114 初等考試五等 統計 統計學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考「獨立」、「相關係數為零」與「共變異數為零」之間的關係。若 $X$、$Y$ 有有限的期望值與變異數，則

以及

其中 $\rho_{XY}$ 為相關係數。兩變數獨立時，共變異數為零，因此相關係數也為零（相關係數有定義時）；但共變異數為零不代表兩變數一定獨立。

解題方法

判斷各選項是否把單向推論誤當成雙向推論。對獨立的兩變數，$E(XY)=E(X)E(Y)$，代入共變異數公式即可得 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$；反向推論則不成立。

選項分析

(A) 正確。 若 $X$、$Y$ 互相獨立，則 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$；

核心觀念

本題考查抽樣方法的辨認。系統抽樣法是先依一定順序排列母體，再按照固定間隔抽取樣本；例如每隔 $k$ 個單位取一個樣本。

解題方法

題目說明從電話號碼簿中「每隔 1,000 名取一名」，抽樣間隔固定，因此符合系統抽樣法的定義。

選項分析

核心觀念

本題考查母體平均數 $\mu$ 的大樣本區間估計（信賴區間）與樣本統計量之計算：

1. 樣本平均數（Sample Mean）： $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$
2. 樣本變異數（Sample Variance）： $s^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\right)$
3. 大樣本常態近似（中央極限定理 CLT）： 當樣本數 $n = 50 \ge 30$ 時，屬於大樣本。母體變異數未知時，以樣本標準差 $s$ 取代，根據中央極限定理與 Slutsky 定理，樣本平均數的標準化變數近似服從標準常態分配 $Z$。
4. 母體平均數 $\mu$ 之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間公式： $\left[ \bar{x} - z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}, \; \bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}} \right]$ 其中 $95\%$ 信賴水準對應之臨界值為 $z_{0.025} = 1.96$。

解題方法

步驟一：計算樣本平均數 $\bar{x}$

由題目給定條件 $\sum_{i=1}^{50}x_i = 300$、$n = 50$： $\bar{x} = \frac{300}{50} = 6$

步驟二：計算離差平方和與樣本標準差 $s$

計算離均差平方和（$SS$）： $\sum_{i=1}^{50}(x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{50}x_i^2 - n\bar{x}^2 = 2842 - 50 \times 6^2 = 2842 - 1800 = 1042$

計算不偏樣本變異數 $s^2$ 與樣本標準差 $s$： $s^2 = \frac{1042}{50 - 1} = \frac{1042}{49} \approx 21.2653$ $s = \sqrt{21.2653} \approx 4.6114$

步驟三：計算估計式之標準誤（Standard Error, SE）

$\text{SE}(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4.6114}{\sqrt{50}} \approx \frac{4.6114}{7.0711} \approx 0.6522$

步驟四：建構 95% 信賴區間

大樣本下取臨界值 $z_{0.025} = 1.96$，計算誤差界限（Margin of Error, ME）：

核心觀念

本題考驗假設檢定中樣本數 $n$、型 I 誤差 $\alpha$ 與型 II 誤差 $\beta$ 的關係：

• 型 I 誤差 $\alpha$：虛無假設 $H_0$ 為真，卻錯誤拒絕 $H_0$ 的機率。
• 型 II 誤差 $\beta$：對特定的對立假設情況，$H_0$ 為假卻未拒絕 $H_0$ 的機率。
• 檢定力為 $1-\beta$，表示 $H_0$ 為假時正確拒絕 $H_0$ 的機率。

在樣本數固定時，若放寬拒絕 $H_0$ 的條件，通常會提高 $\alpha$，同時降低 $\beta$。若其他條件相同，增加樣本數則能提高檢定力、降低 $\beta$；若要維持相同的 $\beta$，通常可採用較嚴格的拒絕標準，亦即降低 $\alpha$。

解題方法

想像檢定的拒絕域往外擴大：更多樣本結果會落入拒絕域，因此 $H_0$ 為真時誤拒的機率 $\alpha$ 上升；但 $H_0$ 為假時未能拒絕的機率 $\beta$ 下降。故在 $n$ 不變時，$\alpha$ 與 $\beta$ 呈反向變動。

核心觀念

單因子變異數分析（ANOVA）的平方和與自由度滿足：

• 處理平方和 = 處理均方和 × 處理自由度，即 $a=28c$。
• 總平方和 = 處理平方和 + 誤差平方和，即 $a+b=272$。
• 總自由度 = 處理自由度 + 誤差自由度，即 $c+18=20$。
• 誤差均方和 $d=b/18$。

