115 初等考試五等 統計 統計學大意 考古題詳解

核心觀念

本題測驗古典機率理論中「事件獨立性」與「機率加法定理」的基本運算：

1. 獨立事件（Independent Events）的乘法性質： 若事件 $A$ 與事件 $B$ 互相獨立，則兩事件同時發生的機率等於各自機率之乘積： $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

2. 機率加法定理（Addition Rule of Probability）： 對於任意兩事件 $A$ 與 $B$，兩事件至少有一件發生的機率（聯集機率）為： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

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解題方法

本題要求計算聯集機率 $P(A \cup B)$，依題意分為兩步驟推導：

• 步驟一：求交集機率 $P(A \cap B)$ 題目已知 $A$ 與 $B$ 為獨立事件，因此交集機率符合獨立事件相乘法則： $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.20$

• 步驟二：代入機率加法定理求聯集機率 $P(A \cup B)$ 將已知數據與交集機率代入公式： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.5 - 0.20 = 0.70$

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選項分析

• (A) 0.55：錯誤。常見於計算過程中數值抄錯或算術粗心之錯誤結果。
• (B) 0.60：錯誤。此數值可能源於誤算兩事件對立事件之機率，例如誤取 $P(A^c) = 0.60$，非聯集機率。

核心觀念

本題評量雙向列聯表（Contingency Table）的機率計算與**條件機率（Conditional Probability）**之定義與應用。

設事件 $A$ 為「滿意」，事件 $B$ 為「抽出者為女性」。在「已知事件 $B$ 發生」的條件下，事件 $A$ 發生的條件機率公式為： $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 其中：

• $P(A \cap B)$ 為聯合機率（Joint Probability），即抽出者同時為女性且對施政滿意之機率。
• $P(B)$ 為邊際機率（Marginal Probability），即抽出者為女性之總機率。

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解題方法

1. 確認表格數據之意義 檢查表內所有細格數值之總和： $(0.10 + 0.10 + 0.35) + (0.07 + 0.10 + 0.28) = 0.55 + 0.45 = 1.00$ 六格總和為 $1.00$，代表題目直接給出各分類的聯合機率，不需再以抽樣人數 300 人進行次數轉換。

2. 計算條件事件（女性）的邊際機率 $P(\text{女})$ 將「女性」列（Row）的各項機率加總： $P(\text{女}) = 0.07 + 0.10 + 0.28 = 0.45$

3. 找出「女性且滿意」的聯合機率 $P(\text{滿意} \cap \text{女})$ 由表格直接對應「女」列與「滿意」行，得： $P(\text{滿意} \cap \text{女}) = 0.07$

4. 代入條件機率公式求值 $P(\text{滿意} \mid \text{女}) = \frac{P(\text{滿意} \cap \text{女})}{P(\text{女})} = \frac{0.07}{0.45} = \frac{7}{45} \approx 0.1556 \approx 0.16$

故抽出者為女性時，其滿意之機率約為 0.16。

核心觀念

本題測驗的核心觀念為**柴比雪夫定理（Chebyshev's Theorem）**之應用。

1. 適用條件：柴比雪夫定理適用於任何形式的機率分配（不論資料呈對稱、鐘形或偏態分配），只要母體平均數 $\mu$ 與標準差 $\sigma$ 存在且有限即可使用。
2. 定理公式：對任意常數 $k > 1$，資料落在平均數加減 $k$ 個標準差之區間內的比例至少為： $P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$
3. 常考倍數之數值記憶：

• 當 $k = 2$ 時：區間涵蓋比例至少為 $1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = 75\%$。
• 當 $k = 3$ 時：區間涵蓋比例至少為 $1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} \approx 88.89\%$。

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解題方法

步驟一：整理題目已知條件

• 母體平均數 $\mu = 6.9$ 小時
• 母體標準差 $\sigma = 1.2$ 小時
• 目標區間為 $[4.5, 9.3]$ 小時

步驟二：計算標準差倍數 $k$ 檢驗目標區間兩端點與平均數的距離：

• 上界距離：$9.3 - 6.9 = 2.4$ 小時
• 下界距離：$6.9 - 4.5 = 2.4$ 小時

區間以平均數 $\mu = 6.9$ 為中心，向兩側各延伸 $2.4$ 小時。由此計算偏離平均數的標準差倍數 $k$： $k = \frac{|X - \mu|}{\sigma} = \frac{2.4}{1.2} = 2$

