112 初等考試五等 統計 統計學大意 考古題詳解

核心觀念

1. 樣本空間與樣本點： 隨機試驗中，所有可能出現的基本結果所構成的集合稱為「樣本空間（Sample Space）」，其中的每一個元素稱為「樣本點（Sample Point）」。若試驗記錄的是球上的「字母結果」，則樣本點即為可區分的字母組合。
2. 重複組合（Combinations with Repetition）： 本題自 5 種不同字母（A、B、C、D、E）各取球，因每種字母各有兩顆，任取兩顆時字母可以相同亦可相異。從 $n$ 種相異元素中允許重複選取 $k$ 個（且每類數量均足夠），其不計順序的組合數為： $H^n_k = C^{n+k-1}_k$

解題方法

本題要求自袋中任取兩顆球（不考慮順序）的「樣本點個數」。試驗所觀察的結果為兩顆球上的字母組合，解題切入點有兩種：

方法一：分類討論法（推薦，直觀易懂）

自袋中任取兩球，所得字母結果可分為「字母相同」與「字母相異」兩大互斥類別：

1. 兩球字母相同： 可能為 $\{A, A\}、\{B, B\}、\{C, C\}、\{D, D\}、\{E, E\}$，共有： $C^5_1 = 5 \text{ 種}$
2. 兩球字母相異： 自 5 種字母中任選 2 種相異字母組成，如 $\{A, B\}、\{A, C\}$ 等，共有： $C^5_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ 種}$

將兩類結果相加，樣本點總數為： $5 + 10 = 15 \text{ 個}$

方法二：重複組合法（快速公式）

設取得字母 A、B、C、D、E 的個數分別為 $x_A, x_B, x_C, x_D, x_E$。 本題相當於求非負整數解方程式： $x_A + x_B + x_C + x_D + x_E = 2$

核心觀念

本題考查不放回抽樣下，連續抽取兩張牌且兩張都符合指定條件的機率。52 張牌中有 4 張 A；因為抽牌後不放回，第二次抽牌的牌數與 A 的張數都會改變。

解題方法

按抽牌順序計算：第一次抽到 A 的機率為 $\frac{4}{52}$。第一次已抽到一張 A 後，牌堆剩下 51 張，其中有 3 張 A，因此第二次也抽到 A 的機率為 $\frac{3}{51}$。

也可以用組合數計算：從 4 張 A 中選 2 張，除以從 52 張牌中任選 2 張的方式數。

選項分析

核心觀念

本題考兩事件聯集的機率，以及獨立事件的定義。聯集公式為：

若 $A$ 與 $B$ 獨立，則：

解題方法

先由獨立性求兩事件同時發生的機率：

代入聯集公式：

相減是為了避免把同時屬於 $A$、$B$ 的部分重複計算。

選項分析

核心觀念

本題考「切比雪夫不等式」：對平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$ 的母體資料，至少有

比例的資料落在距離平均數 $k\sigma$ 以內的區間，其中 $k>1$。此不等式不要求資料服從特定分配。

解題方法

本題母體平均數 $\mu=30$，變異數 $\sigma^2=4$，因此標準差為 $\sigma=2$。區間 $(25,35)$ 以平均數 $30$ 為中心，兩端距離平均數都是 $5$，所以

套用切比雪夫不等式，至少落在此區間內的比例為

因此選項 (C) 正確。

選項分析

核心觀念

兩個隨機變數相加時，總薪資的變異數取決於各自的變異數與共變異數：

題目指出兩種薪資互相獨立，因此共變異數為 $0$，總變異數就是兩者變異數相加。標準差則是變異數的平方根。

解題方法

令每月上班薪資為 $X$，每月打工薪資為 $Y$，總薪資為 $T=X+Y$。由獨立性可得：

因此總薪資的標準差為：

核心觀念

右偏（正偏）分配的右側尾巴較長，少數偏大的分數會把平均數往右拉，因此典型順序為：

眾數是出現次數最多的分數，中位數是排序後位於中央的分數，平均數則是所有分數的算術平均。題目雖指出分數為整數，但整數性不改變右偏分配的典型位置關係。

解題方法

辨認偏態方向後，判斷尾端對平均數的影響。右偏分配的右尾包含較大的觀測值，這些值會拉高平均數，使平均數通常大於中位數；眾數位於分配的主要峰值，通常在中位數左側。因此由小到大排列為眾數、中位數、平均數。