解題方法

先由自由度求出 $c$：

處理平方和為：

再由平方和分解求出 $b$：

因此誤差均方和：

故：

核心觀念

跨科目比較個人在班上的相對表現，須考慮各科的平均數與標準差。可用標準分數（$z$ 分數）表示某人成績高於平均數幾個標準差：

其中 $x$ 是個人成績，$\mu$ 是全班平均數，$\sigma$ 是全班標準差。$z$ 分數越高，代表相對於該科全班的表現越好。

解題方法

分別計算小明在數學與英文的 $z$ 分數：

數學：

英文：

核心觀念

連續型隨機變數 $X$ 的機率密度函數 $f(x)$ 必須滿足：

區間機率由密度函數在該區間下的面積表示：

密度函數的函數值不必小於或等於 $1$；只要非負且全體積分為 $1$ 即可。

解題方法

逐一比對選項與連續型機率密度函數的定義。密度函數在每一點都不可為負，因此可直接判斷 (A) 正確。其餘選項分別混淆了密度與機率、連續型與離散型，或將密度函數限制為沒有意義的範圍。

選項分析

• (A) $f(x)\geq 0$：正確。 機率密度函數必須非負。若某處密度為負，該處附近的積分就可能得到負值，與機率不得為負矛盾。

核心觀念

本題考驗母體瑕疵率 $p$ 的 95% 信賴區間。抽樣中瑕疵品比例為 $\hat p=x/n$；當樣本數足夠時，可用常態近似建立比例的信賴區間：

其中 $z_{0.975}=1.96$，表示標準常態分配中央 95% 的區間。

解題方法

樣本數 $n=100$，瑕疵品數 $x=10$，所以樣本瑕疵率為

標準誤為

95% 信賴區間的誤差範圍為

因此，

批量共有 50,000 件，但本題採用常見的比例常態近似公式；題目選項也依此計算。

核心觀念

這題考左尾檢定的顯著水準與拒絕域臨界點之關係。由於對立假設為 $H_1:\mu<\mu_0$，檢定統計量愈小，愈支持拒絕虛無假設，因此拒絕域位於分配的左尾。

顯著水準 $\alpha$ 是在 $H_0$ 為真時，拒絕 $H_0$ 的機率。降低 $\alpha$，代表拒絕域必須縮小。

解題方法

設檢定統計量為 $T$，其在虛無假設邊界下的分配函數為 $F$。左尾檢定的臨界點 $A$ 滿足：

當顯著水準從 $0.05$ 降為 $0.001$ 時，左尾累積機率變小。由於分配函數遞增，較小的左尾機率對應較小的分位數，因此：

核心觀念

這題考單因子變異數分析（one-way ANOVA）的 $F$ 統計量及其自由度。當虛無假設成立，也就是三款車的平均耗油量相同時，組間均方與組內均方的比值服從 $F$ 分配：

其中 $k$ 是組數，$N$ 是全部觀測值的總數。$F$ 分配的第一個自由度來自組間，第二個自由度來自組內。

解題方法

共有三種品牌，每種品牌測試 5 部車，因此

組間自由度為

組內自由度為

所以 ANOVA 統計量在虛無假設成立下服從

核心觀念

迴歸線一定通過兩變數的平均數點 $(\bar X,\bar Y)$。因此，已知 $Y$ 對 $X$ 的迴歸線與 $\bar Y$，可將 $\bar Y$ 代入迴歸方程式，求出 $\bar X$。題目最後詢問「$X$ 的值」，依選項與已知資料，所求為 $X$ 的平均數 $\bar X$。

解題方法

已知迴歸線為

迴歸線通過 $(\bar X,\bar Y)$，故令 $X=\bar X$、$\hat Y=\bar Y=512$：

移項並求解：

所以 $X$ 的平均數為 $515$。

選項分析

核心觀念

本題考兩變數的皮爾森相關係數，以及簡單線性迴歸斜率與相關係數的關係。承上題資料，迴歸直線斜率為 $b_{Y\mid X}=0.72$，$X$ 的標準差為 $100$，$Y$ 的標準差為 $98$。