步驟三：代入柴比雪夫定理求比例 將 $k = 2$ 代入公式，落在 $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$（即 $4.5$ 至 $9.3$ 小時）的比例至少為：

核心觀念

本題考查條件機率與全機率概念。

設事件：

• $A$：彩券購自 $A$ 彩券行
• $B$：彩券購自 $B$ 彩券行
• $W$：彩券中獎

題目要求的是「已知彩券中獎，求它購自 $A$ 彩券行的機率」，即：

$$P(A\mid W)$$

依條件機率公式：

$$P(A\mid W)=\frac{P(A\cap W)}{P(W)}$$

解題方法

先計算兩家彩券行售出的中獎彩券張數。

$A$ 彩券行售出 $450$ 張，其中 $6\%$ 中獎：

$$450\times 0.06=27$$

$B$ 彩券行售出 $550$ 張，其中 $4\%$ 中獎：

$$550\times 0.04=22$$

因此，兩家合計中獎彩券張數為：

$$27+22=49$$

在所有 $49$ 張中獎彩券中，有 $27$ 張購自 $A$ 彩券行，所以：

$$P(A\mid W)=\frac{27}{49} \approx 0.551020$$

四捨五入至小數第三位：

$$P(A\mid W)\approx 0.551$$

因此選擇 (D) 0.551。

選項分析

• (A) 0.251：錯誤。 此數值不是本題條件機率的正確計算結果，未正確以「$A$ 彩券行中獎張數占全部中獎張數的比例」計算。

核心觀念

本題考查敘述統計學中資料的集中趨勢（樣本平均數）與離散趨勢（樣本標準差）之基本運算。

1. 樣本平均數（Sample Mean）： $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
2. 樣本變異數與樣本標準差（Sample Standard Deviation）： 計算未分組資料的樣本變異數時，為符合不偏估計量性質，分母自由度應採用 $n-1$。計算時多利用展開後的**簡捷公式（Shortcut formula）**以利速算： $s^2 = \frac{SS}{n-1} = \frac{\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n-1}$ 樣本標準差即為其正平方根： $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n-1}}$

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解題方法

由題意可知，大眾運輸樣本數 $n_x = 10$，汽機車樣本數 $n_y = 10$。

一、大眾運輸系統（$X$）之樣本平均數與樣本標準差

1. 樣本平均數： $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n_x} = \frac{320}{10} = 32$

2. 離均差平方和（$SS_x$）： $SS_x = \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n_x} = 10434 - \frac{320^2}{10} = 10434 - 10240 = 194$

3. 樣本標準差（$s_x$）： $s_x = \sqrt{\frac{SS_x}{n_x - 1}} = \sqrt{\frac{194}{10 - 1}} = \sqrt{\frac{194}{9}} = \frac{\sqrt{194}}{3} \approx \frac{13.928}{3} \approx 4.64$

因此，大眾運輸之 $(\bar{x}, s_x) = (32, 4.64)$。

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二、汽機車（$Y$）之樣本平均數與樣本標準差

1. 樣本平均數： $\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n_y} = \frac{320}{10} = 32$

2. 離均差平方和（$SS_y$）：

核心觀念

1. 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）之定義： 變異係數為衡量資料「相對離散程度」（或相對變異性）的無單位指標，定義為標準差與平均數之比值： $CV = \frac{S}{\bar{X}} \times 100\%$ 其中 $S$ 為樣本標準差，$\bar{X}$ 為樣本平均數。

2. 變異係數之統計意涵：

• 數值大小意義：$CV$ 越小，代表資料相對於平均數的相對波動幅度越小、穩定度與一致性越高；反之，$CV$ 越大，代表相對波動越大、穩定度較差。
• 實務應用情境：當比較不同母體或不同情境下的偏好程度時，$CV$ 較小代表受測群體在各情境（如晴天、雨天）下的選擇偏好較為一致，受外在環境干擾之變動性較低。

