107 關務特考四等 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在考驗考生對機械原理中「間歇運動機構（Intermittent Motion Mechanisms）」之分類、構件組成及運動轉換特性的掌握度。

1. 間歇運動機構之定義： 一種能將原動件（通常為連續等速旋轉）的輸入運動，轉換為從動件呈現週期性「運動（Motion/Index）」與「停歇（Dwell/Rest）」交替循環的機械傳動裝置。
2. 評分核心依據： 評閱標準重在「選取具代表性的機構」、「列出關鍵構件」以及「清楚交代運動期與停歇期的轉換物理原理（特別是停歇時的防轉／鎖定機制）」。

解題方法

面對此類申論題，切入策略應為：

1. 廣度涵蓋不同類型的傳動型式： 挑選原理互異且最具代表性的四種機構——棘輪機構（連桿推爪式）、日內瓦機構（銷槽嚙合式）、缺齒齒輪機構（齒輪嚙合式）、擒縱機構（振盪釋放式）。避免列舉四種過於相近的衍生型（如全部列不同型式的凸輪分度），以展現全面性的知識深度。
2. 統一的結構化論述： 每一種機構均依照「構件組成」與「作動原理（運動期、停歇期及鎖止控制）」兩大層次進行定案論述。若有相關運動幾何約束（如槽數公式、角度分配），一併精準標明，以體現參考書級別的專業性。

機構深入分析與原理說明

一、 棘輪機構（Ratchet Mechanism）

• 主要組成： 棘輪（Ratchet wheel，具有單向傾斜鋸齒之齒輪）、推爪（Driving pawl/動爪，裝於擺動桿上）、止回爪（Holding pawl/止逆爪，樞接於固定機架）及機架。
• 作動原理：

1. 運動期（推進）：當驅動連桿帶動推爪作前推衝程時，推爪嚙入棘輪齒槽，推動棘輪旋轉預定的分度角。
2. 停歇期（止退）：當驅動連桿帶動推爪作後退回程時，推爪滑過鋸齒斜面，此時止回爪卡入齒槽陡面，阻止棘輪反轉，棘輪保持靜止。推爪往復擺動一次，棘輪即完成一次單向間歇進給。

二、 日內瓦機構（Geneva Mechanism / 馬爾他十字機關）

• 主要組成： 主動輪（具驅動銷 Pin 與凸起圓弧鎖止盤 Locking disc）、從動輪（具 $n$ 條徑向凹槽及外緣凹圓弧之槽輪，槽數 $n \ge 3$）。
• 作動原理：

1. 運動期（分度）：主動輪等速迴轉，當驅動銷切向進入槽輪之徑向槽時，帶動槽輪旋轉。每轉進出一次槽，槽輪轉過的角度為： $\theta = \frac{360^\circ}{n}$
2. 停歇期（鎖止）：當驅動銷脫離槽輪徑向槽後，主動輪之凸圓弧表面剛好與槽輪外緣之凹圓弧完全貼合滑動，利用幾何干涉鎖定槽輪，使其在銷未入槽前保持絕對靜止。外嚙合日內瓦機構中，從動件每週期的運動時間佔全週期之比例為： $\tau_{\text{motion}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{n}$ 停歇時間比例為： $\tau_{\text{dwell}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{n}$

