113 初等考試五等 統計 統計學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考「期望值」：隨機變數的期望值是各種可能結果依其機率加權後的平均值。若結果為 $x_i$、發生機率為 $p_i$，則

解題方法

明天股價只有兩種可能：

• 上漲 5 元：股價為 $80+5=85$ 元，機率為 $0.5$。
• 下跌 5 元：股價為 $80-5=75$ 元，機率為 $0.5$。

因此明天股價的期望值為

選項分析

核心觀念

本題考獨立隨機變數的條件期望、條件變異數，以及和的變異數。

若 $X$ 與 $Y$ 獨立，則在給定 $X$ 或 $Y$ 的值後，另一個變數的分布不變。因此，在期望與變異數存在時：

此外，變異數和公式為：

獨立變數的共變數為 $0$，故和的變異數等於兩者變異數之和。

解題方法

逐一套用獨立性質檢驗各選項。獨立代表兩變數互不影響，但不代表它們的期望值或變異數相等。因此，須分辨「條件量等於該變數自己的無條件量」與「兩個不同變數的量彼此相等」。

選項分析

(A) $E(Y)=E(X)$：錯誤。

獨立不要求 $X$ 與 $Y$ 的期望相同。例如令 $X$ 恆等於 $0$、$Y$ 恆等於 $1$，兩者仍為獨立變數，但 $E(X)=0$、$E(Y)=1$。

(B) $E(X\mid Y)=E(Y\mid X)$：錯誤。

由獨立性，

核心觀念

柴比雪夫定理指出，對任何具有有限平均數 $\mu$ 與標準差 $\sigma$ 的機率分配，落在平均數上下 $k$ 個標準差內的觀察值比例至少為

解題方法

題目要求至少 $84\%$ 的觀察值落在平均數上下幾個標準差內，令比例下限為 $0.84$：

因此，至少 $84\%$ 的觀察值會落在平均數上下 $2.5$ 個標準差內。

選項分析

核心觀念

標準常態變數 $Z$ 的平均數為 $0$、標準差為 $1$。標準常態分配對稱，因此從 $0$ 到正數 $a$ 之間的機率為

其中 $\Phi(a)=P(Z\leq a)$ 為標準常態累積分配函數。

解題方法

題目給定 $0$ 與 $2x$ 之間的機率為 $0.1255$，故

查標準常態分配表，中央值與正值 $z$ 之間的機率為 $0.1255$ 時，$z=0.32$，因為 $\Phi(0.32)=0.6255$。因此

選項分析

核心觀念

量化資料製作次數分配表時，組距是每一組涵蓋的資料範圍寬度。決定組距前，須先決定資料的全距與預計分成的組數，再用兩者估算每組寬度。

解題方法

資料全距為最大值減最小值：

若預計分成 $k$ 組，組距可按下式估算：

因此，選擇組距前要先知道「全距」與「組數」。

選項分析

核心觀念

母體平均數的抽樣分配，其標準誤為

其中 $\sigma$ 是母體標準差，$n$ 是抽樣個數。若母體標準差不變，標準誤會隨樣本數的平方根增加而降低。

解題方法

原抽樣個數為 $n$，標準誤為 $\sigma/\sqrt{n}$。抽樣個數增加為原本的 2 倍後，新標準誤為

因此，新標準誤約為原本的 70%，也就是約降低 30%。

選項分析

核心觀念

兩階段服務時間互相獨立且皆為常態分配，因此總服務時間仍為常態分配。獨立隨機變數相加時，平均數相加，變異數相加：

若總服務時間為 $T=X_1+X_2$，則

故總時間的平均數為 $25$ 分鐘，標準差為 $5$ 分鐘。

解題方法

要求洗一部車超過 $30$ 分鐘的機率，即 $P(T>30)$。將 $T$ 標準化：

查標準常態分配表，$\Phi(1)=P(Z\leq 1)=0.8413$，所以

核心觀念

母體中喜歡國外旅遊的比例為 $p=0.6$，抽取 $n=100$ 人後，樣本比例記為 $\hat p$。本題考查樣本比例抽樣分配的對稱性。

若每位市民的回答可視為相互獨立，則喜歡國外旅遊的人數 $X\sim\operatorname{Binomial}(100,0.6)$，且 $\hat p=X/100$。因此，$\hat p<0.6$ 等同於 $X<60$。