選項分析

核心觀念

本題考資料整體平移後，位置量數與離散量數的變化。若每筆資料 $x_i$ 都加上常數 $c$，新資料為 $y_i=x_i+c$：

• 中位數會增加 $c$。
• 全距、變異數及標準差都不變，因為資料間的差距沒有改變。

解題方法

令原資料的最小值為 $x_{\min}$、最大值為 $x_{\max}$，中位數為 $M$。每筆資料加上 $10$ 後：

• 新中位數為 $M+10$，因此與原中位數不同。
• 新全距為 $(x_{\max}+10)-(x_{\min}+10)=x_{\max}-x_{\min}$，與原全距相同。
• 變異數以各資料與平均數的差計算。新平均數為 $\bar y=\bar x+10$，所以 $y_i-\bar y=(x_i+10)-(\bar x+10)=x_i-\bar x,$

核心觀念

莖葉圖中，莖代表十位數，葉代表個位數；將所有資料依大小排列後：

• 資料筆數為偶數時，中位數為第 $\frac{n}{2}$ 筆與第 $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ 筆資料的平均數。
• 資料筆數為奇數時，中位數為正中央的資料。

解題方法

各莖所含資料筆數如下：

共有 $28$ 筆資料，因此中位數是第 $14$ 筆與第 $15$ 筆資料的平均數。

依莖葉圖排列：

• 莖 $3$：$30,31,38$
• 莖 $4$：$45,46,48,49$
• 莖 $5$：$52,52,52,54,57$

截至莖 $5$ 共 $12$ 筆，所以第 $13$ 筆起進入莖 $6$：

因此：

核心觀念

常態分配的經驗法則指出，約有 $68\%$ 的觀測值落在平均數上下 $1$ 個標準差內，約有 $95\%$ 落在上下 $2$ 個標準差內，約有 $99.7\%$ 落在上下 $3$ 個標準差內。

本題平均數 $\mu=70$，標準差 $\sigma=10$。成績 $60$ 分是平均數下方 $1$ 個標準差；$90$ 分是平均數上方 $2$ 個標準差。

解題方法

將分數換算成標準差單位：

因此所求比例是標準常態分配中 $-1$ 到 $2$ 之間的面積。依經驗法則，從 $-1$ 到平均數 $0$ 約占 $34\%$；從 $0$ 到 $+1$ 約占 $34\%$，而從 $+1$ 到 $+2$ 約占 $13.5\%$。合計為

選項分析

核心觀念

兩顆公正骰子各有 $6$ 種點數，擲出結果可視為有序樣本 $(a,b)$。共有 $6\times6=36$ 種等可能結果。題目定義 $X=|a-b|$，要求兩骰點數差的絕對值恰為 $1$ 的機率。

解題方法

逐一列出符合 $|a-b|=1$ 的有序結果：

• 第一顆為 $1$ 點差：$(1,2)$
• 第一顆為 $2$ 點差：$(2,1),(2,3)$
• 第一顆為 $3$ 點差：$(3,2),(3,4)$
• 第一顆為 $4$ 點差：$(4,3),(4,5)$
• 第一顆為 $5$ 點差：$(5,4),(5,6)$
• 第一顆為 $6$ 點差：$(6,5)$

共有 $1+2+2+2+2+1=10$ 種符合結果，因此

選項分析

核心觀念

每位顧客中獎的機率為 $0.15$，未中獎的機率為 $1-0.15=0.85$。在各顧客是否中獎相互獨立的前提下，這題可用「反事件」計算：至少一人中獎的機率，等於 $1$ 減去 7 人都未中獎的機率。

解題方法

直接計算「至少一人中獎」要列舉中 1 人、中 2 人，直到中 7 人等情況；改算反事件則只需計算 7 人都未中獎：

選項分析

核心觀念

隨機抽取的是「學生」，因此班級被抽中的機率與班級人數成正比。若某班有 $n$ 名學生，該班被抽中的機率為 $n/1000$；此時隨機變數 $X$ 的值就是 $n$。

