109 身心障礙特考三等 教育行政 教育測驗與統計 考古題詳解

核心觀念

本題考查測量標準誤、個人分數的信賴區間，以及內部一致性信度。

測量標準誤（standard error of measurement, $SE_{meas}$）表示：在測驗信度與常模樣本分數標準差所構成的古典測驗理論架構下，觀察分數受測量誤差影響的典型程度。依題目所給公式：

$$SE_{meas}=S_x\sqrt{1-r_{xx}}$$

其中 $S_x$ 為測驗分數的標準差，$r_{xx}$ 為信度係數。

若觀察分數的測量誤差近似常態分配，約 $68\%$ 的誤差落在平均數上下 $1$ 個測量標準誤內，因此可用「觀察分數 $\pm1SE_{meas}$」估計個人真實分數的 $68\%$ 信賴區間。

解題方法與計算

（一）測量標準誤及其意義、應用

已知 $S_x=10$、$r_{xx}=0.91$，代入公式：

$$\begin{aligned} SE_{meas} &=10\sqrt{1-0.91}\\ &=10\sqrt{0.09}\\ &=10(0.3)\\ &=3 \end{aligned}$$

因此，本測驗的測量標準誤為 3 分。

這表示在相同測驗條件下，測驗分數會受到測量誤差影響；個別觀察分數與其真實分數之間的典型誤差程度約為 3 分。測量標準誤越小，通常代表個人分數估計越精確。

測量標準誤可用來建立個人分數的信賴區間、評估分數差異是否可能只是測量誤差造成，也可協助解讀分數與設定測驗結果的判讀範圍。

（二）小信的 $68\%$ 信賴區間及四位學生的差異

小信的觀察分數為 $48$ 分。$68\%$ 信賴區間以觀察分數上下各 $1SE_{meas}$ 計算：

$$48\pm1(3)$$

因此：

$$\boxed{45\text{ 分至 }51\text{ 分}}$$

四位學生的觀察分數與各自以 $\pm1SE_{meas}$ 計算的區間如下：

核心觀念：​這小題從兩組分類判斷課堂測驗的主要目的：一是比較分數時採常模參照或標準參照；二是測量受試者的最佳表現或典型表現。

解題方法與作答：

1. 常模參照測驗與標準參照測驗：​教師編製的段考、小考，主要用來判斷學生是否學會特定單元、達成課程目標，並據以診斷學習困難或調整教學，因此以標準參照測驗為主。判斷重點是學生是否達到預定的學習標準，而非其相對於同儕的排名。實際上，學校也可能依分數排序或計算班級平均，但這不改變課堂測驗以檢核學習目標為主的性質。

2. 最佳表現測驗與典型表現測驗：​段考、小考通常測量學生已學習的知識、理解與技能，受試者會盡力作答，測驗結果反映其在當下能力所能達到的水準，因此屬於最佳表現測驗。典型表現測驗則著重個人平常的行為、態度、興趣或人格傾向，並非要求答出能力所能達到的最好結果。

解題技巧：​看到「是否達成教學目標」就聯想到標準參照；看到「知識、技能考試，要求盡力作答」就聯想到最佳表現。這兩組分類的判斷依據不同，不可混為一談。

（二）課堂測驗最重視的效度證據

核心觀念：​效度是測驗分數能否支持預定解釋與用途。不同測驗用途，所需蒐集的效度證據也不同。

解題方法與作答：

課堂測驗最重視內容效度證據。教師命題的目的，是評量學生對課程目標、教學內容與教材重點的學習情形，因此試題必須有充分代表性，能涵蓋預定的教學範圍與認知層次；若測驗只集中考少數細節，或漏掉重要學習目標，即使試題本身清楚，也不能充分支持「測驗分數代表學生學習成果」的解釋。

內容效度證據主要來自測驗內容與測量目標之間的合理對應，例如命題範圍是否符合課程、重要單元是否適當取樣、試題難度與認知層次是否符合教學目標。這類證據通常透過系統化的命題規劃與專家審查取得，不是單靠一個相關係數就能證明。

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA）。研究者要比較三個彼此獨立的學院學生，在同一通識課程中的平均專注程度是否不同。