解題方法

樣本比例的期望值為

在常態近似下，$\hat p$ 的抽樣分配以 $0.6$ 為中心且左右對稱，因此低於中心值的機率約為 $0.5$。本題選項採用此抽樣分配的對稱性判斷。

核心觀念

將所得分為五等分，表示依所得由低至高排序後，切成五個人數相同的群組。最低五等分位的上界是第 $20$ 百分位數，最高五等分位的下界是第 $80$ 百分位數。

若所得 $X\sim N(50,10^2)$，平均數為 $\mu=50$、標準差為 $\sigma=10$。常態分配的百分位數可用標準常態分配的分位數換算：

其中 $z_p$ 是標準常態分配的第 $p$ 百分位數。

解題方法

五等分位的切點為第 $20$、$40$、$60$、$80$ 百分位數。本題問最低與最高五等分位的所得界線，因此取第 $20$ 與第 $80$ 百分位數。

標準常態分配中：

換算回所得尺度：

核心觀念

本題考指數分配的累積機率。若輪胎壽命 $X$ 服從平均數為 $\mu$ 的指數分配，則其率參數為 $\lambda=1/\mu$，且壽命小於 $t$ 的機率為

解題方法

平均壽命為兩年，因此 $\mu=2$ 年，率參數為

六個月等於 $0.5$ 年，代入累積分配函數：

因此選項中的機率為 $1-e^{-0.25}$。

選項分析

核心觀念

常態分配具有對稱性，約 $68\%$ 的觀測值落在平均數左右各一個標準差內：

因此，若題目給出的區間以平均數為中心，且涵蓋約 $68\%$ 的考生，區間的半寬就是標準差。

解題方法

平均數為 $\mu=78$，題目所給區間為 $(72,84)$，其中點為

區間確實以平均數為中心。從平均數到任一端點的距離為

因為這段距離約為一個標準差，所以 $\sigma\approx 6$ 分。

選項分析

核心觀念

若 $X_1,\ldots,X_5$ 為來自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的隨機樣本，則各 $X_i$ 彼此獨立，且 $E(X_i)=\mu$、$\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2$。

對線性估計量 $T=\sum_{i=1}^{5}a_iX_i$：

因此，$T$ 不偏估計 $\mu$ 的條件是權數總和為 $1$；符合不偏條件後，權數平方和愈小，變異數愈小。

解題方法

先檢查各估計量的權數總和，確認是否不偏；再比較不偏估計量的權數平方和。

• $T_1$ 的權數總和為 $(1+2+4+2+1)/10=1$，故不偏。其變異數為

• $T_2$ 的權數總和為 $(1+2+5+2+1)/15=11/15$，不等於 $1$，故有偏。

• $T_3$ 的權數總和為 $5/5=1$，故不偏。其變異數為

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的樣本估計、樣本比例的抽樣分配、比例的信賴區間，以及估計比例所需的樣本數。

樣本比例為

當 $n\hat p=12$、$n(1-\hat p)=88$ 都足夠大時，$\hat p$ 的抽樣分配可用常態分配近似，其標準誤估計為

解題方法

以常態近似檢視抽樣分配，並用「點估計 $\pm$ 臨界值 $\times$ 標準誤」計算信賴區間。樣本數則依指定的誤差界限反推。

選項分析

• (A) 正確。 因為 $n\hat p=12$、$n(1-\hat p)=88$，均達常見常態近似條件，故 $\hat p$ 的抽樣分配可近似為常態分配。

• (B) 正確。 95% 信賴區間採用 $z_{0.975}=1.96$：

核心觀念

本題考的是「母體平均數的信賴區間」應使用哪一種抽樣分配，以及如何決定自由度。

母體標準差未知時，以樣本標準差 $s$ 估計，若母體為常態分配（或樣本條件足以適用 $t$ 推論），母體平均數 $\mu$ 的 $95\%$ 信賴區間為

其中 $n$ 是樣本數，自由度為 $n-1$。

解題方法

題目抽取 $20$ 個樣本，故 $n=20$。估計的是「平均數」，且題目未提供母體標準差，因此採用 $t$ 分配；其自由度為

核心觀念

本題考查常態母體平均數單尾假設檢定之樣本數決定（Sample Size Determination）。

1. 單尾檢定架構與拒絕域： 對母體 $N(\mu, \sigma^2)$ 進行檢定，虛無假設為 $H_0: \mu \ge \mu_0$，對立假設為 $H_1: \mu < \mu_0$（左尾檢定）。檢定統計量為樣本平均數 $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$，拒絕域形式為： $C = \{ \bar{X} < k \}$
2. 型 I 錯誤與型 II 錯誤機率：