迴歸斜率與相關係數的公式為：

因此：

解題方法

將承上題的斜率與標準差代入：

核心觀念

常態分配具有對稱性，可將隨機變數標準化為標準常態變數：

標準化後，距離平均數 $3$ 個標準差的機率為標準常態曲線在 $-3$ 到 $3$ 之間的面積。

解題方法

因為 $\sigma>0$，所以

因此，

利用標準常態分配的對稱性，$\Phi(-3)=1-\Phi(3)$；查表得 $\Phi(3)\approx 0.99865$，故

核心觀念

聯合機率密度函數在其定義區域上的總積分必須等於 $1$。本題的密度在區域內為常數 $k$，因此可用「常數密度 × 區域面積 = 1」求出 $k$。

解題方法

定義區域為 $0<x<1$ 且 $x<y<1$。對每個固定的 $x$，$y$ 從 $x$ 到 $1$，所以正規化條件為

先對 $y$ 積分，再對 $x$ 積分：

因此 $k=2$。

選項分析

核心觀念

本題考常態分配 $N(\mu,\sigma^2)$ 的基本性質。其機率密度曲線以 $\mu$ 為中心對稱，總面積為 $1$；平均數、中位數與眾數皆為 $\mu$。曲線的反曲點則位於 $\mu-\sigma$ 與 $\mu+\sigma$，不是 $\mu\pm3\sigma$。

解題方法

常態分配的密度函數為

反曲點可由二階導數判定。令 $z=(x-\mu)/\sigma$，則二階導數的正負由 $z^2-1$ 決定；令其為零，得 $z=\pm1$，所以反曲點在 $x=\mu\pm\sigma$。

核心觀念

本題考查點估計量的良導性質（Goodness Criteria of Estimators），特別是**充分性（Sufficiency）**之定義、特性及其與其他估計量（MVUE、MLE）的關聯：

1. 估計量性質的分類（小樣本 vs. 大樣本）：

• 小樣本性質（有限樣本性質）：在任何固定樣本數 $n$ 下均有定義，不依賴 $n \to \infty$。包含不偏性（Unbiasedness）、有效性（Efficiency）、充分性（Sufficiency）與完全性（Completeness）。
• 大樣本性質（漸近性質）：涉及極限概念，本質上取決於樣本大小 $n \to \infty$。包含一致性（Consistency）、漸近不偏性與漸近有效性。

2. 充分統計量的定義與分解定理： 若統計量 $T(\mathbf{X})$ 給定時，樣本的條件機率分配與未知母數 $\theta$ 無關，則稱 $T$ 為 $\theta$ 的充分統計量。根據費雪－奈曼分解定理（Fisher-Neyman Factorization Theorem），樣本聯合機率密度函數（概似函數）可分解為： $L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})$ 這代表 $T(\mathbf{X})$ 已經完全涵蓋了樣本中關於母數 $\theta$ 的全部訊息。
3. Rao-Blackwell 定理與 Lehmann-Scheffé 定理： 任何不偏估計量對充分統計量取條件期望值後，變異數不會增加；若充分統計量具備完全性，則其不偏函數即為唯一的最小變異不偏估計量（MVUE）。
4. 最大概似估計量（MLE）與充分性： 由分解定理可知，極大化概似函數只須針對 $g(T(\mathbf{x}), \theta)$ 進行，故 MLE 必為充分統計量的函數，且在一般常見分配下亦具充分性。

解題方法

題目要求選出「敘述錯誤」的選項。

解題切入點在於區分「結構性資訊保留性質（小樣本）」與「極限漸近性質（大樣本）」：

• 充分性著眼於統計量能否完整提煉樣本中的母數資訊，其定義是針對給定樣本下條件分配的無關性，屬於有限樣本（小樣本）性質，其成立與否不取決於樣本大小 $n$ 之多寡（與樣本大小 $n$ 有關的是隨 $n$ 增大而收斂的大樣本性質，如一致性）。
• 因此，選項 (A)「充分性與樣本大小有關」敘述錯誤，即為本題正解。

選項分析

• (A) 錯誤（本題應選）： 充分性是描述統計量能否完整保留樣本資訊的本質屬性。只要滿足充分統計量的定義，無論抽取的樣本數 $n$ 是大是小，給定該統計量後的條件分配皆與母數 $\theta$ 無關。因此充分性是固定樣本大小下的有限樣本（小樣本）性質，與樣本大小無關。

核心觀念

這題考已知母體標準差時，單尾 $Z$ 檢定的樣本數規劃。顯著水準 $\alpha$ 決定拒絕域；型 II 誤差率 $\beta$ 則是在指定的對立假設真值 $\mu_1=2.9$ 下，未能拒絕虛無假設的機率。

由於檢定為左尾檢定，$\alpha=0.01$ 對應標準常態分配的臨界值 $z_{0.01}=-2.326$；$\beta=0.2$ 對應 $z_{0.2}=-0.842$。

解題方法

以虛無假設邊界 $\mu_0=3$ 設定臨界樣本平均數 $\bar X_c$。當 $\bar X<\bar X_c$ 時拒絕 $H_0$。在 $\mu=3$ 下要求第一類誤差率為 $\alpha$：

