108 關務特考四等 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

1. 鍵（Key）的功用與分類：

• 鍵為機械傳動中用以連接軸與輪轂（如齒輪、滑輪）之機件，主要功能在於傳遞旋轉扭矩並防止兩者產生相對轉動。
• 依受力形式、外型構造及裝配方式，常見種類包括：方鍵、平鍵、斜鍵、半圓鍵（伍德洛夫鍵）、鞍形鍵、切線鍵、栓槽鍵及滑鍵（導鍵）等。

2. 軸向圓鍵之受剪分析：

• 圓鍵沿軸向配置於軸與輪轂接觸面所鑽鑿的配合孔中（半圓在軸、半圓在輪轂）。
• 當傳遞扭矩 $T$ 時，軸表面交界面處對圓鍵產生切線剪力 $F$： $F = \frac{T}{R} = \frac{2T}{D}$
• 圓鍵受剪破壞之截面為沿圓柱軸心線切開的平分面，受剪面積為一寬度等於直徑 $d$、長度等於 $L$ 之矩形面積： $A_s = d \times L$
• 剪應力強度條件為： $\tau = \frac{F}{A_s} = \frac{2T}{D \cdot d \cdot L} \le \tau_{\text{all}}$

---

解題方法

（一）列舉六種鍵的種類

除圓鍵外，常見的六種鍵如下：

1. 方鍵（Square Key）：斷面呈正方形（寬度等於高度），為最常使用的標準緊鍵，主要承受剪應力與壓應力。
2. 平鍵（Flat Key）：斷面呈扁平矩形（寬度大於高度），強度與受力方式類似方鍵，但鍵槽較淺，對軸強度的削弱較小。
3. 斜鍵（Taper Key）：鍵的上表面帶有 $1:100$ 斜度，利用敲入時的楔緊作用傳遞動力，並能防止輪轂沿軸向滑動。
4. 半圓鍵／伍德洛夫鍵（Woodruff Key）：形如半圓盤，可隨軸上圓弧型鍵槽自動擺動傾斜，特別適用於錐形軸端的傳動連接。
5. 栓槽鍵／花鍵（Spline Key）：直接在軸與輪轂孔加工成一體成型的多個齒槽，接合面大、應力分布均勻、定心精度高，適用於重載與高速場合。
6. 滑鍵／導鍵（Feather Key）：固定於軸上或輪轂上，允許兩者之間產生軸向相對滑動，常用於離合器或變速箱之換檔機構。

(其他可列舉者尚有：切線鍵、鞍形鍵、甘氏鍵／甘迺迪鍵)

---

（二）圓鍵長度 $L$ 之推導與計算

已知數據與單位統整：

• 圓鍵直徑 $d = 6\ \mathrm{mm}$
• 軸直徑 $D = 50\ \mathrm{mm}$（軸半徑 $R = \frac{D}{2} = 25\ \mathrm{mm}$）

核心觀念

1. 非線圈型彈簧分類： 機械元件中，彈簧主要功能為吸收振動、儲存能量與承受衝擊。常見之彈簧除圓柱或圓錐螺旋彈簧（線圈型，Helical Springs）外，尚有利用平板彎曲、金屬扭轉、薄片挫屈或流體受壓之非線圈型彈簧。依幾何構造與受力形式，典型非線圈型彈簧包含：板片彈簧（葉片彈簧）、碟形彈簧（貝氏彈簧）、扭力桿彈簧、蝸卷彈簧（發條彈簧）、環形彈簧、空氣彈簧與橡膠彈簧等。

2. 螺旋壓縮彈簧之線絲受力與組合應力： 圓柱螺旋壓縮彈簧受軸向靜態壓負荷 $P$ 作用時，其線絲斷面主要承受兩種應力：

• 扭轉剪應力（$\tau_t$）：由外力對線絲中心產生的扭矩 $T = P \times \frac{D}{2}$ 所引起，最大值發生於線絲表面： $\tau_t = \frac{T \cdot (d/2)}{J} = \frac{8PD}{\pi d^3}$
• 直接剪應力（$\tau_d$）：由軸向載荷 $P$ 直接施加於斷面上之橫向剪切作用所引起（假設均勻分佈）： $\tau_d = \frac{P}{A} = \frac{P}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4P}{\pi d^2}$
• 線絲內側之組合剪應力（$\tau$）：在彈簧線圈內側邊緣，扭轉剪應力與直接剪應力的方向完全相同，兩者疊加形成最大剪應力（組合應力）： $\tau = \tau_t + \tau_d = \frac{8PD}{\pi d^3} + \frac{4P}{\pi d^2} = \frac{8PD}{\pi d^3}\left(1 + \frac{d}{2D}\right)$ 式中引入彈簧指數 $C = \frac{D}{d}$，則直接剪應力修正係數為 $K_s = 1 + \frac{1}{2C}$，組合應力可表示為： $\tau = K_s \frac{8PD}{\pi d^3}$

