108 公務人員升官等薦任 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

電力潮流分析（Power Flow Analysis）旨在計算電力系統在給定運行條件下，各匯流排（Bus）之穩態電壓大小與相角，進而求得線路潮流與損耗。系統中每個匯流排關聯四個基本變數：

1. 淨注入實功率（Active Power, $P$）
2. 淨注入虛功率（Reactive Power, $Q$）
3. 電壓大小（Voltage Magnitude, $|V|$）
4. 電壓相角（Voltage Phase Angle, $\delta$）

依據已知變數與未知變數的分配，電力潮流計算將匯流排分為三大類：負載匯流排（Load Bus / PQ Bus）、電壓控制匯流排（Voltage-Controlled Bus / PV Bus / Generator Bus）以及搖擺匯流排（Slack / Swing Bus）。

此外，發電機受限於轉子熱極限（勵磁電流限制）、定子繞組電流極限及端部過熱等物理條件，其虛功率輸出具有上下限約束（$Q_{\min} \le Q_G \le Q_{\max}$）。當電壓控制匯流排計算出之虛功率超過運轉極限時，系統失去維持該點固定電壓之能力，引發匯流排型態的動態轉換。

解題方法

(一) 負載匯流排與電壓控制匯流排之差異說明

針對題目所指定的「有無發電機」及「待解未知變數」，兩者之物理意義與數學模型差異如下：

1. 有無發電機（實體設備層面）

• 負載匯流排（PQ 匯流排）： 此匯流排通常無發電機連接，僅連接變電所、一般用戶負載或輸電線分歧點。其注入系統之功率取決於負載需求（消耗功率，通常記為負注入量）。若該處連接有不可調控的固定發電機（如部分小型再生能源），亦因不具備維持電壓穩定的調壓能力，仍視為負載匯流排處理。
• 電壓控制匯流排（PV 匯流排）： 此匯流排必定連接著具有電壓調節能力的發電機（Synchronous Generator），或者裝設有大型可連續調節虛功率之補償裝置（如同步調相機、靜態虛功補償器 SVC、STATCOM 等）。藉由發電機勵磁系統自動電壓調整器（AVR）的調節，能維持該匯流排之端電壓大小為指定常數。

2. 已知變數與待解未知變數（數學模型層面） 電力系統於各節點必須滿足功率平衡方程式： $P_i = |V_i| \sum_{j=1}^{N} |V_j| (G_{ij} \cos \delta_{ij} + B_{ij} \sin \delta_{ij})$ $Q_i = |V_i| \sum_{j=1}^{N} |V_j| (G_{ij} \sin \delta_{ij} - B_{ij} \cos \delta_{ij})$ 其中 $\delta_{ij} = \delta_i - \delta_j$，$G_{ij} + jB_{ij}$ 為匯流排導納矩陣元素。

• 負載匯流排（PQ 匯流排）：
• 已知量：淨實功率 $P_i$、淨虛功率 $Q_i$（由負載功率需求給定）。
• 待解未知變數：電壓大小 $|V_i|$、電壓相角 $\delta_i$。
• 電壓控制匯流排（PV 匯流排）：
• 已知量：發電機排程淨實功率 $P_i$、指定維持之電壓大小 $|V_i|$。
• 待解未知變數：電壓相角 $\delta_i$、為維持指定電壓所需注入之虛功率 $Q_i$。

(二) 虛功率超過上限值時之疊代修正處理

在電力潮流以疊代法（如牛頓-拉福森法 Newton-Raphson Method 或高斯-賽德爾法 Gauss-Seidel Method）求解過程中，每次疊代皆需檢驗電壓控制匯流排 $i$ 計算所得之虛功率 $Q_i$ 是否落在實際允許邊界內： $Q_{i,\min} \le Q_i \le Q_{i,\max}$

