110 初等考試五等 統計 統計學大意 考古題詳解

核心觀念

本題測驗「柴比雪夫定理（Chebyshev's Theorem / Chebyshev's Inequality）」之基本性質、適用條件與數學界限，並檢驗考生是否能明確區分其與常態分配「經驗法則（Empirical Rule）」之差異。

1. 適用條件（不限分配形狀）： 柴比雪夫定理適用於任意機率分配（無論對稱、偏態、離散或連續），只要母體平均數 $\mu$ 與有限變異數 $\sigma^2$ 存在即可適用。
2. 數學公式（$k > 1$）：

• 落在區間之內（距平均數 $k$ 個標準差以內）： $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$ 代表觀測值落在 $[\mu - k\sigma, \mu + k\sigma]$ 範圍內的比例至少為 $1 - \frac{1}{k^2}$。
• 落在區間之外（距平均數 $k$ 個標準差以外）： $P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$ 代表觀測值落在該範圍之外的比例至多為 $\frac{1}{k^2}$。

解題方法

本題要求選出關於柴比雪夫定理的「正確敘述」，切入點為比對定理的適用範圍以及各標準差倍數（$k=1, 2, 3$）下算出的界限值：

1. 檢驗定理前提：該定理最大特色在於「無母數假設」，適用於任何型態的分配，並非僅限對稱分配。
2. 計算標準差倍數界限：

• 當 $k = 2$ 時：
• 區間之內至少佔：$1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = 75\%$
• 區間之外至多佔：$\frac{1}{2^2} = 25\%$
• 當 $k = 3$ 時：
• 區間之內至少佔：$1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88.89\%$
• 區間之外至多佔：$\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 11.11\%$（約 $11\%$）

依此結果逐一檢視選項敘述。

選項分析

核心觀念

本題評量**「條件機率」、「獨立事件（Independent Events）」與「機率加法定理（Addition Rule）」的基本定義與性質，並測驗考生是否清楚區分統計學中最常見的混淆概念——「獨立」與「互斥」**。

1. 條件機率定義： 若 $P(E) > 0$，則在事件 $E$ 發生的條件下，事件 $F$ 發生的機率定義為： $P(F\mid E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}$

2. 事件獨立的等價條件： 兩事件 $E$ 與 $F$ 相互獨立的充要條件為： $P(E \cap F) = P(E)P(F)$ 當 $P(E) > 0$ 且 $P(F) > 0$ 時，亦等價於： $P(F\mid E) = P(F) \quad\Longleftrightarrow\quad P(E\mid F) = P(E)$

3. 機率加法定理： 對於任意兩事件 $E$ 與 $F$： $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$ 僅在 $E$ 與 $F$ 為互斥事件（Mutually Exclusive Events），即 $P(E \cap F) = 0$ 時，才有 $P(E \cup F) = P(E) + P(F)$。

解題方法

1. 條件轉化： 題目給定 $P(F\mid E) = P(F)$，代入條件機率公式： $P(F\mid E) = \frac{P(E \text{ and } F)}{P(E)} = P(F)$ 等號兩邊同乘以 $P(E)$，可得： $P(E \text{ and } F) = P(E)P(F)$ 這直接說明了事件 $E$ 與 $F$ 為相互獨立事件。

2. 檢驗聯集機率： 根據機率加法定理： $P(E \text{ or } F) = P(E) + P(F) - P(E \text{ and } F) = P(E) + P(F) - P(E)P(F)$ 由於 $E$ 和 $F$ 為非空集合且機率大於 0，其交集機率 $P(E)P(F) > 0$。因此：

核心觀念

本題旨在評量**全機率定理（Law of Total Probability）與貝氏定理（Bayes' Theorem）**之應用。

1. 分割（Partition）：公民母體依性別分為互斥且周延的兩組：男性（$M$）與女性（$F$）。
2. 全機率定理：任一事件（投給共和黨 $R$）發生的總機率，為其在各分割條件下發生機率的加權總和： $P(R) = P(M) \times P(R \mid M) + P(F) \times P(R \mid F)$
3. 貝氏定理：在已知結果事件（投給共和黨）發生的條件下，回推其來自特定原因（為男性）的後驗機率（Posterior Probability）： $P(M \mid R) = \frac{P(M \cap R)}{P(R)} = \frac{P(M) \times P(R \mid M)}{P(R)}$