• 自變項是學生所屬學院，屬於類別變項，有三個組別。
• 依變項是專注程度，為各學生測得的數值。
• 單因子變異數分析檢定多組平均數是否相同。其 $F$ 值以組間變異相對於組內變異計算；當組間變異相對較大時，$F$ 值會較大。

（一）虛無假設與對立假設

令 $\mu_1,\mu_2,\mu_3$ 分別代表三個學院學生在通識課程中的母群平均專注程度。

• 虛無假設 $H_0$：三個學院學生的平均專注程度相同。 $H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$
• 對立假設 $H_1$：三個學院學生的平均專注程度不全相同；亦即至少有一個學院的平均專注程度與其他學院不同。 $H_1:\text{至少有一組平均數不同}$

對立假設不表示三組平均數彼此都不同，只要其中至少一組不同即可。

（二）統計方法與變項

應採用單因子獨立樣本變異數分析（one-way independent-measures ANOVA）。

理由是研究目的在比較三個獨立學院組別的平均專注程度，而自變項只有一個（學院），且有三個類別。此時：

• 自變項：學生所屬學院（三組，類別變項）。
• 依變項：學生的專注程度（數值變項）。

（三）每組抽取 20 人，是否可免作變異數同質性考驗？

不可以直接認定符合變異數同質性。​每組樣本數相同，即樣本配置平衡，有助於變異數分析在一定程度上抵抗變異數不齊的影響；但這不代表各組母群變異數必然相等，也不能取代對變異數同質性假定的檢查。

變異數同質性是指各組母群的依變項變異數相等：

$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma_3^2$

因此仍應以適當方法檢驗（如 Levene 檢定），並依檢定結果及資料特性判斷分析方式。

（四）其他基本假定

核心觀念

本題考查母平均數推論中 $z$ 分配與 $t$ 分配的適用條件、抽樣分配特性，以及兩者的檢定統計量。關鍵在於母體標準差 $\sigma$ 是否已知：

• $\sigma$ 已知時，以母體標準差標準化樣本平均數，使用 $z$ 分配。
• $\sigma$ 未知時，以樣本標準差 $s$ 估計 $\sigma$，標準化後使用 $t$ 分配；此時須同時考量自由度。

以下假設母體為常態分配；若母體非常態，樣本數夠大時可依中央極限定理近似使用相關抽樣分配。

（一）適用時機

$z$ 分配：​母體標準差 $\sigma$ 已知時，樣本平均數的標準化統計量服從標準常態分配。母體為常態時，不論樣本數大小皆成立；母體非常態時，通常在樣本數夠大時以常態近似。

$t$ 分配：​母體標準差 $\sigma$ 未知，改以樣本標準差 $s$ 估計，且母體為常態時，統計量服從自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配。樣本數較小時，母體常態假設尤其重要。

（二）平均數、變異數、標準差與變異數不偏估計數

$z$ 分配

標準常態變數 $Z$ 的平均數、變異數與標準差為：

$$E(Z)=0,\qquad \operatorname{Var}(Z)=1,\qquad \operatorname{SD}(Z)=1.$$

若指樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分配，則：

$$E(\bar X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n},\qquad \operatorname{SD}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.$$

$\sigma^2$ 是母體變異數，若已知即直接使用；若估計母體變異數，其不偏估計數為：

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}.$$

$t$ 分配

自由度為 $\nu$ 的 $t$ 分配，在 $\nu>2$ 時：

$$E(T)=0,\qquad \operatorname{Var}(T)=\frac{\nu}{\nu-2},\qquad \operatorname{SD}(T)=\sqrt{\frac{\nu}{\nu-2}}.$$

本題的單一樣本平均數情境中，$\nu=n-1$，因此在 $n>3$ 時：

$$E(T)=0,\qquad \operatorname{Var}(T)=\frac{n-1}{n-3},\qquad \operatorname{SD}(T)=\sqrt{\frac{n-1}{n-3}}.$$

$\nu\leq 1$ 時，$t$ 分配的平均數不存在；$\nu\leq 2$ 時，變異數及標準差不存在。

母體變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計數仍為樣本變異數：