在 $\mu_1=2.9$ 下，型 II 誤差是未落入拒絕域的機率：

因此臨界值在 $\mu=2.9$ 的抽樣分配中是第 $0.2$ 分位數：

令兩式相等：

核心觀念

本題考未重複二因子實驗設計的變異數分析（ANOVA）。每個 $A$、$B$ 水準組合只有一筆觀測值，因此模型包含 $A$、$B$ 的主效果與誤差項，無法另外估計交互作用。

平衡設計下，平方和可分解為

自由度也相加：

其中 $SSE$ 的自由度為 $ab-a-b+1=(a-1)(b-1)$。均方則是各平方和分別除以其自由度，並不相加。

解題方法

先判斷題目中的等式是平方和還是均方。平方和依變異來源分解，總平方和等於各來源平方和之和；均方是平方和除以自由度，不能直接套用相同的加總關係。據此檢查四個選項。

選項分析

(A) 正確。 未重複二因子模型可寫為

其中 $\mu$ 為總平均，$\tau_i$ 與 $\beta_j$ 分別表示 $A$、$B$ 因子的效果，$\epsilon_{ij}$ 為誤差。

核心觀念

簡單迴歸模型通常寫成

其中 $\beta_0$ 是截距、$\beta_1$ 是斜率，$\epsilon_i$ 是誤差項。若要對 $\beta_0$、$\beta_1$ 進行常態分配下的推論，通常假設誤差項彼此獨立且同分配，並服從平均數為 $0$、變異數為 $\sigma^2$ 的常態分配：

平均數為 $0$ 表示迴歸線已涵蓋系統性的平均關係；共同變異數 $\sigma^2$ 則表示誤差具有相同變異數。

解題方法

辨認簡單迴歸推論的誤差項假設，檢查三項條件：誤差平均數為 $0$、變異數為共同但未知的 $\sigma^2$、各誤差項獨立且同分配。符合這些條件的選項即為答案。$\sigma^2$ 通常未知，會由資料估計，因此不必限定為 $1$。

選項分析

核心觀念

標準常態分配具有以平均數 $0$ 為中心的對稱性，因此 $P(X\le -1.38)=P(X\ge 1.38)$。題目要求的是兩側尾端機率：

解題方法

已知 $P(X\le 1.38)=0.9162$，所以右尾機率為

由標準常態分配的對稱性，左尾機率也為 $0.0838$。因此

核心觀念

本題考「貝氏定理」：已知球隊贏球，反求球員得分達 30 分以上的條件機率。條件機率公式為

其中 $A$ 表示甲得分 30 分（含）以上，$W$ 表示 A 球隊贏球。

解題方法

已知：

先用全機率公式求球隊贏球的機率：

再用貝氏定理：

核心觀念

這題考單一母體比例的右尾檢定。令 $p$ 為支持該政策的母體比例，題目的虛無假說是 $H_0:p\leq 0.5$，因此對立假說為 $H_1:p>0.5$。顯著水準 $\alpha=0.05$，表示在虛無假說成立時，錯誤拒絕它的機率至多為 $5\%$。

樣本數 $n=1{,}024$，在虛無假說邊界 $p_0=0.5$ 下，樣本支持比例 $\hat p=X/n$ 可用常態近似檢定：

其中 $X$ 是樣本中支持政策的人數。

解題方法

這是右尾檢定，顯著水準為 $0.05$，標準常態分配的臨界值為 $z_{0.95}\approx1.645$。因此拒絕虛無假說的條件是：

標準誤為：

所以臨界樣本比例為：

核心觀念

每分鐘車輛數 $X$ 服從平均數為 $1$ 的卜瓦松分布，表示每分鐘平均有 $1$ 輛車通過。若觀察時間延長至 $t$ 分鐘，且車輛通過率固定，則這段時間的車輛數仍服從卜瓦松分布，平均數為 $1\times t$。

卜瓦松分布中，平均數為 $\lambda$ 時，事件發生 $k$ 次的機率為

解題方法

8:00 AM 到 8:02 AM 共 $2$ 分鐘，因此這段時間內車輛數的卜瓦松平均數為

「都沒車經過」表示這 $2$ 分鐘內通過車輛數為 $0$，代入卜瓦松機率公式：

核心觀念

調和平均適用於「總量固定、平均速率或單位量所需時間」的情況。若各路段長度相同，行駛各路段的平均速率應以調和平均計算：

其中 $x_i$ 為各路段的速率，$n$ 為路段數。

解題方法

平均速率的定義是「總路程 ÷ 總時間」。三個路段各長 $10$ 公里，總路程固定為 $30$ 公里；若三段時速分別為 $v_1,v_2,v_3$，總時間為：

因此平均時速為：

核心觀念

這題考「幾何分配」的期望值。每次生育都可視為一次成功機率為 $p=\frac12$ 的獨立試驗；生到男孩即停止，生女孩則繼續。所求是首次生到男孩所需的生育次數平均值。