3. 題組脈絡與命題背景： 本題為題組的第 2 小題，題幹明示「基於上題結果」。前一題（第 5 題）已由題目給定之不同天候（天氣好、天氣不好）使用數據，分別計算出「大眾運輸」與「汽機車」之變異係數，求得 $CV_{\text{汽機車}} < CV_{\text{大眾運輸}}$。

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解題方法

1. 連結前題計算數據： 依據第 5 題計算結果，跨天候使用狀況下：

• 汽機車的變異係數較小（$CV_{\text{汽機車}}$ 較低）。
• 大眾運輸的變異係數較大（$CV_{\text{大眾運輸}}$ 較高）。

2. 以變異係數進行決策判讀：

• 變異係數低意味著使用者對該交通工具的使用頻率或滿意度在不同天候條件下「變異程度最小、維持水準最為一致與穩定」。
• 在統計調查的應用題型中，若以變異係數作為偏好指標，通常將「波動最小、表現最穩定、忠誠度或偏好一致性最高」者，視為相對「較受穩定偏好／較受喜愛」的選擇。因此判定為汽機車。

3. 命題重點與爭議點剖析：

• 嚴謹統計觀點：在純統計學理論中，「受喜愛程度」一般應由集中趨勢量數（如平均數 $\bar{X}$ 或中位數）來衡量，而變異係數 $CV$ 僅能衡量「相對穩定度／分散度」，無法單獨直接等同於「絕對喜好程度的高低」。

核心觀念

本題評量**皮爾森樣本相關係數（Pearson correlation coefficient）**的定義、性質與計算。

1. 樣本相關係數公式： 設兩變數為 $X$（酒齡）與 $Y$（價格），樣本個數為 $n = 5$。樣本相關係數 $r$ 的定義為： $r = \frac{SS_{xy}}{\sqrt{SS_{xx} \cdot SS_{yy}}} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2}}$
2. 相關係數的數值範圍與意義：

• 相關係數必落於 $[-1, 1]$ 之間，即 $-1 \le r \le 1$。
• $r > 0$：表示兩變數呈正向線性關係（同向變動）。
• $r < 0$：表示兩變數呈負向線性關係（反向變動）。
• $r = 0$：表示兩變數無線性相關。

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解題方法

步驟一：計算樣本平均數

• 樣本數 $n = 5$
• $\sum X = 35 + 20 + 29 + 30 + 34 = 148 \implies \bar{X} = \frac{148}{5} = 29.6$
• $\sum Y = 254 + 150 + 212 + 205 + 230 = 1051 \implies \bar{Y} = \frac{1051}{5} = 210.2$

步驟二：計算離差與各項和

建立離差計算表如下：

$X$	$Y$	$X - \bar{X}$	$Y - \bar{Y}$	$(X - \bar{X})^2$	$(Y - \bar{Y})^2$	$(X - \bar{X})(Y - \bar{Y})$
$35$	$254$	$5.4$	$43.8$	$29.16$	$1918.44$	$236.52$
$20$	$150$	$-9.6$	$-60.2$	$92.16$	$3624.04$	$577.92$
$29$	$212$	$-0.6$	$1.8$	$0.36$	$3.24$	$-1.08$
$30$	$205$	$0.4$	$-5.2$	$0.16$	$27.04$	$-2.08$
$34$	$230$	$4.4$	$19.8$	$19.36$	$392.04$	$87.12$
合計		$0$	$0$	$141.2$	$5964.8$	$898.4$