• 型 I 錯誤機率（顯著水準 $\alpha$）：當 $H_0$ 為真（以邊界 $\mu = \mu_0$ 計算）時，拒絕 $H_0$ 的機率為 $\alpha$。
• 型 II 錯誤機率（$\beta$）：當對立假設特定值 $\mu = \mu_1$ 為真時，未拒絕 $H_0$ 的機率為 $\beta$（檢定力為 $1 - \beta$）。

3. 決定樣本數公式： 聯立兩條件可推導出單尾檢定所需之最小樣本數標準公式： $n = \frac{(z_\alpha + z_\beta)^2 \sigma^2}{(\mu_1 - \mu_0)^2} = \frac{(z_\alpha + z_\beta)^2 \sigma^2}{\Delta^2}$ 其中 $\Delta = |\mu_1 - \mu_0|$ 為母體平均數的檢驗差值；$z_\alpha$ 與 $z_\beta$ 為標準常態分配之右尾分位數。

解題方法

步驟一：列出理論條件式與標準常態分位數

題目給定參數：$\sigma = 12$、$\alpha = 0.05$、$\beta = 0.10$。

• $\alpha = 0.05 \implies z_{0.05} \approx 1.645$
• $\beta = 0.10 \implies z_{0.10} \approx 1.282$

依定義聯立臨界值 $k$：

1. 由型 I 錯誤機率條件： $P(\bar{X} < k \mid \mu = 100) = P\left(Z < \frac{k - 100}{12/\sqrt{n}}\right) = 0.05 \implies k = 100 - 1.645 \times \frac{12}{\sqrt{n}}$
2. 由型 II 錯誤機率條件： $P(\bar{X} \ge k \mid \mu = \mu_1) = 0.10 \implies k = \mu_1 + 1.282 \times \frac{12}{\sqrt{n}}$

兩式相消消去臨界值 $k$，得樣本數推導式： $n = \frac{(1.645 + 1.282)^2 \times 12^2}{|\mu_1 - 100|^2}$

步驟二：辨識命題瑕疵與數值還原

本題存在明顯的命題筆誤與理論爭議點：

1. 假說方向矛盾：題目設定為左尾檢定 $H_1: \mu < 100$，則對立假設點應滿足 $\mu_1 < 100$。然而題文給定 $\mu_1 = 115 > 100$，此數值落在 $H_0$ 的參數空間內，理論上無法計算對立假設下的型 II 錯誤。
2. 字面數值計算：若直接取題文字面差距 $\Delta = |115 - 100| = 15$ 代入公式：

核心觀念

本題考驗兩個母體比例是否相同。新帳戶與舊帳戶是兩組獨立樣本，因此採用「兩母體比例差異檢定」，並以合併比例估計共同的母體逾期未付比例。

令新帳戶與舊帳戶的逾期未付比例分別為 $p_1$、$p_2$，檢定假設為：

題目問「是否有差異」，故採雙尾檢定。大樣本下，檢定統計量近似服從標準常態分配。

解題方法

樣本比例為：

在虛無假設 $H_0:p_1=p_2$ 下，將兩組逾期未付人數合併估計共同比例：

比例差的標準誤為：

因此檢定統計量為：

核心觀念

二因子完全隨機因子實驗中，因子 $A$、因子 $B$ 與交互作用 $AB$ 的檢定統計量，均以誤差均方 $MSE$ 作為分母：

各處理組合重複 $r$ 次時，誤差自由度為 $ab(r-1)$，因此：

其中 $a$、$b$ 分別為因子 $A$、$B$ 的水準數。

解題方法

題目給出 $MS_A=16$，且因子 $A$ 的檢定統計量 $F_A=4$。由檢定統計量公式：

本題 $a=4$、$b=3$、$r=3$，所以誤差自由度為：

因此：

核心觀念

決定係數（Coefficient of determination，記為 $R^2$）用來衡量迴歸模型對反應變數 $Y$ 變異的解釋程度。在含截距項的簡單線性迴歸中，