當某次疊代發現計算值超過上限值（$Q_i > Q_{i,\max}$）時，下 1 次疊代必須進行下列處理與架構改變：

核心觀念

本題評量對稱成分法中三相雙繞組變壓器的零相序等效電路建模。解答的核心在於掌握以下兩大定理與邊界條件：

1. 中性點接地阻抗之「3 倍效應」： 三相系統中，三相零序電流大小相等、相位相同（$I_{a0} = I_{b0} = I_{c0}$）。流經中性點接地阻抗 $Z_n$ 的電流為中性線總電流： $I_n = I_a + I_b + I_c = 3 I_{a0}$ 中性點對地產生的電壓降為： $V_n = I_n Z_n = (3 I_{a0}) Z_n = I_{a0} (3 Z_n)$ 因此，在以單相相電流 $I_{a0}$ 為基準的單相零序等效電路中，中性點接地阻抗必須等效放大為 $3Z_n$。

2. 雙繞組變壓器之「安匝平衡」限制： 在簡化等效電路中，激磁導納（並聯支路）忽略不計。依據磁路安培-匝數平衡原理： $N_1 I_{1,0} = N_2 I_{2,0}$ 零序電流能否在變壓器繞組中流通，取決於變壓器兩側是否均具備完整的零序電流流通迴路：

• 若任一側為未接地 Y 接（中性點懸空開路），則該側零序電流必為零（$I_{2,0} = 0$）；由安匝平衡條件可知，另一側即使中性點接地，亦無法流過零序電流（$I_{1,0} = 0$）。
• 只有當兩側中性點皆接地時，零序電流才能在一次側與二次側之間直接貫通流通。

解題方法

(一) 1 次側 Y 接（經阻抗 $Z_1$ 接地）、2 次側 Y 接（經阻抗 $Z_2$ 接地）

1. 工作原理分析：

• 1 次側中性點經 $Z_1$ 接地，等效零序阻抗增加 $3Z_1$。
• 2 次側中性點經 $Z_2$ 接地，等效零序阻抗增加 $3Z_2$。
• 變壓器本身漏阻抗為 $Z$。
• 因兩側中性點均接地，若外部系統提供零序迴路，零序電流可自 1 次側端子流入，穿過變壓器繞組，由 2 次側端子流出（地網則提供兩側中性點間的返回路徑）。

2. 電壓降方程式： 設 1 次側與 2 次側端子對地之零序電壓分別為 $V_{1,0}$ 與 $V_{2,0}$，流通之零序電流為 $I_0$： $V_{1,0} - V_{2,0} = (3Z_1) I_0 + Z I_0 + (3Z_2) I_0 = (Z + 3Z_1 + 3Z_2) I_0$ 因此，1 次側端子與 2 次側端子之間為一總串聯阻抗： $Z_{0,\text{total}} = Z + 3Z_1 + 3Z_2$ 由於題目採用簡化等效電路（忽略激磁分路），故此串聯路徑與「零相序參考匯流排」之間無任何並聯分路接地。

3. 零相序等效電路圖：

 1 次側端子 (Bus 1) 2 次側端子 (Bus 2)
 o------------[ 3Z₁ ]------[ Z ]------[ 3Z₂ ]------------o
 
 ----------------------------------------------------------------
 零相序參考匯流排 (Reference Bus)

(二) 1 次側 Y 接（經阻抗 $Z_1$ 接地）、2 次側 Y 接（未接地）

1. 工作原理分析：

• 2 次側為 Y 接且中性點未接地（中性點浮接），零序電流無路可通，故 2 次側零序電流強制為零： $I_{2,0} = 0$
• 依簡化變壓器模型（忽略激磁導納）之安匝平衡約束：

核心觀念

本題評量傳輸線參數計算的基礎物理與電磁理論，核心觀念包含：

1. 導體外部磁通鏈與外電感（External Inductance）： 依據安培環路定律，長直載流導體外部距離圓心 $x$ 處的磁場強度 $B(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$。在距離圓心 $D_1$ 至 $D_2$ 範圍內，每公尺導體所包圍的外部磁通鏈為 $\lambda_{12} = \int_{D_1}^{D_2} B(x)\,dx$。依電感定義 $L = \frac{\lambda}{I}$，兩點間的單位長度外電感公式為： $L_{12} = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\left(\frac{D_2}{D_1}\right) = 2\times 10^{-7}\ln\left(\frac{D_2}{D_1}\right)\quad (\mathrm{H/m})$