核心觀念

本題考查單峰偏態分配下，眾數、中位數與平均數的相對位置。

對於單峰左斜分配，通常有：

$$\text{平均數}<\text{中位數}<\text{眾數}$$

本題資料呈單峰左斜，且甲、乙各有一個計算結果錯誤。

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解題方法

甲、乙所計算的眾數皆為 $0$。若眾數 $0$ 是錯誤的，則甲、乙的眾數同時錯誤；但兩人其餘的中位數與平均數又各不相同，不可能同時代表同一組資料。因此可判定：

$$\text{實際眾數}=0$$

接著利用左斜分配的關係：

$$\text{平均數}<\text{中位數}<0$$

甲的結果為：

$$\text{中位數}=-2.4,\qquad \text{平均數}=-1.9$$

其中 $-1.9>-2.4$，不符合左斜分配，因此甲的平均數 $-1.9$ 錯誤，而中位數 $-2.4$ 正確。

乙的結果為：

$$\text{中位數}=-1.3,\qquad \text{平均數}=-2.6$$

其中：

$$-2.6<-1.3<0$$

符合左斜分配的順序。不過題目已說甲、乙各有一個數據算錯，因此乙的中位數 $-1.3$ 為錯誤，平均數 $-2.6$ 正確。

所以依官方答案所採定的判定：

$$\text{眾數}=0,\qquad \text{中位數}=-2.4,\qquad \text{平均數}=-2.6$$

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選項分析

(A) 眾數 $=0$，中位數 $=-1.3$，平均數 $=-1.9$

此組數值確實滿足：

$$-1.9<-1.3<0$$

核心觀念

本題評量變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）之定義與計算，以及樣本統計量之計算原則：

1. 變異係數定義：衡量資料相對離散程度的無單位量，適用於單位不同或平均數差異甚大之兩組資料比較。其公式為標準差除以平均數： $CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$
2. 樣本標準差（無偏估計）：題目指明為「收集兩變數的 6 個觀察值」，屬於抽樣所得之樣本資料，計算變異數時分母必須採用自由度 $n - 1$： $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n - 1}$ $s = \sqrt{s^2}$

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解題方法

本題樣本數 $n = 6$。分別計算變數 $x$ 與 $y$ 之平均數、樣本標準差與變異係數：

1. 計算變數 $x$ 的變異係數 ($CV_x$)

• 總和與平均數： $\sum x = 4 + 6 + 10 + 3 + 15 + 9 = 47$ $\bar{x} = \frac{47}{6} \approx 7.833$
• 平方和： $\sum x^2 = 4^2 + 6^2 + 10^2 + 3^2 + 15^2 + 9^2 = 16 + 36 + 100 + 9 + 225 + 81 = 467$
• 樣本變異數與樣本標準差： $s_x^2 = \frac{467 - \frac{47^2}{6}}{6 - 1} = \frac{467 - \frac{2209}{6}}{5} = \frac{\frac{593}{6}}{5} = \frac{593}{30} \approx 19.767$ $s_x = \sqrt{19.767} \approx 4.446$
• 變異係數： $CV_x = \frac{s_x}{\bar{x}} = \frac{4.446}{7.833} \approx 0.5676 \rightarrow 57\%$

2. 計算變數 $y$ 的變異係數 ($CV_y$)

• 總和與平均數： $\sum y = 45 + 50 + 40 + 58 + 40 + 36 = 269$ $\bar{y} = \frac{269}{6} \approx 44.833$
• 平方和：

核心觀念

1. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）： 當母體有限（$N$ 個元素），其中包含特定特徵物件 $K$ 個，且抽取方式為「不放回抽樣（Sampling without replacement）」時，抽取 $n$ 個樣本中含有 $x$ 個該特徵物件的機率服從超幾何分配。其機率質量函數（PMF）為： $P(X = x) = \frac{\binom{K}{x} \binom{N - K}{n - x}}{\binom{N}{n}}$
2. 餘事象定理（互補機率原理）： 當題目要求「至少 1 個（$\ge 1$）」的機率時，正面計算需考慮 $X = 1, 2, 3$，計算較繁瑣；採用互補事件「$1 - P(\text{完全沒有})$」只需計算 $X = 0$ 的情況，可大幅精簡計算量： $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$

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解題方法

1. 定義變數與設定參數：

• 母體總燈泡數 $N = 50$
• 瑕疵品數 $K = 3$
• 正常品（良品）數 $N - K = 50 - 3 = 47$
• 抽取個數 $n = 4$
• 令隨機變數 $X$ 代表抽取之 4 個燈泡中的瑕疵品數，則 $X \sim \text{Hypergeometric}(N = 50, K = 3, n = 4)$。

2. 列式計算互補機率 $P(X = 0)$： 「4 個燈泡中皆無瑕疵品（4 個全為良品）」之機率，可用組合數或連續抽取機率表示： $P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \binom{47}{4}}{\binom{50}{4}} = \frac{47}{50} \times \frac{46}{49} \times \frac{45}{48} \times \frac{44}{47}$

3. 化簡與數值推導： 將式子首尾的 $47$ 相互約分： $P(X = 0) = \frac{46 \times 45 \times 44}{50 \times 49 \times 48}$ 分步進行約分化簡：