解題方法

令 $X$ 為一對夫婦生育的子女數。若第一胎就是男孩，則 $X=1$；若先連生一名女孩再生男孩，則 $X=2$，依此類推。因此：

這是成功機率 $p=\frac12$ 的幾何分配，其期望值為：

核心觀念

本題考查分布圖中位置與離散程度的判讀：

• 第一四分位數 $Q_1$：資料由小到大排列後，位於第 $25\%$ 位置的數值。
• 全距： $R=\text{最大值}-\text{最小值}$
• 標準差 $\sigma$：衡量資料分布的絕對離散程度。
• 變異係數： $CV=\frac{\sigma}{\mu}$ 用來衡量相對離散程度。薪資皆為正值時，平均數越小且標準差越大，變異係數通常越大。

解題方法

由圖形觀察：

1. 甲的分布整體位於乙的左側，因此甲的薪資位置較低，故甲的第一四分位數小於乙。
2. 甲的曲線左右延伸範圍較廣，乙的分布較集中，因此甲的全距與標準差較大。
3. 甲的平均薪資低於乙，但標準差又大於乙，因此甲的相對離散程度，即變異係數，也較大。

選項分析

(A) 甲的第一四分位數比乙的第一四分位數大

錯誤。第一四分位數代表分布左側約 $25\%$ 的位置。圖中甲整體較偏左，所以：

核心觀念

本題考的是條件機率。已知「兩粒骰子的點數相異」，要計算在這個條件下點數和為奇數的機率：

擲兩粒骰子時，以有順序的有序對 $(i,j)$ 表示結果，例如 $(2,5)$ 與 $(5,2)$ 是不同結果。

解題方法

兩粒骰子的點數相異時，全部可能結果有 $6\times 6=36$ 種，扣除點數相同的 $(1,1),\ldots,(6,6)$ 共 $6$ 種，因此符合條件的結果有

兩數相加為奇數，必須一奇一偶。骰子上有 $3$ 個奇數點數（$1,3,5$）及 $3$ 個偶數點數（$2,4,6$），一奇一偶的有序結果共有

核心觀念

無母數統計不需對母體分配形式作嚴格假設，常用於資料尺度較低、樣本數較小，或母體分配不明的情況。相較之下，有母數方法通常需假設特定母體分配，並利用母體參數進行推論。

無母數方法的常見優點包括：對分配假設要求較少、可處理非數量或等級資料，以及部分方法計算較簡便。不過，當有母數方法的假設成立時，無母數方法的推論效率通常不會高於有母數方法。

解題方法

逐項比對無母數統計的典型優點，找出錯把限制或特性說成優點的敘述。關鍵在於「推論效率」：在模型假設適當且成立時，有母數方法通常能更有效地利用資料，因此效率較高。

選項分析

• (A) 計算方法簡單：正確，屬於常見優點。 許多無母數方法以符號、次數或秩次進行分析，計算程序相對直觀。

核心觀念

這題考查雙尾檢定與信賴區間的對應關係。對顯著水準 $\alpha=0.05$ 的雙尾檢定 $H_0:\mu=0$ 對 $H_1:\mu\neq 0$，使用相同模型與推論方法時，檢定結果與 $95\%$ 信賴區間是否包含假設值 $0$ 相對應：

• $95\%$ 信賴區間不包含 $0$：拒絕 $H_0$。
• $95\%$ 信賴區間包含 $0$：不拒絕 $H_0$。

解題方法

依照上述對應關係，先判斷各選項是否正確描述「信賴區間是否包含 $0$」與「是否拒絕 $H_0$」的關係。再檢查選項 (D) 對信賴區間涵蓋機率的敘述：在 $H_0$ 為真、也就是 $\mu=0$ 時，$95\%$ 信賴區間未包含真值 $0$ 的機率為 $1-0.95=0.05$。

選項分析

核心觀念

本題考驗兩個獨立母體比例差的假設檢定。虛無假設為兩性網購比例相同，故標準化檢定統計量使用合併比例估計共同母體比例：

檢定統計量為

解題方法

男性樣本比例為

女性樣本比例為

在虛無假設下合併估計比例：

因此標準誤為