112 公務人員升官等薦任 測量製圖 大地測量（包括測量平差法） 考古題詳解

112 年・公務人員升官等・薦任・測量製圖
試題代碼 大地測量（包括測量平差法）

第 一 題25 分

請說明何謂大地起伏？並解釋該如何建立區域大地起伏模式？以及說明大地起伏模式在實務上如何應用？

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核心觀念

大地起伏（geoid undulation，NN）是大地水準面相對於指定參考橢球面的高度差。大地水準面是地球重力位的一個等位面，近似代表靜止平均海水面向大陸下方延伸的曲面；參考橢球面則是計算與定位使用的數學曲面。兩者不重合，因此大地起伏會隨位置改變，且必須說明所依據的參考橢球與垂直基準。

GNSS 直接測得的是點相對於參考橢球面的橢球高 hh；工程與地形常用的正高 HH，則是相對於大地水準面的高程。其基本關係為：

h≈H+Nh \approx H+N

因此：

H≈h−N,N≈h−HH \approx h-N,\qquad N \approx h-H

此為實務常用關係式；嚴格處理時，須考量高程系統定義及重力場因素。若採正常高系統，對應的量是高程異常 ζ\zeta，其關係為 h=HN+ζh=H^N+\zeta，不可將 ζ\zeta 與大地起伏 NN 混為一談。

解題方法：建立區域大地起伏模式

建立區域模式的核心，是整合重力場資料與測量控制資料，求出指定區域內各位置的 NN，再以網格或數值模型供查算使用。常見流程如下。

  1. 界定基準與範圍 選定參考橢球、坐標框架、垂直基準與模型涵蓋範圍，並確認資料的參考時期及高程種類。基準不一致會造成整體偏移或傾斜，不能只靠插值消除。

  2. 蒐集與整理資料 蒐集地面重力觀測、全球重力場模型、數值地形資料，以及具橢球高與已知正高的 GNSS／水準控制點。重力觀測須完成儀器、潮汐、漂移、基準與地形等必要改正；資料也須統一坐標、高程基準及單位。

  3. 計算重力大地起伏 常用「移去—計算—復原」法（remove–compute–restore）：先以全球重力場模型移去長波長重力訊號，再由區域重力資料計算短波長訊號，最後將已移去的長波長部分復原；地形效應亦依所採方法處理。計算可採 Stokes 積分、FFT 或最小二乘配置等重力場計算方法，形成重力大地起伏初始模式。

  4. 以 GNSS／水準資料配合區域高程基準 在控制點計算實測大地起伏：

Niobs=hi−HiN_i^{\mathrm{obs}}=h_i-H_i

將其與重力模式值比較，求得差值：

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第 二 題25 分

對某一空間固定點位而言，當選用之參考橢球體之長半徑變大，而扁平率維持固定時，則會對該點之坐標造成何種影響？

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核心觀念

題目考的是：固定同一個空間點，只改變參考橢球的大小，並保持扁平率 ff 不變時，大地坐標會如何改變。這裡的大地坐標指大地緯度 φ\varphi、大地經度 λ\lambda 與橢球高 hh。

扁平率與第一偏心率平方分別為

f=a−ba,e2=2f−f2f=\frac{a-b}{a},\qquad e^2=2f-f^2

其中 aa、bb 分別是長半徑與短半徑。當 aa 增大而 ff 固定時，e2e^2 不變，橢球形狀不變、尺度放大。

解題方法

假設橢球中心與坐標軸方向不變，固定點的地心直角坐標為 (X,Y,Z)(X,Y,Z)，並令

p=X2+Y2p=\sqrt{X^2+Y^2}

大地坐標與地心直角坐標的關係為

p=(N+h)cos⁡φp=(N+h)\cos\varphi Z=[N(1−e2)+h]sin⁡φZ=\bigl[N(1-e^2)+h\bigr]\sin\varphi