• $\frac{45}{50} = \frac{9}{10}$
• $\frac{44}{48} = \frac{11}{12}$

代回原式：

核心觀念

1. 統計量與隨機變數：從母體隨機抽樣所得到的樣本值具有隨機性，因此由樣本計算而得的函數（如樣本平均數 $\bar{X}$）本身即為一個「隨機變數」（Random Variable），其機率分佈稱為「抽樣分配」（Sampling Distribution）。
2. 樣本平均數的期望值（不偏性）：無論是「放回抽樣」（SRSWR）或「不放回抽樣」（SRSWOR），只要抽樣方式符合簡單隨機抽樣，樣本平均數的期望值恆等於母體平均數 $\mu$，即： $E(\bar{X}) = \mu$

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解題方法

步驟一：計算母體平均數 $\mu$ 母體共有 5 個數值 $S = \{1, 3, 5, 7, 9\}$，母體個數 $N = 5$： $\mu = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5$

步驟二：分析樣本平均數 $\bar{X}$ 之性質與期望值 從母體不放回隨機抽取 $n = 2$ 個數，不同的樣本組合會算出不同的平均值，故 $\bar{X}$ 具隨機性，是一個隨機變數。 根據不偏估計性質，樣本平均數的期望值必等於母體平均數： $E(\bar{X}) = \mu = 5$

步驟三：列出抽樣分配以進一步驗證各選項 不放回抽取 2 個數的所有可能樣本組合數為 $\binom{5}{2} = 10$ 種，每種樣本抽出的機率均為 $\frac{1}{10}$：

• 抽出 $\{1, 3\} \implies \bar{X} = 2$（1 種）
• 抽出 $\{1, 5\} \implies \bar{X} = 3$（1 種）
• 抽出 $\{1, 7\}, \{3, 5\} \implies \bar{X} = 4$（2 種）
• 抽出 $\{1, 9\}, \{3, 7\} \implies \bar{X} = 5$（2 種）
• 抽出 $\{3, 9\}, \{5, 7\} \implies \bar{X} = 6$（2 種）

核心觀念

本題考「指數分配」的存活機率。設顧客到達間隔時間為隨機變數 $T$，且

$$T\sim \operatorname{Exponential}(\lambda)$$

指數分配的平均數為

$$E(T)=\frac{1}{\lambda}$$

題目已知平均間隔時間為 $4$ 分鐘，因此

$$\frac{1}{\lambda}=4 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{4}$$

其中 $\lambda$ 為每分鐘的平均到達率。

解題方法

「2 分鐘內沒有顧客」表示下一位顧客的到達間隔時間超過 2 分鐘，即

$$P(T>2)$$

指數分配的累積分配函數為

$$P(T\leq t)=1-e^{-\lambda t}$$

因此，其存活機率為

$$P(T>t)=e^{-\lambda t}$$

代入 $\lambda=\frac14$ 與 $t=2$：

$$P(T>2) =e^{-\frac14(2)} =e^{-0.5} \approx 0.6065$$

四捨五入後約為 $0.607$，故選擇：

$$\boxed{\text{(C)}}$$

由於指數分配為連續型分配，$P(T>2)$ 與 $P(T\geq 2)$ 相同，不影響答案。

選項分析

核心觀念

本題評量離散型隨機變數之機率質量函數（PMF）性質與期望值運算，涉及兩大核心公式：

1. 機率總和公理：離散型隨機變數之所有可能取值機率和必等於 1，即 $\sum_{x} P(X=x) = 1$。
2. 期望值定義：離散型隨機變數 $X$ 的數學期望值為各取值與其對應機率乘積之總和，即 $E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X=x)$。

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解題方法

步驟一：利用機率總和為 1 求解未知常數 $a$

由題意知 $X$ 的可能取值為 $x = 1, 2, 3$，代入機率和公理：

$$\sum_{x=1}^{3} P(X=x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$$ $$a(1) + a(2) + a(3) = 6a = 1 \implies a = \frac{1}{6}$$

