109 年關務特考四等機械工程考古題與詳解

Question 1

計算下列圖示（a）與（b）所示之凸輪機構與連桿滑塊機構的自由度。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考平面機構的自由度，也就是在滿足運動副約束後，機構仍可獨立運動的數目。使用平面機構自由度公式： $$F=3(n-1)-2J1-J2$$ 其中 $n$ 為構件總數（含機架），$J1$ 為低副數，$J2$ 為高副數。轉動副與滑動副都是低副；凸輪與滾子的接觸是高副。若同一銷接點連接三個構件，等效為兩個低副；連接四個構件，等效為三個低副。 解題方法 （a）凸輪機構中，機架、凸輪、搖桿及滾子共 $n=4$ 個構件。凸輪與機架、搖桿與機架、滾子與搖桿各有一個轉動副，因此 $J1=3$；凸輪與滾子接觸形成一個高副，因此 $J2=1$。 $$F=3(4-1)-2(3)-1=2$$ 這兩個自由度中，一個是凸輪與搖桿之間的機構運動；另一個是滾子可繞自身銷軸自由轉動。若只問凸輪帶動搖桿的有效輸入自由度，則為 $1$；

Question 2

（一）指出螺旋在機器應用上的三個主要功用。（10 分）

（二）已知螺旋起重機的螺紋導程為 $10\ \mathrm{mm}$ ，手輪的作用臂長為 $500\ \mathrm{mm}$ ，其端點有作用力 $100\ \mathrm{N}$ 。如摩擦損失為 $30\%$ ，試求其能舉起的最大荷重。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 螺旋機構的主要功用，可歸納為： 1. 緊固與連接：利用螺紋將機件鎖緊，例如螺栓、螺帽。 2. 傳遞動力並轉換運動：將旋轉運動轉換為直線運動，或將轉矩轉換為軸向推力，例如螺旋起重機、螺旋千斤頂。 3. 調整位置或間隙：藉由螺紋的微小導程，精確調整機件位置，例如調整螺桿。 本題（二）考查螺旋起重機的功與效率。螺旋每轉一圈，手輪施力點走過圓周距離 $2\pi R$；荷重則上升一個導程 $L$。因此，輸入功為 $2\pi FR$，輸出功為 $WL$。效率定義為輸出功與輸入功之比。 解題方法 已知： - 螺紋導程 $L=10\ \mathrm{mm}$ - 手輪作用臂長 $R=500\ \mathrm{mm}$ - 手輪端點作用力 $F=100\ \mathrm{N}$ - 摩擦損失為 $30\%$，故效率 $\eta=1-0.30=0.70$ 依每轉一圈的功與效率關係： $$ \eta=\frac{	ext{輸出功}}{	ext{輸入功}} =\frac{WL}{2\pi FR} $$

Question 3

有一個四連桿組 $AoABBo$，連桿 $\overline{AoBo}$ 為機架，且已知三根連桿之桿長為： $$\overline{AoBo}=30\ \mathrm{cm}$$ $$\overline{AoA}=10\ \mathrm{cm}$$ $$\overline{BoB}=28\ \mathrm{cm}$$ 若該四連桿組為曲柄搖桿機構，試求連桿 $AB$ 的長度範圍，並指出何者為曲柄。（20 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查四連桿機構的 Grashof 定律與曲柄搖桿的判別。 令最短桿長為 $s$、最長桿長為 $l$，另兩桿長為 $p$、$q$。四連桿若符合 $$ s+l\leq p+q $$ 即具備至少一根連桿可相對於機架作完整旋轉的條件。當機架與最短桿相鄰時，最短桿為曲柄，另一根與機架相鄰的連桿為搖桿。 解題方法 已知機架長 $30\ \mathrm{cm}$，兩側連桿分別為 $10\ \mathrm{cm}$ 與 $28\ \mathrm{cm}$。令未知連桿 $AB=x\ \mathrm{cm}$。四根連桿的長度為 $10、28、30、x$。 要判定 $AB$ 的範圍，須依 $x$ 與已知桿長的相對大小，分別找出最短桿與最長桿，再套用 Grashof 定律。 情況一：$0<x\leq 10$ 此時最短桿為 $x$，最長桿為 $30$。Grashof 條件為 $$ x+30\leq 10+28 $$ $$ x\leq 8 $$ 因此此情況可行的範圍是 $0<x\leq 8$。 情況二：$10\leq x\leq 30$ 最短桿為 $10$，最長桿為 $30$。條件為 $$ 10+30\leq 28+x $$ $$ x\geq 12 $$ 因此此情況可行的範圍是 $12\leq x\leq 30$。 情況三：$x\geq 30$ 最短桿為 $10$，最長桿為 $x$。條件為 $$ 10+x\leq 28+30 $$ $$ x\leq 48 $$ 因此此情況可行的範圍是 $30\leq x\leq 48$。