解題方法

本題採「標準公式法」逐步推導：

1. 定義事件與已知條件：

• 設 $M$ 代表該公民為男性，$F$ 代表該公民為女性。
• 設 $R$ 代表該公民投票給共和黨候選人。
• 事前機率：$P(M) = 0.55$，$P(F) = 0.45$。
• 條件機率：$P(R \mid M) = 0.60$，$P(R \mid F) = 0.40$。

2. 計算票投共和黨的總機率 $P(R)$（全機率定理）： $P(R) = P(M)P(R \mid M) + P(F)P(R \mid F)$ $P(R) = 0.55 \times 0.60 + 0.45 \times 0.40 = 0.33 + 0.18 = 0.51$

3. 計算共和黨支持者中為男性的機率 $P(M \mid R)$（貝氏定理）：

核心觀念

1. 連續型隨機變數之中位數（Median）定義： 設連續型隨機變數 $X$ 的累積分布函數（CDF）為 $F(x)$，中位數 $m$ 定義為累積機率達 $50\%$ 的數值，即滿足： $P(X \le m) = F(m) = \int_{0}^{m} f(x) \, dx = 0.5$

2. 指數分配（Exponential Distribution）之性質： 若 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$，其機率密度函數（PDF）為 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（$x > 0$），則：

• 累積分布函數：$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$
• 母體平均數：$E(X) = \frac{1}{\lambda}$
• 母體中位數：$m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$

解題方法

步驟一：確認分配參數 由題意可知，$f(x) = 0.5e^{-0.5x}$（$x > 0$），對照標準指數分配函數型式，可得參數（失效率／發生率）$\lambda = 0.5$。

步驟二：求累積分布函數 $F(x)$ $F(x) = \int_{0}^{x} 0.5e^{-0.5t} \, dt = \left[ -e^{-0.5t} \right]_{0}^{x} = 1 - e^{-0.5x}$

步驟三：令累積機率等於 $0.5$ 並求解中位數 $m$ 依中位數定義，令 $F(m) = 0.5$： $1 - e^{-0.5m} = 0.5$ $e^{-0.5m} = 0.5$

兩邊取自然對數（$\ln$）： $-0.5m = \ln(0.5) = -\ln(2)$ $0.5m = \ln(2)$ $m = \frac{\ln(2)}{0.5} = 2 \ln(2)$

核心觀念

箱型圖的箱體左緣代表第 $25$ 百分位數，也就是後標 $Q_1$；箱體右緣代表第 $75$ 百分位數，也就是前標 $Q_3$。兩者相差的分數為四分位距：

解題方法

依圖下方的分數刻度讀取箱體兩端：後標 $Q_1$ 約為 $31$ 分，前標 $Q_3$ 約為 $72$ 分。因此：

選項分析

核心觀念

1. 累積次數還原為組次數： 設各組上限之累積次數為 $F_i$，則各組之次數 $f_i$ 為相鄰兩組累積次數之差： $f_i = F_i - F_{i-1} \quad (F_0 = 0)$

2. 集中趨勢量數的定義與估計：

• 眾數（Mode, $Mo$）：次數出現最多的數值（或落於次數最多之組別內）。
• 中位數（Median, $Me$）：排序後位於正中間第 $50\%$ 位置之數值。
• 算術平均數（Mean, $\bar{X}$）：所有觀察值的數值總和除以總個數。分組資料以各組組中點 $m_i$ 加權計算： $\bar{X} = \frac{\sum f_i m_i}{n}$

3. 偏態分配（Skewness）中集中趨勢量數的相對關係：

• 右偏分配（正偏態，Right-skewed）：右側尾部較長（存在較大極端值），平均數受極大值拉引最明顯，其數值大小關係為： $\text{眾數} < \text{中位數} < \text{平均數}$
• 左偏分配（負偏態，Left-skewed）：左側尾部較長（存在較小極端值），平均數受極小值拉引最明顯，其數值大小關係為： $\text{平均數} < \text{中位數} < \text{眾數}$
• 對稱分配（Symmetric）： $\text{平均數} = \text{中位數} = \text{眾數}$

解題方法

步驟一：還原各組次數與求組中點

題目的分組區間「$a\text{ up to }b$」代表 $[a, b)$，全體總人數 $n = 36$。將累積次數（$F_i$）相減得到各組次數（$f_i$），並求出組中點（$m_i$）：

步驟二：估算各集中趨勢量數

1. 眾數（$Mo$）：

• 各組次數最高者為第二組 $[23, 28)$（$f_2 = 9$），故眾數組為 $[23, 28)$。
• 利用分組眾數插補公式： $Mo = L + \left(\frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2}\right) \times c$ 其中下限 $L = 23$，組距 $c = 5$，$\Delta_1 = 9 - 8 = 1$，$\Delta_2 = 9 - 7 = 2$：