期望值使用離散型隨機變數公式：

解題方法

三種班級規模及其抽中機率如下：

• $25$ 人班共有 $16$ 班，共 $16\times25=400$ 名學生，故 $P(X=25)=400/1000$。
• $100$ 人班共有 $3$ 班，共 $3\times100=300$ 名學生，故 $P(X=100)=300/1000$。
• $300$ 人班共有 $1$ 班，共 $300$ 名學生，故 $P(X=300)=300/1000$。

代入期望值公式：

核心觀念

樣本平均數 $\bar X$ 的變異數取決於母體變異數與樣本數。若 $X_1,\ldots,X_n$ 為來自同一母體的獨立樣本，且母體變異數為 $\sigma^2$，則

本題先由機率密度函數求出母體變異數，再代入樣本數 $n=36$。

解題方法

題目給定

這是區間 $(0,2)$ 上的均勻分配。其母體平均數為

再計算二次動差：

因此母體變異數為

由於抽取 $36$ 個獨立樣本，

核心觀念

母體為常態分配時，樣本平均數 $\bar X$ 也服從常態分配，其平均數為母體平均數 $\mu$，標準差為標準誤 $\sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$。本題要計算樣本平均數落在指定區間的機率。

解題方法

已知 $\mu=400$、$\sigma=25$、樣本數 $n=25$，因此：

將區間端點標準化：

查標準常態分配表，$\Phi(1)=0.8413$，且 $\Phi(-1)=0.1587$，所以：

核心觀念

本題考查「機率抽樣」與「非機率抽樣」的區別。機率抽樣是指母體中每個抽樣單位被抽中的機率已知且大於零；非機率抽樣則未依隨機機制抽取，無法確定各單位的入樣機率。

解題方法

逐一辨認抽樣方式是否以隨機程序決定樣本。簡單隨機抽樣、分層抽樣與集群抽樣都可透過隨機抽選樣本或群體進行；便利抽樣則依研究者取得樣本的方便程度選取，並非機率抽樣。

選項分析

• (A) 簡單隨機抽樣：錯誤。 從母體中以隨機方式抽取，使每個單位具有已知且大於零的入樣機率，屬於機率抽樣。
• **(B) 便利抽樣：正確。

核心觀念

本題考查常態母體下樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配（Sampling Distribution）與點估計量（Point Estimator）的良好性質：

1. 不偏性（Unbiasedness）：若估計式 $\hat{\theta}$ 的期望值等於真實母數 $\theta$（即 $E(\hat{\theta}) = \theta$），則稱 $\hat{\theta}$ 為 $\theta$ 的不偏估計式。
2. 最大概似估計量（Maximum Likelihood Estimator, MLE）：使概似函數（Likelihood Function）或對數概似函數達到極大值之母數估計值。
3. 標準常態與卡方分配之關聯：

• 隨機樣本 $X_1, X_2, \ldots, X_n \overset{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$ 時，樣本平均數 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
• 將 $\bar{X}$ 標準化後可得 $Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
• 一個獨立標準常態隨機變數的平方服從自由度為 1 的卡方分配，即 $Z^2 = \frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$。
• 自由度為 $k$ 的卡方分配 $\chi^2(k)$，其期望值為 $k$、變異數為 $2k$。

解題方法

題目要求選出「錯誤」的敘述，解題切入點如下：

1. 檢驗估計式性質（選項 A、B）：

• 利用期望值的線性性質，驗算 $E(\bar{X})$ 是否等於 $\mu$。
• 建立常態母體的對數概似函數並對 $\mu$ 一階微分求極值，驗證 $\hat{\mu}_{MLE}$ 是否為 $\bar{X}$。

2. 推導二次型統計量的抽樣分配與動差（選項 C、D）：

• 將統計量改寫為標準化形式：

• 由於 $Z \sim N(0, 1)$，其平方服從自由度 1 的卡方分配 $\chi^2(1)$，理論上：

• 依官方公佈之正解 (C) 進行命題背景與爭議點分析。

選項分析

• (A) 正確： 由期望值的線性性質：

樣本平均數的期望值恰好等於母體平均數，故 $\bar{X}$ 為 $\mu$ 的不偏估計式。

• (B) 正確： 從常態母體抽出的隨機樣本，其概似函數為：

核心觀念

本題考查母體標準差 $\sigma$ 的點估計。以樣本標準差 $s$ 作為 $\sigma$ 的點估計時，分母使用 $n-1$：

解題方法

樣本為 $2,4,5,6,8,5$，樣本數 $n=6$。先計算樣本平均數：

各數值與平均數的離差平方和為：

核心觀念

母體平均數的信賴區間，其「寬度」是上限與下限的差，反映估計值的不確定程度。若母體標準差 $\sigma$ 已知，母體平均數 $\mu$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間為