2. 長直帶電導體外部電場、電位差與電容（Capacitance）： 依據高斯定律，線電荷密度為 $q$（$\mathrm{C/m}$）的導體在外部距離圓心 $x$ 處產生的徑向電場為 $E(x) = \frac{q}{2\pi\varepsilon x}$。兩點間的電位差為 $V_{12} = \int_{D_1}^{D_2} E(x)\,dx = \frac{q}{2\pi\varepsilon}\ln\left(\frac{D_2}{D_1}\right)$。依電容定義 $C = \frac{q}{V}$，兩點間的單位長度電容公式為： $C_{12} = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln(D_2/D_1)}\quad (\mathrm{F/m})$

解題方法

(一) 求導體在甲與乙之間的單位長度電感

1. 推導外部磁通鏈： 設該孤立導體載有電流 $I$。取距離導體圓心 $x$ 處（$x \ge$ 導體半徑 $r$）之同心圓路徑，由安培環路定律可得磁通密度： $B(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$ 其中真空磁導率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$。

甲點距離圓心 $D_{\text{甲}} = 10\ \mathrm{m}$，乙點距離圓心 $D_{\text{乙}} = 100\ \mathrm{m}$。在甲與乙兩圓柱面之間，每公尺長度所交鏈的外部磁通為： $\lambda_{\text{甲乙}} = \int_{D_{\text{甲}}}^{D_{\text{乙}}} B(x)\,dx = \frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_{10}^{100}\frac{1}{x}\,dx = \frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\left(\frac{100}{10}\right) = 2\times 10^{-7} \cdot I \cdot \ln(10)$

2. 計算單位長度電感： 由電感定義 $L_{\text{甲乙}} = \frac{\lambda_{\text{甲乙}}}{I}$： $L_{\text{甲乙}} = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln(10) = 2\times 10^{-7}\times \ln(10)$ 代入 $\ln(10) \approx 2.3026$： $L_{\text{甲乙}} = 2\times 10^{-7}\times 2.3026 \approx 4.6052 \times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$

(二) 求導體在甲與乙之間的單位長度電容

1. 計算甲、乙兩點間之電位差： 已知線電荷密度 $q = 2\ \mathrm{C/m}$，介電係數 $\varepsilon = 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$。

核心觀念

1. 三相輸電線換位與等效間距（幾何均距，GMD）：

• 當三相導線為不對稱排列（例如水平直線排列）時，各相間的互感與互容不相等，造成三相阻抗不平衡。
• 經「完整換位」（Completely Transposed）後，每相導線在線路全長中均勻歷經三個位置，其每相平均電感與電容可等效為正三角形對稱排列。
• 其等效幾何均距（Equivalent Spacing 或 GMD，記為 $D_{eq}$）定義為三相間距之幾何平均值： $D_{eq} = \sqrt[3]{D_{ab} D_{bc} D_{ca}}$

2. 輸電線之分佈電容與容抗特性：

• 輸電線的電抗分為「串聯感抗」與「分路容抗」：
• 串聯感抗：線路電感隨長度增加而串聯累加，感抗與長度成正比（$X_L = \omega L \propto \ell$）。
• 分路容抗：導線對中性線之電容隨長度增加而並聯累加，總電容與長度成正比（$C_{\text{total}} = C' \times \ell$）。
• 容抗公式為 $X_C = \frac{1}{\omega C}$，因此對中性線之總容抗與線路長度成反比： $X_{C,\text{total}} = \frac{X_{C}'}{\ell}$ 其中 $X_{C}'$ 為單位長度之容抗（單位為 $\Omega\cdot\text{m}$ 或以本題之「每公尺容抗」表示）。

解題方法

(一) 計算換位等效之 $F$ 值

1. 標定三相導線間距： 三相導線排成一直線，相鄰間距各為 $8F$ 公尺，兩外側導線間距為 $16F$ 公尺：

• $D_{12} = 8F\text{ m}$
• $D_{23} = 8F\text{ m}$
• $D_{31} = 16F\text{ m}$

2. 求等效幾何均距 $D_{eq}$： $D_{eq} = \sqrt[3]{D_{12} \times D_{23} \times D_{31}} = \sqrt[3]{(8F) \times (8F) \times (16F)}$ 展開根號內的數值： $(8F) \times (8F) \times (16F) = 1024 F^3$ 因此： $D_{eq} = \sqrt[3]{1024 F^3} = F \cdot \sqrt[3]{1024}$

