109 關務特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查牛頓第二、第三運動定律，以及圓周運動中向心力與離心力的區別。解題時須先分清楚「作用於同一質點的合力」與「作用於不同物體的作用力、反作用力」，再用圓周運動的加速度方向判斷向心力。

（一）牛頓第二、第三運動定律

牛頓第二運動定律

質點所受合力等於其質量與加速度的乘積，且加速度方向與合力方向相同：

其中 $\sum \mathbf{F}$ 是作用於該質點的合力，$m$ 是質量，$\mathbf{a}$ 是加速度。質量固定時，合力愈大，加速度愈大；若合力為零，則加速度為零，質點保持靜止或作等速度直線運動。

簡圖：

 ↑ F₂
 │
 ─── ● ───→ F₁
 │
 ↓ F₃

對圖中質點，合力為各力的向量和：

牛頓第三運動定律

兩物體互相作用時，物體 A 施於物體 B 的力，與物體 B 施於物體 A 的力大小相等、方向相反，且作用在不同物體上：

簡圖：

物體 A ←── F(B→A) F(A→B) ──→ 物體 B

這一對力稱為作用力與反作用力。它們不會互相抵銷，因為分別作用於 A、B 兩個不同物體；只有在分析由 A、B 組成的整體時，這一對內力才會彼此抵銷。

（二）圓周運動中的向心力與離心力

向心力

質點作半徑為 $r$、速率為 $v$ 的圓周運動時，即使速率不變，速度方向仍持續改變，因此有指向圓心的向心加速度：

依牛頓第二運動定律，質點所受合力在徑向的分量必須指向圓心，稱為向心力：

向心力不是一種額外的新力，而是合力沿半徑方向的稱呼；其來源可為張力、重力、正向力或這些力的合力。

核心觀念

本題考查力學功的計算。力與位移同方向時，功為力和位移的乘積：

其中 $W$ 為功、$F$ 為力、$s$ 為沿力方向的位移。若物體由靜止開始作等加速度直線運動，可由牛頓第二運動定律求加速度，再以運動學公式求位移。

飛輪部分則使用轉動功的關係：

其中 $M$ 為扭矩，$\theta$ 為角位移（弧度）。

解題方法

（一）水平力使物體運動

水平面光滑，沒有摩擦力。由牛頓第二運動定律：

物體由靜止開始，$t=5\ \mathrm{s}$，位移為：

施力方向與位移方向相同，因此該力所作的功為：

（二）扭矩作用於飛輪

核心觀念

此題考查兩端固定之軸向桿受集中力時的靜力平衡與變形相容條件。外力作用點下移時，上段桿伸長、下段桿縮短；由於兩端固定，作用點的位移必須同時符合上下兩段桿的軸向變形。

桿段的軸向剛度為 $k=\dfrac{EA}{L}$，軸力與變形的關係為：

其中 $E$ 為彈性模數、$A$ 為截面積、$L$ 為桿段長度，$\delta$ 為該段軸向變形量。

解題方法

依圖示，外力作用點距 $A$ 點 $3\ \mathrm{m}$，距 $B$ 點 $2\ \mathrm{m}$。令作用點向下位移為 $\delta$。

上段長 $3\ \mathrm{m}$，伸長量為 $\delta$，其軸力為：

下段長 $2\ \mathrm{m}$，縮短量為 $\delta$，其軸力為：

在外力作用點作垂直方向平衡，上、下段桿的作用力均向上：

代入變形關係：

核心觀念

本題考查圓管受扭。先由扭矩板手上的力求出管子所承受的扭矩，再用空心圓截面的極慣性矩及圓軸扭轉公式計算內、外壁剪應力：

其中 $T$ 為扭矩、$\rho$ 為距截面中心的半徑、$J$ 為極慣性矩。

解題方法

以管軸 $AB$ 為扭矩軸。圖中兩個 $70\ \mathrm{N}$ 力方向相反，作用位置分別在 $B$ 兩側，距離為 $160\ \mathrm{mm}$ 與 $240\ \mathrm{mm}$，因此形成力偶：

管子的外半徑與內半徑分別為

空心圓截面的極慣性矩為