---

解題方法

（一）非線圈型彈簧種類（列舉五種）

1. 板片彈簧（葉片彈簧，Leaf Spring）： 由數片長度不等之扁平彈簧鋼片疊合而成，工作時主要承受彎曲應力，能同時承受較大載重與提供懸吊導向功能，廣泛應用於重型卡車與軌道車輛之懸吊系統。
2. 碟形彈簧（貝氏彈簧，Belleville / Disc Spring）： 為圓錐狀之金屬凹凸圓盤，受軸向負荷作用時產生彈性變形。特點為軸向體積極小而剛性極高，多用於空間受限但需提供極大夾緊力或吸震能量之處（如管閥法蘭、螺栓預緊防鬆裝置）。
3. 扭力桿彈簧（扭桿，Torsion Bar Spring）： 為一根直金屬桿棒，兩端固定或受扭力作用，主要藉由軸桿承受純扭轉剪切變形來吸收能量，結構簡單且重量輕，常用於汽車獨立懸吊系統與坦克裝甲車。
4. 蝸卷彈簧（渦卷發條彈簧，Spiral Spring）： 將扁平鋼帶沿平面捲成阿基米德螺線狀，承受扭轉力矩，使鋼帶產生彎曲應力而儲存能量，常用於機械鐘錶發條、捲尺自動收回機構及各類玩具驅動器。
5. 環形彈簧（Ring Spring）： 由具備錐形接觸面的內環與外環交替套疊而成，受軸向壓力時，內外環沿斜面相對滑動，藉由錐面間之摩擦力吸收大量衝擊動能，常用於重型防震緩衝機構或車輛轉向架緩衝器。

---

（二）螺旋壓縮彈簧線絲組合應力計算

• 已知條件：

• 彈簧節徑（平均直徑）：$D = 40\ \mathrm{mm}$

• 線絲直徑：$d = 5\ \mathrm{mm}$

• 靜態壓負荷：$P = 500\ \mathrm{N}$

• 彈簧指數：$C = \frac{D}{d} = \frac{40}{5} = 8$

• 步驟 1：計算扭轉剪應力 $\tau_t$ 扭矩 $T = P \times \frac{D}{2} = 500 \times \frac{40}{2} = 10000\ \mathrm{N\cdot mm}$

核心觀念

本題考查《機械原理》中撓性傳動機構——V 型皮帶傳動之張力關係與傳動動力計算，涉及以下核心定義與公式：

1. 皮帶線速度公式： $v = \frac{\pi D n}{60}$ 其中 $D$ 為皮帶輪直徑（$\mathrm{m}$），$n$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$）。

2. V 型皮帶之當量（視）摩擦係數： V 型皮帶藉由楔夾效應（Wedge effect）增加兩側接觸面正壓力，其當量摩擦係數 $f'$ 為： $f' = \frac{f}{\sin\beta}$ 其中 $f$ 為摩擦係數，$2\beta$ 為溝槽夾角，$\beta$ 為溝槽半角。

3. 尤拉皮帶公式（Euler's Belt Formula）： 在忽略皮帶質量與離心張力（題目未給定單位長度質量）的情況下，緊邊張力 $F_1$ 與鬆邊張力 $F_2$ 之極限比值為： $\frac{F_1}{F_2} = e^{f'\theta}$ 其中 $\theta$ 為接觸角（包角），必須換算為弧度（$\mathrm{rad}$）。

4. 有效拉力與傳動動力：

• 有效拉力（傳動有效周力）： $F_e = F_1 - F_2 = F_1\left(1 - e^{-f'\theta}\right)$
• 傳動動力： $P = F_e \times v = (F_1 - F_2) \times v\quad (\mathrm{W})$ 換算為千瓦即除以 $1000$（$\mathrm{kW}$）。

---

解題方法

步驟一：計算皮帶輪周緣線速度 $v$

將輪徑換算為公尺制 $D = 800\ \mathrm{mm} = 0.8\ \mathrm{m}$，代入線速度公式： $v = \frac{\pi \times D \times n}{60} = \frac{\pi \times 0.8 \times 600}{60} = 8\pi \approx 25.133\ \mathrm{m/s}$

步驟二：計算 V 型皮帶之當量摩擦係數 $f'$

皮帶輪溝槽夾角 $2\beta = 40^\circ \implies$ 半角 $\beta = 20^\circ$： $\sin 20^\circ \approx 0.3420$ $f' = \frac{f}{\sin\beta} = \frac{0.25}{\sin 20^\circ} \approx \frac{0.25}{0.3420} \approx 0.7310$