核心觀念

本題測驗「常態分配」（Normal Distribution）的百分位數計算與「標準化轉換」（Standardization）。

1. 常態分配標準化公式： 若隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則標準化變量 $Z$ 服從標準常態分配 $N(0, 1)$： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 反求原始數值公式為： $X = \mu + Z \cdot \sigma$
2. 百分位數與右尾機率： 「成績前 $3\%$」代表分數高於門檻 $x$ 的右尾機率為 $0.03$，即累積機率（左尾面積）為： $P(X \le x) = 1 - 0.03 = 0.97$
3. 標準常態分配臨界值： 查標準常態分配表，累積機率達 $0.97$（右尾面積為 $0.03$）對應的臨界值為 $z_{0.03} \approx 1.88$。

解題方法

1. 設定變數與已知條件： 設 $X$ 為商學院學生的 TOEIC 成績，$X \sim N(\mu = 610, \sigma = 160)$。
2. 建立機率方程式： 設最低門檻分數為 $x$，依題意需滿足： $P(X \ge x) = 0.03 \iff P\left(Z \ge \frac{x - 610}{160}\right) = 0.03$
3. 反推標準化臨界值 $z$： 由標準常態分配累積機率： $P\left(Z \le \frac{x - 610}{160}\right) = 0.97$ 查表可知 $\Phi(1.88) \approx 0.9699 \approx 0.97$，故： $z = \frac{x - 610}{160} \approx 1.88$
4. 計算門檻分數 $x$： $x = 610 + 1.88 \times 160 = 610 + 300.8 = 910.8 \approx 911$ 因此，TOEIC 至少需考 $911$ 分才能達到前 $3\%$ 的申請門檻。

選項分析

• (A) 錯誤：$932$ 分對應的標準化值為 $z = \frac{932 - 610}{160} = \frac{322}{160} \approx 2.01$。

核心觀念

本題評量常態母體下樣本統計量的抽樣分配（Sampling Distributions）與獨立性性質。核心理論包含：

1. 樣本變異數的卡方分配性質： 若 $X_1, X_2, \ldots, X_n \overset{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$，則：

此處因以估計值 $\overline{X}$ 取代未知母數 $\mu$，損失 1 個自由度，故自由度為 $n-1$。

2. 樣本平均數與樣本變異數的獨立性： 在常態母體假設下，$\overline{X}$ 與 $S^2$ 相互獨立（此為常態分配之特有充要性質，可由 Basu 定理或 Cochran 定理證得）。

3. $t$ 分配與 $F$ 分配的定義及關聯：

• 學生氏 $t$ 統計量：$T = \dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。
• 若 $T \sim t(k)$，則其平方服從第一自由度為 $1$、第二自由度為 $k$ 的 $F$ 分配，即 $T^2 \sim F(1, k)$。

4. 大樣本漸近性質： 由中央極限定理（CLT）搭配斯盧茨基定理（Slutsky's Theorem），或由 $t$ 分配之極限定理，當自由度 $n-1 \to \infty$（即 $n \to \infty$）時，$t(n-1)$ 分配弱收斂至標準常態分配 $N(0, 1)$。

解題方法

題目欲選出敘述錯誤的選項。本題切入點在於逐一檢驗常態抽樣理論的四大標準定理：

1. 檢驗卡方統計量 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 之自由度是否正確。
2. 檢驗 $t$ 統計量在大樣本下的極限分配。
3. 檢驗比值平方項是否符合 $t^2 = F(1, \nu)$ 的轉換關係。
4. 檢驗 $\overline{X}$ 與 $S^2$ 是否符合獨立性。

選項分析

• (A) 敘述錯誤（符合題意，故選 A）： 已知母體離差平方和除以變異數服從自由度為 $n$ 的卡方分配：

但樣本變異數 $S^2$ 是以樣本平均數 $\overline{X}$ 取代未知的母體平均數 $\mu$。由於受到線性限制條件 $\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}) = 0$ 的約束，喪失了 1 個自由度。