其中 $\bar{x}$ 是樣本平均數，$n$ 是樣本大小，$z_{\alpha/2}$ 是標準常態分配右尾機率為 $\alpha/2$ 的臨界值。

解題方法

將區間上限減去下限：

核心觀念

母體成績服從常態分配，但母體標準差未知，因此以樣本標準差 $s$ 估計母體標準差，使用自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配，建構母體平均數 $\mu$ 的信賴區間：

本題信賴水準為 $95\%$，故 $\alpha=0.05$；樣本數 $n=25$，自由度為 $24$。

解題方法

已知 $\bar{x}=70$、$s=10$、$n=25$。查題目所附臨界值，使用 $t_{0.025,24}=2.064$。

標準誤為：

誤差範圍為：

因此，母體平均數的 $95\%$ 信賴區間為：

選項分析

核心觀念

本題考「估計母體比例所需的樣本數」。當信賴水準為 $95\%$ 時，常態臨界值為 $z_{0.025}=1.96$。若容許的估計誤差為 $E$，樣本數公式為

其中 $p$ 為預估支持率；若沒有預估比例，通常取 $p=0.5$，使所需樣本數最大。本題已有支持率的信賴區間，可用區間中點作為 $p$ 的估計值。

解題方法

原信賴區間為 $(0.22,0.28)$，中點為

題目要求估計誤差控制在正負 $3$ 個百分點內，因此 $E=0.03$。代入樣本數公式：

核心觀念

最大概似估計法（MLE）是選取參數 $\theta$，使觀察到的樣本資料之概似函數最大。若 $X_1,\ldots,X_n$ 為來自題示密度的獨立同分布樣本，則概似函數為

通常取對數得到對數概似函數，再對參數微分並令導數為零，求得候選估計值。

解題方法

代入題示機率密度：

取自然對數：

對 $\theta$ 微分並令其為零：

乘以 $\theta^2$ 後整理：

核心觀念

母體為常態分配且母體標準差 $\sigma$ 已知，因此檢定母體平均數使用單一母體平均數的 $Z$ 檢定。題目要檢定平均值是否大於 $7$，屬於右尾檢定：

右尾檢定的 $P$ 值，是在虛無假設成立時，取得「不小於觀察到的檢定統計量」的機率。

解題方法

先計算樣本平均數：

已知 $\sigma=4$、$n=9$，檢定統計量為：

因為是右尾檢定，故：

核心觀念

本題考查兩獨立常態母體平均數差之假設檢定（母體變異數未知但假設相等）。 當兩個獨立樣本來自常態分配母體，且滿足母體變異數相等（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$）但未知時，檢定統計量服從自由度為 $df = n_1 + n_2 - 2$ 的 $t$ 分配。

檢定時須先計算合併樣本變異數（Pooled Variance, $s_p^2$）： $s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

以其建立兩平均數差的檢定統計量： $t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$

解題方法

步驟一：整理題目已知條件

• 第一種方法：樣本數 $n_1 = 16$，樣本平均數 $\bar{x}_1 = 30$，樣本變異數 $s_1^2 = 5$
• 第二種方法：樣本數 $n_2 = 11$，樣本平均數 $\bar{x}_2 = 27$，樣本變異數 $s_2^2 = 4$
• 假設檢定之虛無假設為 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$（兩種組合方法之平均值相等）
• 前提條件：兩常態母體變異數相等（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$）

步驟二：計算合併樣本變異數 $s_p^2$

$s_p^2 = \frac{(16 - 1) \times 5 + (11 - 1) \times 4}{16 + 11 - 2} = \frac{15 \times 5 + 10 \times 4}{25} = \frac{75 + 40}{25} = \frac{115}{25} = 4.6$

步驟三：計算估計標準誤 $SE(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)$

$SE = \sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)} = \sqrt{4.6 \times \left(\frac{1}{16} + \frac{1}{11}\right)}$