其中卯酉圈曲率半徑

N=a1−e2sin⁡2φN=\frac{a}{\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}}

由前兩式消去 hh，可得

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第 三 題25 分

下圖水準網中，某人觀測得 AA～DD 各點間高程差數值如下表所示。請以條件平差法計算各觀測量之殘差，並計算平差改正後點 BB 至 DD 之高程差值。

觀測資料：

L1L_1：AA－BB，高程差觀測值 1.151.15

L2L_2：BB－CC，高程差觀測值 1.371.37

L3L_3：CC－DD，高程差觀測值 −2.24-2.24

L4L_4：DD－AA，高程差觀測值 −0.34-0.34

L5L_5：CC－AA，高程差觀測值 −2.53-2.53

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

條件平差法是在觀測量之間建立必須成立的幾何條件，再以最小二乘原則分配改正數，使改正後觀測量符合條件。本題有 5 個高程差觀測量，水準網有 2 個獨立閉合條件。

題目未提供各觀測量的權，以下依等精度觀測處理，令 P=IP=I。將表中 A−BA-B 解讀為由 AA 至 BB 的高程差，即 HB−HAH_B-H_A；改正數 viv_i 定義為「平差值減觀測值」。

解題方法與計算

依點名方向列出兩個獨立閉合條件：

L1+L2+L3+L4=0L_1+L_2+L_3+L_4=0 L1+L2+L5=0L_1+L_2+L_5=0

觀測值向量及條件矩陣為

l=[1.151.37−2.24−0.34−2.53],A=[1111011001]\boldsymbol l= \begin{bmatrix} 1.15\\ 1.37\\ -2.24\\ -0.34\\ -2.53 \end{bmatrix}, \qquad A= \begin{bmatrix} 1&1&1&1&0\\ 1&1&0&0&1 \end{bmatrix}

閉合差向量為

w=Al=[1.15+1.37−2.24−0.341.15+1.37−2.53]=[−0.06−0.01]\boldsymbol w=A\boldsymbol l = \begin{bmatrix} 1.15+1.37-2.24-0.34\\ 1.15+1.37-2.53 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.06\\ -0.01 \end{bmatrix}

等精度條件平差的改正數公式為

v=−P−1AT(AP−1AT)−1w\boldsymbol v=-P^{-1}A^T(AP^{-1}A^T)^{-1}\boldsymbol w

因 P=IP=I，

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第 四 題25 分

請說明經過間接觀測平差後，未知參數的精度該如何估計？請列出精度計算所需的方程式，並說明式中各變數的意義。

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核心觀念

本題考查間接觀測平差後，如何由平差結果估計未知參數的精度。平差所得的參數估值是最或然值；其精度以參數協方差矩陣表示，對角線元素的平方根則是各參數的中誤差。

設有 nn 個觀測量、uu 個未知參數，線性化後的間接觀測方程為

v=A Δx−l\mathbf{v}=\mathbf{A}\,\Delta\mathbf{x}-\mathbf{l}

其中 v\mathbf{v} 為改正數向量，A\mathbf{A} 為設計矩陣，Δx\Delta\mathbf{x} 為未知參數改正數，l\mathbf{l} 為閉合差（或常數項）向量。觀測權矩陣為 P\mathbf{P}，且假設觀測誤差符合所採用的隨機模型。

解題方法

1. 求平差後殘差與單位權中誤差

以最小二乘法求得參數改正數：

Δx^=(ATPA)−1ATPl\widehat{\Delta\mathbf{x}} = (\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{A})^{-1} \mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{l}

再由觀測方程計算平差後的殘差：

v^=AΔx^−l\widehat{\mathbf{v}} = \mathbf{A}\widehat{\Delta\mathbf{x}}-\mathbf{l}

若有冗餘觀測，單位權中誤差的估值為

σ^0=v^TPv^n−u\widehat{\sigma}_{0} = \sqrt{\frac{\widehat{\mathbf{v}}^{T}\mathbf{P}\widehat{\mathbf{v}}}{n-u}}

其中 n−un-u 是自由度；此式以觀測權矩陣 P\mathbf{P} 的權尺度已定義為單位權為前提。若 n=un=u，自由度為零，不能由本次平差的殘差估計單位權中誤差，須另有先驗精度資訊。

2. 求未知參數的協方差矩陣與中誤差

未知參數估值的協方差矩陣為

Cx^=σ^0 2(ATPA)−1\mathbf{C}_{\widehat{\mathbf{x}}} = \widehat{\sigma}_{0}^{\,2} (\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{A})^{-1}

若求得的是改正數 Δx\Delta\mathbf{x}，且原始近似值視為無誤差常數，則參數估值 x^=x0+Δx^\widehat{\mathbf{x}}=\mathbf{x}_{0}+\widehat{\Delta\mathbf{x}} 的協方差矩陣相同。

令 Qx^=(ATPA)−1\mathbf{Q}_{\widehat{\mathbf{x}}}=(\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{A})^{-1}，則第 ii 個參數的中誤差為

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