核心觀念

本題考查單一常態母體平均數之信賴區間估計中，使用學生氏 $t$ 分配（Student's $t$-distribution）時的基礎理論假設與適用條件。

當由常態母體 $N(\mu, \sigma^2)$ 中抽出樣本數為 $n$ 的隨機樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n$，且母體標準差 $\sigma$ 未知時，母體平均數 $\mu$ 之 $(1-\alpha)$ 雙尾信賴區間為： $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, \, n-1} \left( \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$ 其中關鍵的樞紐量（Pivotal Quantity）定義為： $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$ 該統計量能服從自由度 $n-1$ 的 $t$ 分配，在數學推導上必須滿足三個基本要素：

1. 分子標準常態性：$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，即樣本平均數 $\bar{X}$ 必須服從常態或近似常態分配。
2. 分母卡方性質：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
3. 獨立性：樣本觀測值彼此獨立，確保 $\bar{X}$ 與 $S^2$ 相互獨立。

解題方法

判斷母體平均數推論工具的決策樹主要取決於兩大關鍵：「母體標準差 $\sigma$ 是否已知」與「母體是否為常態（或樣本數大小）」。

1. $t$ 分配的發明初衷：統計學家戈塞特（William Sealy Gosset，筆名 Student）提出 $t$ 分配，正是為了解決**「小樣本（通常指 $n < 30$）且母體標準差 $\sigma$ 未知」**時，無法精確套用標準常態 $Z$ 檢定的統計難題。
2. 大樣本的極限行為：若樣本數很大（$n \to \infty$），由漸近理論可知 $t(n-1)$ 分配會收斂逼近標準常態分配 $Z$。因此，大樣本固然可以使用 $t$ 分配（或近似 $Z$ 分配），但**「樣本數很大」絕非使用 $t$ 分配的必備假設**，在小樣本且母體為常態時，更必須使用 $t$ 分配。

核心觀念

本題考查母體比例區間估計之樣本數決定（Sample Size Determination for Population Proportion）。

1. 誤差範圍（Margin of Error, $E$）公式： 在常態近似下，母體比例 $p$ 的雙尾信賴區間誤差範圍為： $E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
2. 所需樣本數公式： 由誤差範圍公式移項可得： $n = \left(\frac{z_{\alpha/2}}{E}\right)^2 p(1-p)$
3. 最保守原則（最大變異數原則）： 當題目未提供母體比例 $p$ 的先驗估計值或歷史民調數據時，應採用最保守估計，即令 $p = 0.5$。此時 $p(1-p) = 0.25$ 達到極大值，能確保所抽取的樣本數在任何母體真實比例下，皆能滿足誤差範圍與信心水準的要求。
4. 標準常態分配臨界值： 信心水準 $1 - \alpha = 95\%$ 時，雙尾顯著水準 $\alpha = 0.05$，對應臨界值 $z_{0.025} = 1.96$。
5. 樣本數整數化原則： 樣本數必須為正整數。計算結果若帶有小數，為保證誤差範圍不超過要求，一律採用「無條件進位法」（向上取整）。

解題方法

1. 整理已知條件：

• 信心水準 $1 - \alpha = 95\% \implies \alpha/2 = 0.025 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$
• 誤差範圍 $E = 5\% = 0.05$
• 未知母體比例先驗值，取保守值 $p = 0.5$

2. 代入樣本數公式計算： $n = \left(\frac{1.96}{0.05}\right)^2 \times 0.5 \times (1 - 0.5)$ $n = (39.2)^2 \times 0.25 = 1536.64 \times 0.25 = 384.16$

3. 無條件進位取整數： $n \ge 384.16 \implies n = 385$

故民調公司至少需要 $385$ 個樣本。

選項分析

核心觀念

本題測驗假設檢定中 $P$ 值（$P$-value，顯著機率值） 的統計學定義、計算要素與決策意涵。

1. $P$ 值的定義：在虛無假設（$H_0$）為真的前提下，檢定統計量出現比目前樣本觀察值「更極端」或「至少一樣極端」的機率。 以單尾檢定（右尾）為例，其數學定義為： $P\text{-value} = P(T \ge t_{\text{calc}} \mid H_0 \text{ 為真})$ 其中 $T$ 為檢定統計量之隨機變數，$t_{\text{calc}}$ 為根據樣本資料所計算出之檢定統計量觀察值。
2. $P$ 值的角色定位：$P$ 值是衡量樣本資料「反對虛無假設之證據強度」的指標，屬於客觀數據導出的機率值；而顯著水準 $\alpha$（型 I 錯誤的最大容忍機率）則是研究者在抽樣前主觀設定的決策門檻。