三、 缺齒齒輪機構（Mutilated Gear Mechanism / 間歇齒輪機構）

• 主要組成： 主動齒輪（圓周上僅部分分佈輪齒，其餘部分為光滑之凸圓弧緣）、從動齒輪（具有多組與主動齒匹配之短齒列，短齒列之間為凹圓弧弧面）。
• 作動原理：

1. 運動期：主動齒輪的有齒段與從動齒輪的有齒段嚙合，帶動從動齒輪旋轉一定角度。

核心觀念

本題主要測驗槓桿機構的力學原理，涉及第一類槓桿、速度比（理想機械利益）、實際機械利益與機械效率之定義與相互關係：

1. 槓桿之幾何力臂： 依考卷圖示，槓桿由中間支點支撐，屬於支點位於負載與施力之間的第一類槓桿。

• 負載 $F_1$ 作用點至支點的距離為負載臂（抗力臂）$L_1 = L$。
• 施力 $F_2$ 作用點至支點的距離為施力臂 $L_2 = 3L$。

2. 速度比（Velocity Ratio, $VR$，或稱理論／理想機械利益 $MA_{\text{ideal}}$）： 定義為施力作用點的位移 $S_2$ 與負載作用點的位移 $S_1$ 之比值。當槓桿轉動微小角度 $\theta$ 時，$S_2 = L_2 \theta$ 且 $S_1 = L_1 \theta$： $VR = \frac{S_2}{S_1} = \frac{L_2}{L_1}$
3. 實際機械利益（Mechanical Advantage, $MA$）： 定義為實際輸出的負載力 $F_1$ 與輸入的施力 $F_2$ 之比值： $MA = \frac{F_1}{F_2}$
4. 機械效率（Mechanical Efficiency, $\eta$）： 定義為機構的輸出功與輸入功之比值： $\eta = \frac{W_{\text{out}}}{W_{\text{in}}} = \frac{F_1 \times S_1}{F_2 \times S_2} = \left(\frac{F_1}{F_2}\right) \times \left(\frac{S_1}{S_2}\right) = MA \times \frac{1}{VR}$ 由上式可導出三者的核心聯立公式： $MA = \eta \times VR$

解題方法

本題為給定幾何尺寸與效率、求實際機械利益的標準計算題，切入點為先求幾何決定的「速度比」，再透過「機械效率」換算為「實際機械利益」。

步驟一：計算槓桿的速度比（理想機械利益） 依圖示，施力臂 $L_2 = 3L$，負載臂 $L_1 = L$： $VR = \frac{L_2}{L_1} = \frac{3L}{L} = 3$

核心觀念

1. 軸承基本額定壽命公式（$L_{10}$ 壽命）： 根據滾動軸承疲勞壽命理論（ISO 281 標準），滾動軸承在 $90\%$ 可靠度下的基本額定壽命 $L_{10}$ 與負荷之關係式為： $L_{10} = \left( \frac{C}{P} \right)^p \times 10^6\ \text{轉}$ 或以百萬轉（$10^6\ \text{rev}$ 或 $\text{Mrev}$）為單位表示： $L = \left( \frac{C}{P} \right)^p$ 其中：

• $C$：基本動額定負載（Basic Dynamic Load Rating）
• $P$：當量動負載（Equivalent Dynamic Load），在僅承受純徑向負載且無動態衝擊時，$P = F_r$
• $p$：壽命指數（Life Exponent）。滾珠軸承（點接觸）取 $p = 3$；滾子軸承（線接觸）取 $p = \frac{10}{3}$

2. 等壽命下增加負載的設計原理： 由壽命公式 $L = \left( \frac{C}{P} \right)^p$ 可知，若欲在維持相同預期壽命 $L$ 的前提下提高承受負載 $P$，唯一途徑為提高軸承的基本額定負載容量 $C$。

解題方法

一、計算滾珠軸承之預期壽命

1. 代入已知條件：

• 基本動額定負載 $C = 10800\ \mathrm{N}$
• 徑向負荷 $P = 700\ \mathrm{N}$
• 滾珠軸承之壽命指數 $p = 3$

2. 計算額定壽命（以百萬轉為單位）： $L = \left( \frac{C}{P} \right)^3 = \left( \frac{10800}{700} \right)^3 = \left( \frac{108}{7} \right)^3$ $\frac{108}{7} \approx 15.4286$ $L \approx (15.4286)^3 = \frac{1259712}{343} \approx 3672.63\ \text{百萬轉}$