各點機率分別為：$P(X=1) = \frac{1}{6}$、$P(X=2) = \frac{2}{6}$、$P(X=3) = \frac{3}{6}$。

步驟二：計算期望值 $E(X)$

依期望值定義式展開計算：

$$E(X) = \sum_{x=1}^{3} x \cdot P(X=x) = 1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) + 2 \cdot \left(\frac{2}{6}\right) + 3 \cdot \left(\frac{3}{6}\right)$$ $$E(X) = \frac{1 + 4 + 9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33$$

核心觀念

本題測驗「常態分配的標準化」與「變異數與標準差的定義」：

1. 常態分配標準化（Standardization）：若隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則標準化變數 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
2. 標準常態分配反查臨界值：利用累積機率 $P(Z \le z) = \alpha$ 查表或利用對稱性求得對應的 $z$ 值。
3. 變異數（Variance）與標準差（Standard Deviation）之關係：變異數為標準差的平方，即 $\text{Var}(X) = \sigma^2$。

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解題方法

1. 建立模型與已知條件： 設家電用品的使用壽命為隨機變數 $X$，且 $X \sim N(\mu=4, \sigma^2)$。 保證期為 2 年，在保證期內損壞需退貨，故退貨機率為： $P(X \le 2) = 0.006$

2. 進行標準化求 $Z$ 分數： 將 $X$ 轉換為標準常態變數 $Z$： $P\left(Z \le \frac{2 - 4}{\sigma}\right) = 0.006 \implies P\left(Z \le \frac{-2}{\sigma}\right) = 0.006$

3. 反查標準常態分配表（Critical Value）： 由標準常態累積機率表可知，累積機率為 $0.006$ 之臨界值約為：

核心觀念

本題考查抽樣調查中常見的**機率抽樣（Probability Sampling）方法，核心在於辨析集群抽樣（Cluster Sampling，又稱部落抽樣）**與其他抽樣方法的本質差異。

1. 集群抽樣（Cluster Sampling）定義：

• 將母體依地理區域、行政區、班級或航班等自然界限，劃分為數個異質性較高、但群與群之間特徵相似的小群體（稱為「集群」或「部落」）。
• 抽樣時以「群」為抽樣單位進行隨機抽取（先隨機抽出數個群）。
• 若對抽中之集群內所有個體進行全面普查，稱為單段集群抽樣（Single-stage cluster sampling）；若在抽中的集群內再進行隨機抽樣，則為二段或多段集群抽樣。

2. 集群抽樣 vs. 分層抽樣（Stratified Sampling）對比：

• 分層抽樣：層層都要抽，每層抽部分（要求「層間異質、層內同質」）。
• 集群抽樣：只抽部分群，抽中整群查（要求「群間同質、群內異質」）。

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解題方法

判定本題抽樣方法的關鍵在於分析其「抽樣架構」與「抽樣程序」：

1. 界定集群（Cluster）： 母體為所有航班的乘客，研究者將母體劃分為不同的單位——「航班」。每個航班即為一個自然的「集群」。
2. 隨機抽取集群： 研究者「隨機抽取五航班」，此為第一階段以「群」為單位的機率抽樣。
3. 對抽中之群實施普查： 研究者「訪問（該五個航班內）所有的乘客」，即對被抽出的集群內部進行全面調查（普查）。

整體程序完全符合單段集群抽樣的操作定義，故本題應選集群抽樣。

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選項分析

核心觀念

本題考查兩組樣本「治癒比例之差」的估計。

設：

• 接受藥物組的治癒比例為 $\hat p_1$
• 接受糖錠組的治癒比例為 $\hat p_2$

兩組治癒比例差異的估計值為：

$$\hat p_1-\hat p_2$$

其中分母必須使用各組的總人數。

解題方法

接受藥物組共有：

$$60+20=80\text{ 人}$$

其治癒比例為：

$$\hat p_1=\frac{60}{80}=0.75$$

接受糖錠組共有：

$$30+50=80\text{ 人}$$

其治癒比例為：

$$\hat p_2=\frac{30}{80}=0.375$$

因此，兩組治癒比例差異的估計為：

$$\hat p_1-\hat p_2 =0.75-0.375 =0.375$$

也就是接受藥物組的治癒比例比接受糖錠組高 $0.375$，相當於高出 $37.5$ 個百分點。

選項分析

• (A) 0.25：錯誤。 此數值不是兩組治癒比例之差。藥物組未治癒比例為 $\frac{20}{80}=0.25$，但題目問的是治癒比例差異，不能直接以藥物組未治