通分計算括號內數值： $\frac{1}{16} + \frac{1}{11} = \frac{27}{176} \approx 0.153409$

因此：

核心觀念

本題檢定行政與業務兩部門的「滿意比例是否相同」，屬於兩母體比例差異檢定。

設：

• 行政部門滿意比例為 $p_1$
• 業務部門滿意比例為 $p_2$

假設為：

在虛無假設成立下，兩部門可使用合併比例（pooled proportion）估計共同滿意比例。

解題方法

行政部門樣本數：

業務部門樣本數：

兩部門的樣本滿意比例分別為：

合併滿意比例為：

因此，在 $H_0:p_1=p_2$ 下，比例差的標準誤為：

代入數值：

檢定統計量為：

核心觀念

這題考已知母體標準差時，估計母體平均數所需的樣本數。常態母體下，平均數的信賴區間誤差範圍為

其中 $E$ 是允許的誤差，$\sigma$ 是母體標準差，$z_{\alpha/2}$ 是標準常態分配的臨界值。反解可得所需樣本數：

樣本數須為整數，且要向上取整，才能確保誤差不超過指定範圍。

解題方法

95% 信賴水準為雙尾信賴區間，故 $\alpha=1-0.95=0.05$，查標準常態分配表得 $z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。

核心觀念

完全隨機設計（completely randomized design）的單因子變異數分析中，組內變異的自由度為各處理組樣本數減 1 後加總。若有 $k$ 種處理、第 $i$ 組有 $n_i$ 位受試者，則

其中 $N=\sum_{i=1}^{k}n_i$ 為總受試者數。組內變異也稱誤差變異，衡量各組受試者相對於各自組平均數的變動。

解題方法

本題有 $5$ 種處理，每種處理有 $7$ 位受試者，因此總受試者數為

組內自由度為

核心觀念

完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）的一因子變異數分析，將總平方和分解為組間平方和與組內平方和：

其中，$SS_E$ 是組內平方和；組內均方（Mean Squared Error, MSE）則為組內平方和除以組內自由度：

$N$ 為受試者總數，$k$ 為處理數。

解題方法

先由總平方和扣除組間平方和，求得組內平方和：

本題有 $N=45$ 位受試者、$k=5$ 種處理，因此組內自由度為：

代入 MSE 公式：

核心觀念

本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA）。完全隨機設計有 5 種處理，每種處理有 7 位受試者，因此總樣本數為 $N=5\times7=35$。檢定各處理平均數是否相同時，使用 $F$ 統計量：

其中，$SS_{\text{Within}}=SS_{\text{Total}}-SS_{\text{Between}}$。

解題方法

先求組內平方和：

組間自由度為處理數減 1：

組內自由度為總樣本數減處理數：

核心觀念

本題考驗皮爾森積差相關係數，用來衡量兩個數值變數之間線性關係的方向與強度。相關係數可由原始資料總和直接計算：

$r$ 的範圍為 $-1$ 至 $1$；正值表示正向線性關係，負值表示反向線性關係。

解題方法

題目給定 $n=30$ 及各項總和，直接代入公式：

核心觀念

本題考查相關係數、判定係數與迴歸整體 $F$ 檢定的意義。

• 皮爾森相關係數 $r$ 衡量兩變數的線性關聯程度；$r=0$ 代表沒有線性相關，不代表兩變數完全沒有任何關聯。
• 多元線性迴歸的判定係數 $R^2$ 衡量模型解釋反應變數變異的比例，且在含截距項的普通最小平方法模型中，增加解釋變數不會使樣本內 $R^2$ 下降。
• 整體 $F$ 檢定檢驗的是所有斜率係數是否同時為零，不是逐一檢驗每個解釋變數。

解題方法

逐項辨認敘述所使用的統計量代表什麼：相關係數只描述線性關聯；$R^2$ 的平方關係須看是否為單一解釋變數的簡單線性迴歸；整體 $F$ 檢定則判斷模型是否整體具有解釋力。

選項分析

• (A) 錯誤。 $r=0$ 表示兩變數之間沒有線性相關，不表示完全沒有關聯。例如 $Y=X^2$ 且 $X$ 分布對稱時，$X$ 與 $Y$ 的皮爾森相關係數可以為零，但 $Y$ 仍由 $X$ 決定。
• (B) 正確。 在同一資料集、含截距項的普通最小平方法迴歸中，加入解釋變數後，模型至少可以保留原本的擬合結果，因此殘差平方和不會增加。由