = p_y y$ 代入預算限制式 $p_x x + p_x x = I$，得普通需求函數： $x(p_x, p_y, I) = \frac{I}{2p_x}, \quad y(p_x, p_y, I) = \frac{I}{2p_y}$

2. 推導間接效用函數與支出函數： 將需求函數代回效用函數： $V(p_x, p_y, I) = \left(\frac{I}{2p_x}\right)^{1/2}\left(\frac{I}{2p_y}\right)^{1/2} = \frac{I}{2\sqrt{p_x p_y}}$ 對間接效用函數求反函數，可得支出函數： $E(p_x, p_y, U) = 2\sqrt{p_x p_y} \cdot U$

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二、第 (一) 小題求解

1. 稅前商品需求 $(x^0, y^0)$ 與原效用： 已知稅前價格 $p_x^0 = 2, p_y^0 = 2$，所得 $I = 300$： $x^0 = \frac{300}{2 \times 2} = 75, \quad y^0 = \frac{300}{2 \times 2} = 75$ 稅前原有效用水準： $U_0 = V(2, 2, 300) = \frac{300}{2\sqrt{2 \times 2}} = \frac{300}{4} = 75$

2. 定義補償變量（CV）： 補償變量（Compensating Variation, CV）是指在商品價格改變後的新價格體系下，為使消費者的福祉（效用水準）維持在價格變動前的原有效用水準（$U_0$），所需補償給消費者的金額。

3. 課稅後以 CV 衡量的損失： 政府對商品 $x$ 課稅後，價格變為 $p_x' = 3$（$p_y^0 = 2$ 不變），新價格向量為 $p' = (3, 2)$。 在新價格體系下，維持原效用 $U_0 = 75$ 所需之最低支出為：

核心觀念

本題的核心在於地方公共財理論中的丁波模型（Tiebout Model, 1956）。該理論旨在解決純公共財市場在中央集權體制下所面臨的**偏好無法真實顯露（Preference Revelation Problem）與搭便車（Free-rider Problem）**困境。

涉及的核心觀念與理論架構包含：

1. 地方公共財（Local Public Goods）：具備空間排他性與擁擠性特徵的公共財，其效益僅限於特定地理轄區內居民共享。
2. 用腳投票（Voting by Foot）：居民透過自由遷徙選擇居住轄區，實質上等同於消費者在市場中選購私有財貨的「顯示性偏好」（Revealed Preference）。
3. 林達爾均衡（Lindahl Equilibrium）的市場化實現：各轄區設定的定額稅（或財產稅）等同於該公共財組合的價格（Benefit Tax），使資源配置達到柏瑞圖最適（Pareto Efficiency）。

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解題方法

本題為標準的經濟學申論題，答題切入點應分為三大層次循序論述：

1. 假設條件：完整條列丁波模型的七項關鍵假設，特別是關於「要素移動力」、「外溢效果」及「生產成本結構（最適規模）」之設定。
2. 市場均衡特性：推導在上述假設下，居民的自利選擇如何促使市場形成「同質性群聚（Homogeneous Communities）」與「平均成本極小化」的擬似競爭市場均衡。
3. 消除搭便車與達致柏瑞圖最適之機制：

• 對比純公共財與地方公共財的排他機制，說明遷徙行為如何使「偏好顯露」，為何「不付費就無法享受」。
• 以數學條件佐證資源配置滿足薩謬遜條件（Samuelson Condition）與最適人口規模條件（Buchanan Club Goods Condition）。

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解題技巧

1. 判斷竅門：丁波理論的本質就是「將公共財私有財化」。解題時將「各地方政府」類比為「各廠商」，「租稅—公共支出組合」類比為「產品規格與售價」，「居民遷徙」類比為「消費者購物」，即可輕鬆推導出市場運作特性。
2. 常見陷阱：

• 誤以為丁波模型下的公共財沒有擁擠成本。若無擁擠成本，單一社區人口無限增加均攤成本最劃算，就不會存在多個獨立社區的均衡，因此必須強調「U 型平均成本曲線」與「最適人口規模」。
• 僅回答「因為大家會搬家，所以沒有搭便車」，未點出「空間排他性」與「租稅充當價格機能（利益課稅）」的經濟學意涵。

3. 高分關鍵詞：顯示性偏好（Revealed Preference）、同質性社區（Homogeneous Community）、林達爾價格（Lindahl Price）、擁擠效果（Congestion Effect）、薩謬遜條件（$\sum MRS = MRT$）。

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【答案】

一、丁波（C. Tiebout）用腳投票理論之重要假設

丁波於 1956 年提出《地方支出的純理論》（A Pure Theory of Local Expenditures），建構了一套地方公共財配置的擬似市場模型，其核心奠基於以下假設：

1. 居民具完全移動力（Costless and Complete Mobility）：居民可隨意在各地方政府（轄區）間自由遷徙，且遷移成本為零。
2. 資訊完全（Perfect Information）：居民完全清楚掌握所有轄區所提供的「公共支出項目、水準」與「租稅負擔」資訊。
3. 轄區數量眾多（Large Number of Communities）：存在足夠多數量的地方轄區，可供居民依其不同偏好自由挑選最適居所。
4. 就業不受居住地限制（No Employment Restrictions）：假設所有居民的所得主要來自股利、利息或養老金等非勞動所得；或假設各轄區皆能提供相同就業機會，居民選擇居住地純粹基於公共服務與稅負偏好，無工作通勤限制。
5. 無轄區間的外溢效果（No Interjurisdictional Externalities / Spillovers）：各轄區所提供的公共財，其效益與生產成本均完全內部化於該轄區境內，既無外溢效益，亦無跨區污染等外溢成本。