解題方法

分析計算 $P$ 值時所需的必要元素與其生成流程：

1. 確立分配前提：必須先假定「虛無假設 $H_0$ 為真」，才能確定檢定統計量 $T$ 的理論抽樣分配（如標準常態分配、學生氏 $t$ 分配等）。
2. 決定極端方向：依據對立假設 $H_1$ 的設定（雙尾、左尾或右尾），決定積分或查表的尾端方向。
3. 代入樣本數值：由抽樣樣本求出檢定統計量觀察值 $t_{\text{calc}}$，作為計算尾端累積機率的邊界點。
4. 決策階段的比較：計算完畢後，才將 $P$ 值與事先設定的顯著水準 $\alpha$ 比較。若 $P \le \alpha$，則拒絕 $H_0$。

由上述流程可知，$P$ 值的計算過程完全由「母體分配與假設條件（$H_0, H_1$）」及「樣本資料（$t_{\text{calc}}$）」決定，與顯著水準 $\alpha$ 無關。

選項分析

核心觀念

本題評量兩獨立常態母體變異數之比的假說檢定（$F$ 檢定）。

1. 基本假說設定：

• 雙尾檢定：$H_0: \sigma_A^2 = \sigma_B^2$ 對立於 $H_1: \sigma_A^2 \neq \sigma_B^2$
• 右尾檢定：$H_0: \sigma_B^2 \le \sigma_A^2$ 對立於 $H_1: \sigma_B^2 > \sigma_A^2$

2. 檢定統計量： 在常態母體假設下，兩獨立樣本變異數比值服從 $F$ 分配： $F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(\nu_1, \nu_2)$ 其中自由度分別為 $\nu_1 = n_1 - 1$ 與 $\nu_2 = n_2 - 1$。實務上為方便查閱右尾臨界值，通常將較大的樣本變異數置於分子。
3. 拒絕域判定：

• 雙尾檢定（顯著水準 $\alpha$）：當 $F > F_{\alpha/2}(\nu_1, \nu_2)$ 時，拒絕虛無假說 $H_0$。
• 單尾檢定（顯著水準 $\alpha$）：當 $F > F_{\alpha}(\nu_1, \nu_2)$ 時，拒絕虛無假說 $H_0$。

解題方法

步驟一：確定自由度與分子分母配置 將樣本變異數較大的工廠 $B$ 作為分子（$1$），較小的工廠 $A$ 作為分母（$2$）：

• 分子自由度：$\nu_1 = n_B - 1 = 10 - 1 = 9$
• 分母自由度：$\nu_2 = n_A - 1 = 10 - 1 = 9$

步驟二：計算檢定統計量 $F$ 值 $F = \frac{s_B^2}{s_A^2} = \frac{9.11}{2.25} \approx 4.0489$

步驟三：比對臨界值並進行決策 題目給定顯著水準 $\alpha = 0.05$：

• 若進行雙尾檢定（檢驗兩工廠變異是否不同），右尾臨界值為： $F_{\alpha/2}(9,9) = F_{0.025}(9,9) = 4.03$ 因計算所得之統計量 $F = 4.049 > 4.03$，落在拒絕域內。

核心觀念

本題評量**成對樣本 $t$ 檢定（Paired Samples $t$-test）**之檢定統計量形式與自由度判定。

1. 資料型態判斷：針對同一組受試者（$8$ 位同學）在介入措施前後（使用系統前、後）分別進行測量，此類前後測資料屬於相依樣本（Dependent Samples）或成對資料（Paired Data），兩組成績之間存在配對相關性，不可視為兩組獨立樣本。
2. 檢定原理與統計量：成對樣本檢定是將每一對觀測值取差值 $D_i = X_{1i} - X_{2i}$，轉化為針對單一差值變數 $D$ 的單一樣本平均數檢定。其檢定統計量為： $T = \frac{\bar{D} - \mu_D}{S_D / \sqrt{n}} \sim t(n - 1)$ 其中 $\bar{D} = X_1 - X_2$ 為平均差值，$S_D$ 為差值之樣本標準差，$n$ 為配對數（對數），自由度為 $df = n - 1$。

解題方法

1. 確立假設檢定： 欲檢定線上學習系統是否有顯著進步，設差值母體平均數為 $\mu_D = \mu_1 - \mu_2$（後－前）： $H_0: \mu_D \le 0 \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu_D > 0$
2. 由差值建構檢定統計量：

• 樣本對數 $n = 8$。
• 樣本差值平均數 $\bar{D} = X_1 - X_2$。
• 差值之樣本變異數為 $S_D^2$，差值之樣本標準差為 $S_D$。
• 平均差值 $\bar{D}$ 的抽樣標準誤（Standard Error）為： $SE(\bar{D}) = \frac{S_D}{\sqrt{n}} = \frac{S_D}{\sqrt{8}}$