核心觀念

本題測驗「單一母體比例（Population Proportion, $p$）之大樣本信賴區間估計」。

1. 大樣本常態近似條件： 當樣本數 $n$ 夠大，滿足 $n\hat{p} \ge 5$ 且 $n(1-\hat{p}) \ge 5$ 時，由中央極限定理（CLT），樣本比例 $\hat{p}$ 之抽樣分配近似於常態分配： $\hat{p} \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$
2. 信賴區間公式： 在 $1-\alpha$ 信賴水準下，母體比例 $p$ 之雙尾信賴區間公式為： $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 其中：

• $\hat{p} = \frac{x}{n}$ 為樣本比例（點估計值）。
• $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 為樣本比例之標準誤（Standard Error）。
• $z_{\alpha/2}$ 為標準常態分配臨界值；於 95% 信賴水準下，理論值 $z_{0.025} = 1.96$（公職初等考試常採用經驗法則近似值 $z \approx 2$ 進行速算）。

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解題方法

步驟一：計算樣本比例 $\hat{p}$ $n = 100, \quad x = 80 \implies \hat{p} = \frac{80}{100} = 0.80$ （檢驗條件：$n\hat{p} = 80 \ge 5$、$n(1-\hat{p}) = 20 \ge 5$，符合大樣本常態近似條件）。

步驟二：計算樣本比例之標準誤 $SE(\hat{p})$ $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.80 \times (1 - 0.80)}{100}} = \sqrt{\frac{0.16}{100}} = \sqrt{0.0016} = 0.04$

步驟三：計算誤差界限（Margin of Error, $ME$）

• 方法一（精確值 $z = 1.96$）： $ME = 1.96 \times 0.04 = 0.0784$
• 方法二（速算常用近似值 $z \approx 2$）： $ME = 2 \times 0.04 = 0.08$

核心觀念

本題評量樣本平均數（$\bar{X}$）之抽樣分配性質，涉及以下核心統計觀念與公式：

1. 不偏性（Unbiasedness）與抽樣分配之期望值： 無論是放回抽樣或不放回抽樣，樣本平均數 $\bar{X}$ 均為母體平均數 $\mu$ 的不偏估計量（Unbiased Estimator）。即： $E(\bar{X}) = \mu$ 樣本平均數的期望值完全取決於母體平均數 $\mu$，與抽取的樣本數大小（$n$）無關。

2. 樣本平均數的標準誤（Standard Error, $SE$）： 在母體個數為 $N$、母體標準差為 $\sigma$ 的有限母體中進行取後不放回抽樣（Simple Random Sampling Without Replacement, SRSWOR）時，樣本平均數的標準誤包含「有限母體校正係數」（Finite Population Correction, FPC）： $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}$ 標準誤的大小明顯受到樣本數 $n$ 的影響。

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解題方法

設母體平均數為 $\mu$、母體標準差為 $\sigma$、母體大小為 $N$。分別抽取樣本數 $n_1 = 30$ 與 $n_2 = 100$：

1. 期望值的比較： 根據數學期望值的線性性質，對於任意樣本數 $n$ 之簡單隨機抽樣（無論放回與否）： $E(\bar{X}_{30}) = \mu$ $E(\bar{X}_{100}) = \mu$ 兩者之抽樣分配期望值皆等於母體平均數 $\mu$，因此兩者期望值相同。

2. 標準誤的比較： 在取後不放回之條件下，兩者的標準誤分別為：

核心觀念

本題評量常態母體下單一母體標準差 $\sigma$（或母體變異數 $\sigma^2$）的區間估計與卡方分佈（Chi-square distribution）的應用。

1. 樞紐量（Pivotal Quantity）： 若母體服從常態分佈 $N(\mu, \sigma^2)$，自母體抽取容量為 $n$ 的隨機樣本，樣本變異數為 $S^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$，則統計量： $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$ 服從自由度為 $df = n - 1$ 的卡方分佈。