3. 換算為總旋轉圈數（轉數）： $L_{10} = 3672.63 \times 10^6\ \text{轉} \approx 3.673 \times 10^9\ \text{轉}$ （註：題目未給定運轉轉速 $N\ \text{rpm}$，故壽命以標準總轉數或百萬轉表示即為定案。）

二、相同壽命下增加負載之作法

在預期壽命 $L$ 不變的條件下，若欲承受更大之負載 $P$，必須採取提升系統額定負載能力 $C$ 或降低單一軸承負擔之工程措施，具體作法如下：

1. 改選更大尺寸或更重級系列軸承： 在機構空間許可下，選用軸徑更大，或相同內徑但外徑與寬度較大之軸承系列（例如：由超輕系列 6000 改用輕系列 6200、中系列 6300 或重系列 6400），增加軸承容積與負載能力。
2. 改換軸承型式（以線接觸取代點接觸）： 將「滾珠軸承」改為「滾子軸承」（如圓柱滾子軸承或滾針軸承）。

核心觀念

本題屬於機械原理中「輪系傳動」與「起重機靜力平衡（機械利益）」之經典題型，評量考生對齒輪基本幾何尺寸定義與槓桿扭矩平衡原理之整合應用能力：

1. 齒輪幾何尺寸定義：標準正齒輪之模數 $m$、齒數 $T$ 與節圓直徑（節徑）$D$ 之關係為： $D = m \cdot T$ （若指齒頂圓直徑／外徑 $D_o$，則公式為 $D_o = m(T + 2)$；在公職考試中，若題目未特別指定外徑，慣例「齒輪直徑」均指「節圓直徑」）。
2. 靜力平衡與功／力矩傳遞原理：

• 曲柄輸入端力矩：力 $F$ 作用於長度為 $L$ 之曲柄力臂，輸入扭矩 $\tau_{in} = F \cdot L$。
• 齒輪傳動比與扭矩放大：齒輪 $B$（主動輪）驅動齒輪 $C$（從動輪），在不計摩擦損失（效率 100%）下，兩輪節圓接觸點處之切線傳動力 $F_t$ 相等。
• 絞盤輸出端力矩：重物 $W$ 懸掛於直徑 $D$（半徑 $R = \frac{D}{2}$）之絞盤圓周上，產生負載阻力矩 $\tau_{out} = W \cdot \frac{D}{2}$。

解題方法

步驟一：求齒輪 $B$ 之直徑

齒輪 $B$ 之模數為 $m$，齒數為 $T$。 依標準齒輪節圓直徑（節徑）公式可直接得： $D_B = m \cdot T$

步驟二：建立系統之靜力平衡方程式

假設機構在拉起重物時處於等速或靜力平衡狀態，且不計機械摩擦損失：

1. 曲柄軸（輸入軸）之扭矩平衡： 曲柄 $A$ 與齒輪 $B$ 裝於同一軸上，曲柄施加之力矩由齒輪 $B$ 齒面上的切線力 $F_t$ 所平衡： $\tau_{in} = F \cdot L = F_t \cdot \frac{D_B}{2}$ 解得囓合切線力： $F_t = \frac{2 F L}{D_B}$

2. 絞盤軸（輸出軸）之扭矩平衡： 齒輪 $C$ 與絞盤裝於同一軸上，齒輪 $C$ 所接收之切線力 $F_t$ 帶動絞盤旋轉，抗衡重物 $W$ 之力矩： $\tau_{out} = F_t \cdot \frac{D_C}{2} = W \cdot \frac{D}{2}$ 整理得： $F_t \cdot D_C = W \cdot D$

步驟三：推導齒輪 $C$ 之直徑

將步驟二求得之 $F_t = \frac{2 F L}{D_B}$ 代入輸出軸扭矩平衡式： $\left(\frac{2 F L}{D_B}\right) \cdot D_C = W \cdot D$