3. 計算 $t$ 檢定統計量與自由度： 在虛無假設 $H_0$（$\mu_D = 0$）為真的情況下，檢定統計量為： $T_4 = \frac{(X_1 - X_2) - 0}{S_D / \sqrt{8}} = \frac{X_1 - X_2}{S_D / \sqrt{8}}$ 因僅有 $n = 8$ 個差值資料，其對應的 Student's $t$ 分配自由度為：

核心觀念

1. 卡方適合度檢定統計量： 設共有 $k$ 個互斥類別，觀察次數為 $O_i$，在虛無假說 $H_0$ 成立下的期望次數為 $E_i$，則檢定統計量為： $\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
2. 大樣本近似性質與使用條件： 卡方適合度檢定本質上是以連續型的卡方分配來「漸近近似」離散的多項分配。此近似成立的前提是大樣本條件（通常遵循 Cochran 準則：所有細格的 $E_i \ge 1$，且至少 $80\%$ 細格的 $E_i \ge 5$）。
3. 分母效應與型 I 錯誤膨脹： 當期望次數 $E_i$ 太少時，微小的抽樣隨機波動 $(O_i - E_i)^2$ 除以極小的分母 $E_i$，都會造成該項數值急遽放大，導致算出的卡方統計量虛增偏大。

解題方法

本題應從「檢定統計量的數值結構」與「拒絕域判定」切入分析：

1. 統計量虛增： 檢定統計量 $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 的分母為期望次數 $E_i$。當多數細格的 $E_i$ 過小時，分母極小會使得相除後的數值異常暴增，造成整體的計算值 $\chi^2_{\text{calc}}$ 偏大。
2. 判定容易拒絕 $H_0$： 卡方適合度檢定恆為右尾檢定，其拒絕準則為： $\text{當 } \chi^2_{\text{calc}} > \chi^2_{\alpha, df} \text{ 時，拒絕 } H_0$ 當 $\chi^2_{\text{calc}}$ 因分母過小而人為虛增時，其落入右尾拒絕域的機率大幅增加。

核心觀念

1. 單因子變異數分析（One-Way ANOVA）檢定假設： 欲檢定多個（$k \ge 3$）獨立母體平均數是否完全相等，其假設設定為：

• 虛無假設 $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$
• 對立假設 $H_1:$ 至少有兩家企業的平均年薪不相同

2. 檢定方向： ANOVA 是藉由比較「組間變異（$MS_{between}$）」與「組內變異（$MS_{within}$）」的相對大小來做決策。當平均數差異顯著時，組間變異會膨脹，導致 $F$ 統計量偏大。因此，變異數分析之 $F$ 檢定恆為右尾檢定，拒絕域設定為： $F > F_\alpha(df_1, df_2)$ 顯著水準直接取用題目給定的 $\alpha$，不可除以 2。
3. 自由度決定規則：

• 分子自由度（組間／處理自由度）：$df_1 = k - 1$（$k$ 為組數）。
• 分母自由度（組內／誤差自由度）：$df_2 = N - k$（$N$ 為總樣本數）。

解題方法

步驟一：確定檢定型態與顯著水準（決定下標機率） 變異數分析檢定組間差異時，統計量 $F = \frac{MS_{between}}{MS_{within}}$ 僅在右尾發生極端大值時拒絕 $H_0$，故為單尾（右尾）檢定。題目給定 $\alpha = 0.05$，因此臨界值的右尾機率為： $\alpha = 0.05$ （非雙尾檢定的 $\alpha / 2 = 0.025$）

步驟二：計算分子（組間）自由度 $df_1$ 題目共有 $A$、$B$、$C$ 三家企業，組數 $k = 3$： $df_1 = k - 1 = 3 - 1 = 2$

步驟三：比對選項與題目爭議分析

1. 依據 $\alpha = 0.05$ 與分子自由度 $df_1 = 2$，四個選項中僅有 (A) 符合這兩項必備條件。
2. 【命題爭議點說明】： 若依題意計算各組樣本數：

• $n_A = 5$

核心觀念

二因子變異數分析檢定交互作用時，檢定統計量為交互作用均方除以誤差均方：

由原頁掃描圖可讀出交互作用平方和為 $270$、誤差平方和為 $480$、總自由度為 $59$。題目文字轉錄的表格數值與掃描圖不一致；以下依題意以原頁實際內容計算。