2. 母體變異數 $\sigma^2$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間： $P\left( \chi^2_{1-\alpha/2, n-1} \le \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \le \chi^2_{\alpha/2, n-1} \right) = 1 - \alpha$ 移項整理後可得： $\left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right]$ 其中 $\chi^2_{\alpha/2, n-1}$ 為右尾面積 $\alpha/2$ 的卡方臨界值，$\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$ 為右尾面積 $1-\alpha/2$（即左尾面積 $\alpha/2$）的卡方臨界值。

3. 母體標準差 $\sigma$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間： 將上述變異數信賴區間的上下界取正平方根即得： $\left[ \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}}, \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}} \right]$

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解題方法

步驟一：計算樣本平均數 $\bar{x}$

樣本數 $n = 6$，觀測值分別為 157、146、143、131、141、125： $\bar{x} = \frac{157 + 146 + 143 + 131 + 141 + 125}{6} = \frac{843}{6} = 140.5\text{ (mm)}$

步驟二：計算離均差平方和（$SS$）與樣本變異數 $s^2$

計算各觀測值與平均數的差及平方：

• $(157 - 140.5)^2 = (16.5)^2 = 272.25$
• $(146 - 140.5)^2 = (5.5)^2 = 30.25$
• $(143 - 140.5)^2 = (2.5)^2 = 6.25$
• $(131 - 140.5)^2 = (-9.5)^2 = 90.25$
• $(141 - 140.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$

核心觀念

本題考查二項分配與期望值。

每次抽球皆為「抽取放回」，因此每次抽球彼此獨立，且抽中紅球的機率固定為

$$P(\text{紅球})=\frac{4}{6+4}=\frac{4}{10}=0.4$$

共有 10 名員工，每名員工抽球一次。令 $X$ 表示抽出紅球的次數，則

$$X\sim \operatorname{Binomial}(n=10,p=0.4)$$

二項分配的期望值公式為

$$E(X)=np$$

解題方法

由於抽中紅球即發給一份 $20,000$ 元年終獎金，因此「發出多少份 $20,000$ 元獎金」正好等於抽中紅球的次數 $X$。

因此：

$$E(X)=np=10(0.4)=4$$

所以老闆平均要發出 $4$ 份 $20,000$ 元的年終獎金。

也可利用期望值的線性性理解：

$$E(X)=\sum_{i=1}^{10}E(X_i)$$

其中 $X_i$ 表示第 $i$ 名員工是否抽中紅球。每個 $X_i$ 的期望值為 $0.4$，故

$$E(X)=10\times 0.4=4$$

選項分析

核心觀念

1. 單一母體平均數之假設檢定（母體標準差 $\sigma$ 已知）： 當母體標準差 $\sigma$ 已知時，不論樣本數大小（此處假設母體為常態分配或依中央極限定理近似），應使用 $Z$ 檢定。
2. 單尾檢定（右尾檢定）之方向： 題目欲探討「新的促銷方法是否比現有的方法有效」，銷售量需顯著提升才代表有效，因此對立假說設定為大於，屬右尾檢定。
3. $p$ 值（$p$-value）的定義： 在虛無假說 $H_0$ 為真的前提下，檢定統計量出現「等於或比當前樣本觀察值更極端」的機率。

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解題方法

步驟一：建立假說

設 $\mu$ 為採用新促銷方法後的一週平均銷售件數。現有方法每週平均為 30 件（$\mu_0 = 30$），欲檢定新方法是否更有效（銷售件數增加）： $H_0: \mu \le 30 \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu > 30 \quad (\text{右尾檢定})$

步驟二：計算檢定統計量 $Z$

依題目給定條件：

• 樣本數 $n = 10$
• 樣本平均數 $\bar X = 32$
• 母體標準差 $\sigma = 4$

代入單一母體平均數的 $Z$ 統計量公式： $Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{32 - 30}{\frac{4}{\sqrt{10}}} = \frac{2}{\frac{4}{\sqrt{10}}} = \frac{2 \sqrt{10}}{4} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

因 $\sqrt{10} \approx 3.1623$，得： $Z \approx \frac{3.1623}{2} \approx 1.581$

步驟三：計算 $p$ 值

由於本題為右尾檢定，$p$ 值為標準常態隨機變數大於等於 1.58 的右尾累積機率： $p\text{-value} = P(Z \ge 1.581) = 1 - \Phi(1.581)$