因此，$R^2=0.97$ 表示模型解釋了 $Y$ 變異的 $97\%$；其餘 $3\%$ 未由模型解釋。

解題方法

直接依決定係數的定義判讀：$R^2$ 衡量模型對 $Y$ 變異的解釋比例。將 $0.97$ 換成百分比即為 $97\%$，所以選項 (D) 正確。

選項分析

核心觀念

複迴歸中，斜率係數的 $t$ 檢定用來判斷：在控制其他自變數後，該變數的母體迴歸係數是否顯著異於 $0$。檢定統計量為

本題有兩個自變數與截距，因此殘差自由度為 $n-k-1=10-2-1=7$。在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下進行雙尾檢定，臨界值為 $t_{0.025,7}\approx2.365$。

解題方法

檢定 $H_0:\beta_1=0$，代入 $b_1=4.24$、$S(b_1)=3.8$：

因為 $|t|=1.116<2.365$，未達拒絕域，故在 $\alpha=0.05$ 水準下不拒絕 $H_0$。資料不足以支持 $\beta_1$ 顯著異於 $0$。

選項分析

核心觀念

本題考簡單線性迴歸的最小平方法估計，以及殘差的性質。令利率為自變數 $x$，銷售量為應變數 $y$，迴歸估計式為

其中斜率與截距分別為

殘差定義為 $e_i=y_i-\hat y_i$。含截距項的最小平方法迴歸，其殘差總和為 $0$。

解題方法

先計算平均數：

計算斜率所需的兩個總和：

因此

核心觀念

本題考簡單線性迴歸方程式的解讀與顯著性檢定。估計迴歸式為

其中，截距 $b_0$ 是 $x=0$ 時的預測值；斜率 $b_1$ 表示 $x$ 每增加一單位，$y$ 的預測平均值改變多少。檢定斜率是否為零，可判斷兩變數是否有顯著的線性迴歸關係。

解題方法

由表中估計值可得：

收入單位是「十萬元」，家具費用單位是「萬元」。因此，收入每增加十萬元，預測家具費用平均增加 $0.39$ 萬元。

年收入 $2$ 百萬元相當於 $20$ 個十萬元，代入迴歸式：

判斷是否有顯著線性關係，則檢定斜率的虛無假設 $H_0:\beta_1=0$。

核心觀念

本題考查「卡方適合度檢定」，用來檢定觀察到的類別次數是否符合指定的理論分配。題目要比較週一至週五的請假人數是否有差異，可在虛無假設下假定五個工作日請假機率相同，再比較各日實際人數與期望人數。

卡方檢定統計量為

其中 $O_i$ 是第 $i$ 類的觀察次數，$E_i$ 是虛無假設下的期望次數。適合度檢定的自由度為 $k-1$。

解題方法

五個工作日的請假總人數為

虛無假設為五天請假機率相同，因此各日期望人數均為

將觀察次數代入卡方統計量：

核心觀念

本題考指數平滑法。此法以最近一期的實際值與前一期的預測值加權，更新下一期預測值：

其中 $Y_t$ 是第 $t$ 期實際銷售量，$F_t$ 是第 $t$ 期預測值，平滑常數 $\alpha=0.2$。因此，最新實際值占 20%，前一期預測值占 80%。

解題方法

題目未指定初始預測值，依此題選項所採用的設定，以 2010 年實際值作為 2011 年預測值，即 $F_{2011}=17$。逐年套用公式：

核心觀念

負偏態分配又稱左偏態分配，資料的左側尾巴較長，少數較小的極端值會把平均數往左拉。因此典型關係為：

解題方法

先辨認偏態方向，再判斷尾端對平均數的影響。負偏態的長尾在左側，較小的極端值拉低平均數；中位數受極端值影響較小，所以平均數小於中位數。

選項分析

核心觀念

本題主要測驗敘述統計中「集中趨勢度量」（Measures of Central Tendency）與「離散趨勢度量」（Measures of Dispersion）的基本定義、幾何意義與相互關係：