核心觀念

本題為典型的機構靜力學平衡與運動分析問題，主要考核以下核心觀念與定理：

1. 修正型司羅氏直線運動機構（Modified Scott-Russell Mechanism / Grasshopper Mechanism）：利用連桿幾何關係，使輸出端（$P$ 點）產生近似鉛直直線之運動。在此瞬間，$P$ 點之速度方向為鉛直向，$C$ 點之速度方向為水平向。
2. 二力構件（Two-Force Member）之性質：$AB$ 桿僅於兩端點 $A$、$B$ 受鉸接約束，中間無外力作用，故其受力方向必沿 $AB$ 連線。題目已知 $AB$ 桿垂直於 $PC$ 桿，故 $B$ 點受力方向必垂直於 $PC$ 桿。
3. 剛體靜力平衡方程式：

• 合力為零：$\sum \vec{F} = \mathbf{0}$（$\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$）
• 合力矩為零：$\sum M = 0$

4. 虛功原理（Principle of Virtual Work）：於靜力平衡狀態下，機構系統在任意微小虛位移中所作的虛功總和為零（$\sum \delta W = 0$），亦可透過瞬心法求得速度比進行功率守恆求解。

解題方法

本題可採用「靜力平衡法（隔離體圖）」或「虛功原理／瞬心法」求解，以下分別詳細推導：

【方法一：靜力平衡法（隔離體圖 FBD）】

以水平方向為 $x$ 軸（向右為正），鉛直方向為 $y$ 軸（向上為正）。

步驟一：分析二力構件 $AB$ 桿

$AB$ 桿為二力構件，其對 $PC$ 桿在 $B$ 點施加之力 $\vec{F}_B$ 必沿 $AB$ 連線方向。因題意指出 $AB \perp PC$，故 $\vec{F}_B$ 之方向必垂直於 $PC$ 桿，亦即 $\vec{F}_B$ 沿 $PC$ 桿軸線方向的分力為零。

步驟二：取 $PC$ 桿為隔離體受力平衡

$PC$ 桿長度為 $2L$，$B$ 為中點，故 $PB = BC = L$。$BC$ 桿與水平面夾角為 $45^\circ$。

• $P$ 點座標相對於 $B$ 點：$\vec{r}_{BP} = -L\cos 45^\circ \hat{i} + L\sin 45^\circ \hat{j} = \frac{\sqrt{2}}{2}L(-\hat{i} + \hat{j})$
• $C$ 點座標相對於 $B$ 點：$\vec{r}_{BC} = L\cos 45^\circ \hat{i} - L\sin 45^\circ \hat{j} = \frac{\sqrt{2}}{2}L(\hat{i} - \hat{j}) = -\vec{r}_{BP}$
• $P$ 點受吊重之作用力：$\vec{F}_P = -W\hat{j}$
• $C$ 點受 $DC$ 桿之作用力：$\vec{F}_C = F_{Cx}\hat{i} + F_{Cy}\hat{j}$

1. 對 $B$ 點取力矩平衡（$\sum M_B = 0$）： 因 $\vec{F}_B$ 通過 $B$ 點，力矩為零： $\vec{r}_{BP} \times \vec{F}_P + \vec{r}_{BC} \times \vec{F}_C = \mathbf{0}$ 展開計算力矩標量： $\left(-L\cos 45^\circ\right)(-W) + \left(L\cos 45^\circ\right)F_{Cy} - \left(-L\sin 45^\circ\right)F_{Cx} = 0$ 代入 $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，同除以 $\frac{\sqrt{2}}{2}L$： $W + F_{Cy} + F_{Cx} = 0 \implies F_{Cx} + F_{Cy} = -W \quad \cdots\cdots \text{(式 1)}$

2. 沿 $PC$ 桿軸線方向取力的投影平衡： 取沿 $PC$ 桿向上之單位向量 $\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{i} + \hat{j})$。 因 $\vec{F}_B \perp PC$，其投影分量為零： $(\vec{F}_P + \vec{F}_C) \cdot \hat{u} = 0$