3. 依題意建立方程式求解 $F$： 題目要求等效為三相等間距 $D = 16\text{ m}$ 的平衡輸電線，即 $D_{eq} = 16\text{ m}$： $F \cdot \sqrt[3]{1024} = 16$ 將兩邊同時立方： $1024 F^3 = 16^3$ $1024 F^3 = 4096$ $F^3 = \frac{4096}{1024} = 4$ 取三次方根得：

核心觀念

1. 節點電壓法與匯流排導納矩陣（Bus Admittance Matrix, $Y_{\mathrm{bus}}$）： 在電力系統網路分析中，節點方程式表示為 $YV = I$。其中：

• $V = \begin{bmatrix} V_1 & V_2 & V_3 \end{bmatrix}^T$ 為各匯流排相對於參考節點（地）的電壓向量。
• $I = \begin{bmatrix} I_1 & I_2 & I_3 \end{bmatrix}^T$ 為由外部注入各匯流排的等效電流向量。
• $Y$ 為系統之匯流排導納矩陣（階數為 $3 \times 3$）。

2. 電源轉換（戴維寧轉諾頓等效電路）： 題目給定之電源為理想電壓源串聯內阻抗（戴維寧模型）。列寫節點導納方程式時，必須將其轉換為諾頓等效模型（理想電流源並聯內導納）：

• 諾頓等效電流源 $I_s = \frac{E}{Z_s}$，方向流入匯流排①，作為匯流排①的外部注入電流 $I_1$。
• 電源內導納 $y_{10} = \frac{1}{Z_s}$，視為匯流排①對參考地（Bus 0）的並聯接地導納。

3. 匯流排導納矩陣元素構成法則：

• 自導納（對角元素 $Y_{ii}$）：連接於匯流排 $i$ 的所有支路導納（含對地導納）之總和，即 $Y_{ii} = \sum y$。
• 互導納（非對角元素 $Y_{ij}$）：連接於匯流排 $i$ 與匯流排 $j$ 間支路導納之負值，即 $Y_{ij} = -y_{ij}$。

解題方法

步驟一：計算各支路導納與電源內導納

• 電源內阻抗 $Z_s = j0.5\ \Omega$，轉換為電源內導納（即匯流排①對地導納 $y_{10}$）： $y_{10} = \frac{1}{Z_s} = \frac{1}{j0.5} = -j2\ \mathrm{S}$
• 匯流排①與②間的輸電線阻抗 $Z_{12} = j0.1\ \Omega$，對應支路導納： $y_{12} = \frac{1}{Z_{12}} = \frac{1}{j0.1} = -j10\ \mathrm{S}$
• 匯流排②與③間的輸電線阻抗 $Z_{23} = j0.2\ \Omega$，對應支路導納： $y_{23} = \frac{1}{Z_{23}} = \frac{1}{j0.2} = -j5\ \mathrm{S}$

步驟二：求 $I$ 矩陣之實際數值（第(二)小題推導）

根據克希荷夫電流定律（KCL），各匯流排之外部注入電流為：

• 匯流排①：由電源電壓 $E = 100\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$ 經內阻抗 $Z_s = j0.5\ \Omega$ 注入： $I_1 = \frac{E}{Z_s} = \frac{100\angle 0^\circ}{j0.5} = \frac{100}{0.5\angle 90^\circ} = 200\angle -90^\circ\ \mathrm{A} = -j200\ \mathrm{A}$
• 匯流排②：無外部電源注入，故 $I_2 = 0\ \mathrm{A}$。
• 匯流排③：無外部電源注入，故 $I_3 = 0\ \mathrm{A}$。

因此，注入電流矩陣 $I$ 為： $I = \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -j200 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\ \mathrm{A} = \begin{bmatrix} 200\angle -90^\circ \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\ \mathrm{A}$