110 身心障礙特考三等 教育行政 教育測驗與統計 考古題詳解

核心觀念

題目考的是：教師在完成題目項目分析與審查後，如何決定成就測驗的適當長度。題數增加通常能提高測驗信度，但不代表題數愈多愈好；教師還須兼顧測驗目的、施測時間、內容涵蓋、考生負擔及測驗品質。

信度反映測驗分數的一致性與穩定性。古典測驗理論中，信度可表示為真分數變異占觀察分數變異的比例：

增加品質良好的試題，通常能增加測驗分數的穩定性。若題目品質與測驗內容大致相當，可用 Spearman–Brown 公式估計延長測驗後的信度：

其中 $k$ 為新測驗長度相對於原測驗長度的倍數。此公式說明延長測驗能提升信度，但信度提升幅度會逐漸趨緩。

解題方法

作答時可從「測驗要測什麼、需要多可靠、實際能考多久、增加的題目是否有用」四方面說明。題目已指出題目經過項目分析與審查，因此重點是教師依測驗用途與施測條件決定題數，而非再說明如何篩題。

教師應考量以下因素：

1. 測驗目的與用途 若測驗用於重要的升學、資格或安置決策，通常需要較高的信度，因而須有足夠題數，以降低測量誤差。若僅作課堂形成性評量或提供學習回饋，所需信度水準與測驗長度可依用途調整。

2. 測驗所需的信度水準 先確認測驗用途所要求的信度，再依現有題目的信度與題目品質評估是否需增加題數。題數增加通常提高信度，但增加幅度有限；若信度已達用途所需水準，盲目加題的效益不大。

核心觀念

本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA），用來檢定四種教學方法的母群平均學習成果是否相同。總變異可分解為組間變異與組內（誤差）變異：

$SS_{\text{全體}}=SS_{\text{組間}}+SS_{\text{組內}}$

自由度與 $F$ 值公式如下，其中 $k$ 為組數、$N$ 為總人數：

$df_{\text{組間}}=k-1,\qquad df_{\text{組內}}=N-k,\qquad df_{\text{全體}}=N-1$

$F=\frac{MS_{\text{組間}}}{MS_{\text{組內}}}$

解題方法

(一) 設四種教學方法的母群平均學習成果分別為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4$。虛無假設為四組平均數相等；對立假設為至少有一組平均數不同：

$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4$

$H_1:\text{至少有一組母群平均數不同}$

(二) 題目給定 $k=4$ 組、$N=40$ 人，逐格計算：

• $A$（組間離均差平方和）：全體平方和等於組間平方和加組內平方和，因此

$A=117.100-46.600=70.500$

• $B$（組間自由度）：

核心觀念

本題考查標準分數的轉換與解釋。原始分數只表示實際得分，標準分數則表示個人成績相對於該班平均數的位置，可用來比較不同班級、不同教師評分下的表現。

$Z$ 分數的公式為：

其中，$X$ 是個人原始分數，$\bar{X}$ 是該班平均數，$s$ 是該班標準差。$Z$ 分數表示個人成績高於或低於平均數幾個標準差。

$T$ 分數是將 $Z$ 分數轉換為平均數為 $50$、標準差為 $10$ 的標準分數：

解題方法與計算

兩位學生的原始分數都是 $94$ 分，但所屬班級的平均數與標準差不同，因此分別以各自班級的統計量計算 $Z$ 分數，再換算為 $T$ 分數。

（一）學生 A

甲班平均數為 $86$，標準差為 $8$：

因此，學生 A 的 $Z$ 分數為 $1$，$T$ 分數為 $60$。

學生 B

乙班平均數為 $84$，標準差為 $5$：

核心觀念

選擇相關係數，先看兩個變數的測量尺度：連續變數通常用皮爾森積差相關；等級資料用等級相關；名義資料則依類別數及變數組合，選用適當的類別相關指標。

本題第（二）、（五）小題未說明名義變數的類別數。依常見考試分類，第（二）小題以一般名義變數選克拉瑪 V 係數；第（五）小題則按二分名義變數處理，選點二系列相關。

解題方法與各小題

（一）$X$ 與 $Y$ 皆為連續變數：皮爾森積差相關係數（Pearson product-moment correlation coefficient）。

它衡量兩個連續變數的線性關係，係數記為 $r$，介於 $-1$ 與 $1$ 之間。

（二）$X$ 與 $Y$ 皆為名義變數：克拉瑪 V 係數（Cramér’s $V$）。

此係數適用於兩個名義變數，尤其是列聯表不只 $2\times2$ 時。若兩者都只有兩類，也可使用 $\phi$ 係數（phi coefficient）。

（三）$X$ 與 $Y$ 皆為等級變數，樣本數少於 $10$：肯德爾等級相關係數（Kendall’s $\tau$）。

它適用於兩個等級變數的相關；小樣本情形常以肯德爾 $\tau$ 作答。考試選擇係數時，要留意題目特別給出的樣本數條件。

核心觀念

本題考查四種基礎統計概念：整體顯著性檢定、母數估計、分組資料的眾數估計，以及依各觀察值所占比重計算平均數。

解題方法

（一）包裹式檢定（omnibus test）

包裹式檢定是對多個母群參數或多組平均數進行的整體檢定，用來判斷是否至少有一項差異或效果存在，而不直接指出差異具體來自哪一組或哪一個參數。

以單因子變異數分析為例，虛無假設為：

對立假設為：

若整體檢定達顯著，只能判斷各組平均數並非全都相同；若要找出哪些組彼此不同，還須進一步進行事後比較或多重比較。其優點是先檢驗整體差異，避免一開始進行多次個別檢定而增加第一類錯誤率。

（二）區間估計（interval estimation）

區間估計是利用樣本資料，估計母群參數可能落入的一段範圍，而非只給出單一估計值。此範圍稱為信賴區間，通常由點估計值加減抽樣誤差界限構成。

母群平均數在母群標準差已知時，其信賴區間可表示為：

其中 $\bar{x}$ 為樣本平均數、$\sigma$ 為母群標準差、$n$ 為樣本數，$z_{\alpha/2}$ 為標準常態分配的臨界值；若母群標準差未知，通常以樣本標準差 $s$ 代替，並依條件使用 $t$ 分配。

例如，$95\%$ 信賴區間表示：若反覆抽取樣本並用相同方法建構區間，長期而言約有 $95\%$ 的區間會涵蓋真實母群參數。信賴水準描述的是建構方法的長期涵蓋率，不是指某一個已算出的區間有 $95\%$ 機率包含固定的母群參數。

（三）概略眾數（crude mode）

概略眾數是從分組次數分配表估計眾數的方法：先找出次數最高的組別，再以該組的組中點作為眾數的概略值。

若最高次數組別的下限為 $L$、上限為 $U$，則：