1. 集中趨勢指標：平均數（Mean, $\bar{x}$）、中位數（Median, $Me$）、眾數（Mode, $Mo$），用於衡量整組資料數值的中心或代表位置。
2. 離散程度指標：變異數（Variance, $\sigma^2$ 或 $s^2$）、全距（Range, $R = x_{\max} - x_{\min}$），用於衡量資料數值的離散、變異或展延程度。
3. 分配對稱性與單峰性質：單峰對稱分配之中心軸特性，滿足 $\text{Mean} = \text{Median} = \text{Mode}$。

解題方法

本題為統計基本性質的觀念辨析題，解題切入點在於區分**「中心位置」與「離散幅度」屬於兩個獨立的統計維度**，並利用定義與構造反例來檢驗各選項是否恆真。

選項分析

• (A) 正確： 若資料全為正數（即所有 $x_i > 0$），則：
• 算術平均數 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i > 0$，必為正值。
• 中位數與眾數皆取自原始數值的分布範圍內，因此亦必然為正值。
• 在一般具有相異數值之資料組中，偏差平方和不為零，樣本變異數 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 > 0$，亦為正值。本敘述符合一般統計資料之基本性質。

核心觀念

本題考察期望值的線性性。每位員工抽中紅球的機率為 $\frac{4}{10}$；只要計算 10 位員工中抽中紅球的人數期望值，即為獲得 $20{,}000$ 元獎金的份數期望值。

解題方法

令第 $i$ 位員工是否抽中紅球的指示變數為

則 $X=\sum_{i=1}^{10} I_i$，而每位員工抽中紅球的機率為

因此 $E(I_i)=\frac{2}{5}$。利用期望值的線性性：

核心觀念

本題考「互斥」與「獨立」的定義。事件 $A$、$B$ 互斥，表示兩者不能同時發生，因此 $A\cap B=\varnothing$，且 $P(A\cap B)=0$。兩事件獨立，則須滿足：

題目已知 $P(A)>0$ 且 $P(B)>0$，所以 $P(A)P(B)>0$。

解題方法

若 $A$、$B$ 互斥，則 $P(A\cap B)=0$；若同時獨立，又必須有 $P(A\cap B)=P(A)P(B)>0$，兩者矛盾。因此，在兩事件機率皆非零的條件下，互斥事件不可能獨立。

選項分析

核心觀念

本題考「樣本比例的抽樣分配」。母體中慣用左手者的比例為 $p=0.36$，從母體隨機抽取 $n=225$ 人，樣本中慣用左手者的比例記為 $\hat p$。

當樣本數夠大時，樣本比例的抽樣分配可用常態分配近似。常用判準是 $np$ 與 $n(1-p)$ 均至少為 5 或 10。

解題方法

計算成功與失敗的期望次數：

兩者都遠大於 10，因此樣本比例的抽樣分配可近似為常態分配。其平均數與標準差為：

核心觀念

母體員工人數服從常態分配，但母體標準差 $\sigma$ 未知，且樣本數只有 $n=15$。此時以樣本標準差 $s$ 估計 $\sigma$，標準化後的樣本平均數使用自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配：

解題方法

已知母體平均數 $\mu=25$、樣本標準差 $s=3$、樣本數 $n=15$。要判斷樣本平均數超過 27 人的機率，先將門檻標準化：

因此，依題目給定的樣本標準差估計母體標準差時，所用的參考分配為自由度 $14$ 的 $t$ 分配。若要求出近似尾端機率，則為 $P(T_{14}>2.582)$；

核心觀念

起薪 $X$ 服從平均數 $\mu=47{,}500$ 元、標準差 $\sigma=2{,}500$ 元的常態分配。求介於兩個金額之間的機率時，先將金額標準化為標準常態變數：

解題方法

將區間上下限分別換算成 $Z$ 值：

因此，所求機率為：

由標準常態分配表，$\Phi(1)=0.8413$、$\Phi(-1)=0.1587$，所以：

核心觀念

母體為常態分配時，樣本變異數經適當標準化後服從卡方分配。若 $X_1,\ldots,X_n$ 為來自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的獨立樣本，則

其中 $S^2$ 是以 $n-1$ 為分母計算的樣本變異數。因此，樣本變異數的機率問題應轉換為卡方分配問題。

解題方法

題目給定母體變異數 $\sigma^2=36$、樣本數 $n=9$，故自由度為 $n-1=8$。將樣本變異數標準化：

若要計算 $9.81<S^2<90.405$ 的機率，等價於計算

即