Question 4

壓力角為 $20^\circ$ 的一對全深漸開線正齒輪，已知模數為 $4\ \mathrm{mm}$，齒冠 $a$ 為 $4\ \mathrm{mm}$，大齒輪齒數 $T3$ 為 50 齒，小齒輪齒數 $T2$ 為 15 齒，請列式計算並判斷兩齒輪是否發生干涉現象。（20 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查全深漸開線正齒輪的齒頂是否超出對齒輪的漸開線起始點，進而判斷是否干涉。漸開線齒輪的作用線為兩基圓的公切線；齒頂若超出對齒輪基圓切點所限定的作用線範圍，便會與對齒輪齒根附近非漸開線部分相碰，形成干涉。

令小齒輪齒數為 $T_2=15$ ，大齒輪齒數為 $T_3=50$ 。兩輪節圓半徑及基圓半徑分別為

r_2=\frac{mT_2}{2},\qquad r_3=\frac{mT_3}{2}

r_{b2}=r_2\cos\phi,\qquad r_{b3}=r_3\cos\phi

其中模數 $m=4\ \mathrm{mm}$ ，壓力角 $\phi=20^\circ$ 。齒頂半徑為 $r_{a2}=r_2+a$ 、 $r_{a3}=r_3+a$ ，齒冠高 $a=4\ \mathrm{mm}$ 。

解題方法

先求出兩輪節圓、基圓及齒頂圓半徑，再比較齒頂超出本輪基圓切點後的作用線長度，是否超過對輪基圓切點到節點的距離。

對任一齒輪，其齒頂圓與基圓切點間的作用線長度為

\sqrt{r_a^2-r_b^2}

對輪基圓切點至節點的距離為

r\sin\phi

因此，齒輪 $i$ 的齒頂是否會對齒輪 $j$ 造成干涉，可用下式檢查：

\sqrt{r_{ai}^2-r_{bi}^2}\leq r_j\sin\phi

左右兩側均為長度；左側若大於右側，表示齒頂越過對輪基圓切點所限定的範圍，會發生干涉。

1. 小齒輪齒頂對大齒輪的干涉檢查

r_2=\frac{4(15)}{2}=30\ \mathrm{mm}

r_3=\frac{4(50)}{2}=100\ \mathrm{mm}

r_{a2}=30+4=34\ \mathrm{mm}

Question 5

如圖所示為由太陽齒輪 3、行星齒輪 2、環齒輪 1 與行星臂（Arm）4 所組成的行星齒輪系，環齒輪 1 被固定。

已知太陽齒輪 3 的齒數為 30 齒，太陽齒輪 3 與行星臂 4 皆可以被選為輸入件或輸出件。欲設計輸入件轉軸的轉速與輸出件轉軸的轉速之比值為 5 的減速機，試決定減速機的輸入件與輸出件，並求環齒輪 1 與行星齒輪 2 的齒數。（20 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考固定環齒輪的簡單行星齒輪系，使用威利斯公式（相對行星臂的轉速關係）。設太陽齒輪 3、環齒輪 1、行星臂 4 的角速度分別為 $\omega3$、$\omega1$、$\omega4$，齒數分別為 $Z3$、$Z1$、$Z2$。 太陽齒輪與行星齒輪為外齒輪嚙合，行星齒輪與環齒輪為內齒輪嚙合，因此： $$ \frac{\omega3-\omega4}{\omega1-\omega4} =-\frac{Z1}{Z3} $$ 環齒輪固定，故 $\omega1=0$，代入得： $$ \frac{\omega3-\omega4}{-\omega4} =-\frac{Z1}{Z3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\omega3}{\omega4}=1+\frac{Z1}{Z3} $$ 解題方法 減速機的輸入轉速須為輸出轉速的 5 倍，也就是 $\omega{	ext{in}}/\omega{	ext{out}}=5$。由上式可知太陽齒輪轉速大於行星臂轉速，因此應選太陽齒輪 3 為輸入件、行星臂 4 為輸出件：

109 關務特考四等機械工程機械原理概要考古題詳解

第一題20 分

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解題方法

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核心觀念

解題方法

1. 小齒輪齒頂對大齒輪的干涉檢查

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1. 小齒輪齒頂對大齒輪的干涉檢查

第 五 題20 分

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