步驟三：將接觸角 $\theta$ 轉換為弧度並計算張力比

接觸角 $\theta = 120^\circ$，轉為弧度制： $\theta = 120^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3}\ \mathrm{rad} \approx 2.0944\ \mathrm{rad}$ 指數項：

核心觀念

1. 運動對（Kinematic Pair，又稱運動副）之定義： 兩構件（Links）相互接觸並保持相對運動之聯接型式稱為運動對。依兩構件接觸方式可分為：

• 低對（Lower Pair）：兩構件間呈「面接觸」，磨損較均勻、承載力大。
• 高對（Higher Pair）：兩構件間呈「點接觸」或「線接觸」，接觸應力較大。

2. 空間剛體之自由度（Degrees of Freedom, DOF，記為 $f$）： 在三維空間中，一個未受任何拘束的獨立剛體具有 $6$ 個自由度，包含：

• $3$ 個沿坐標軸之獨立直線平移（Translation, $T_x, T_y, T_z$）
• $3$ 個繞坐標軸之獨立角度旋轉（Rotation, $R_x, R_y, R_z$）

3. 運動對之自由度與拘束數（Constraints, 記為 $c$）： 兩構件組成運動對後，彼此接觸限制了部分相對運動。運動對所容許的獨立相對運動數目即為該運動對之自由度 $f$；被消除之運動數目稱為拘束數 $c$。在三維空間中滿足： $f + c = 6$

---

解題方法

本題為空間機構學與機械原理之基本定義題，切入重點在於：

1. 完整列舉：機構學中六種經典面接觸之「低對」（R、P、H、C、S、E），搭配常見之「高對」或受限對（球銷對、線接觸對、點接觸對），湊齊最具代表性的八種運動對。
2. 量化說明自由度：精確解析各運動對所允許的相對運動形式（平移與旋轉之數量及獨立性），依自由度 $f = 1$ 到 $f = 5$ 循序整理，並列舉工程實例以充實內容。

---

選項分析（各運動對逐一深度解析）

本題為非選擇題之問答題，以下逐一詳析構成機構之八種代表性運動對及其自由度：

1. 旋轉對（Revolute Pair，簡記為 R 對，又稱轉動對、迴轉對）

• 容許相對運動：僅允許繞單一固定軸線作相對旋轉運動（$1$ 個旋轉）。
• 拘束條件：限制了 $3$ 個方向平移與其餘 $2$ 個軸向旋轉（拘束數 $c = 5$）。
• 自由度：$f = 1$
• 工程實例：門鉸鏈、旋轉軸與滑動軸承。

2. 移動對（Prismatic Pair，簡記為 P 對，又稱滑動對）

• 容許相對運動：僅允許沿單一固定軸線作相對直線滑移（$1$ 個平移）。
• 拘束條件：限制了其餘 $2$ 個方向平移與所有 $3$ 個方向旋轉（拘束數 $c = 5$）。
• 自由度：$f = 1$
• 工程實例：引擎活塞與汽缸壁、工具機工作台之鳩尾槽導軌。

3. 螺旋對（Helical Pair / Screw Pair，簡記為 H 對）

• 容許相對運動：構件繞軸旋轉時伴隨軸向平移，但旋轉角 $\theta$ 與軸向位移 $x$ 透過螺旋導程（Lead, $L$）具有剛性幾何拘束關係（$x = \frac{L}{2\pi}\theta$），獨立變數僅有 $1$ 個。
• 拘束條件：拘束數 $c = 5$。
• 自由度：$f = 1$
• 工程實例：車床導螺桿與半螺帽、千斤頂螺桿與底座螺孔。

4. 圓柱對（Cylindrical Pair，簡記為 C 對）

• 容許相對運動：允許沿共用中心軸線平移，並允許繞該軸線獨立旋轉（$1$ 個平移 ＋ $1$ 個獨立旋轉）。
• 拘束條件：限制垂直於軸線之 $2$ 個平移與橫向 $2$ 個旋轉（拘束數 $c = 4$）。
• 自由度：$f = 2$
• 工程實例：未裝設軸向止擋卡簧之圓柱銷與圓孔接頭。

5. 球銷對（Spherical Pair with Pin，簡記為 $S_p$ 對，又稱球槽對）

• 容許相對運動：在球面接頭中加入銷釘或導向槽，限制其中一個方向的自轉，保留其餘兩個垂直軸向的相對角度擺動（$2$ 個獨立旋轉）。
• 拘束條件：限制 $3$ 個方向平移與 $1$ 個方向自轉（拘束數 $c = 4$）。
• 自由度：$f = 2$
• 工程實例：搖桿操縱機構之萬向定向球接頭。

6. 球面對（Spherical Pair，簡記為 S 對，又稱球副、球鉸鏈）

• 容許相對運動：球心固定不動，允許繞通過球心的任意空間三軸作相對角度偏轉（$3$ 個獨立旋轉）。