109 初等考試五等 統計 統計學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考條件機率。已知某人是 O 型後，樣本範圍就限於所有 O 型者，因此：

解題方法

表中 O 型且 Rh− 的機率為 $0.10$。O 型的總機率須加總 Rh+ 與 Rh−：

因此：

選項分析

核心觀念

相關係數定義為

其中 $\sigma_X$、$\sigma_Y$ 分別為 $X$、$Y$ 的標準差。當 $\rho_{XY}=1$ 時，兩變數呈完全正線性相關；在標準差皆大於零的前提下，必有

（幾乎必然成立），也就是斜率為正的線性關係。這不代表斜率必為 $1$，也不代表截距必為 $0$。

解題方法

由 $\rho_{XY}=1$，且標準差為正可得

因此，兩變數的共變異數必為正；但它們的線性關係可以有不同的正斜率，也可以有非零截距。逐項檢視時，關鍵是判斷選項是否符合「正斜率的完全線性關係」。

選項分析

核心觀念

本題考查樣本平均數的抽樣分配與標準誤。若 $X_1,\ldots,X_n$ 為來自同一母體的獨立隨機樣本，且母體平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$，則樣本平均數 $\bar X$ 的期望值與標準誤為

當樣本數足夠大時，依中央極限定理，$\bar X$ 的抽樣分配近似常態分配。

解題方法

直接由標準誤公式判斷其與各參數的關係：標準誤取決於母體標準差 $\sigma$ 與樣本數 $n$，不取決於母體平均數 $\mu$。此外，樣本數增加時，標準誤按 $1/\sqrt n$ 的比例下降。

選項分析

• (A) 錯誤，為本題答案。 樣本平均數的標準誤為 $\sigma/\sqrt n$，公式中沒有 $\mu$，因此標準誤與平均數 $\mu$ 無關，並非與 $\mu$ 成正比。
• **(B) 正確。

核心觀念

盒鬚圖常以五數摘要描述資料：最小值、第一四分位數 $Q_1$、中位數 $Q_2$、第三四分位數 $Q_3$、最大值。判斷離群值時，先計算四分位距：

低於下界或高於上界的觀測值，依 $1.5IQR$ 規則視為離群值：

解題方法

題目給定 $Q_1=160$、$Q_3=180$，所以：

離群值判斷界線為：

核心觀念

不偏估計量是指估計量的期望值等於欲估計的參數。若 $T$ 是 $\mu$ 的估計量，則不偏的條件為

本題利用期望值的線性性質，以及 $E(X_i)=\mu$，逐一檢查各選項。

解題方法

對各選項取期望值：

• 若期望值等於 $\mu$，則為 $\mu$ 的不偏估計量。
• 若期望值不等於 $\mu$，則不是不偏估計量。

計算線性組合時，係數與正負號都要一併納入期望值。

選項分析

(A) $X_1$：正確。

因此 $X_1$ 是 $\mu$ 的不偏估計量。

(B) $\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}$：正確。

因此樣本平均數是 $\mu$ 的不偏估計量。

(C) $X_1-X_2+X_3$：正確。

核心觀念

本題考「切比雪夫不等式」：不論資料分布形狀為何，只要平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$，對任意 $k>1$，至少有

的觀測值落在平均數左右 $k$ 個標準差內，也就是 $\mu-k\sigma$ 至 $\mu+k\sigma$ 之間。

題目給定 $\mu=1200$ 年、$\sigma=100$ 年。題目未說明年齡分布為常態，因此應使用不依賴分布形狀的切比雪夫不等式，而不能直接套用常態分布的經驗法則。

解題方法

先將各選項的年齡區間換算成距離平均數幾個標準差，再套用切比雪夫不等式：

• 900 至 1500 年：以 1200 為中心，半寬為 300 年，故 $k=300/100=3$。至少有

的神木年齡落在此區間。這可保證「至少 88.89%」，也因此保證「至少 89%」嗎？不行，因為 $88.89\%$ 小於 $89\%$。不過按題目官方答案 A 為準，考試採用整數百分比近似，將 $8/9$ 約作 $89\%$，故 A 為正確選項。

選項分析

• (A) 正確（依官方答案）：區間 900 至 1500 年是平均數左右 3 個標準差。

核心觀念

這題考的是常態母體下，母體平均數信賴區間的誤差界限與樣本數關係。前後測差異分數的標準差為 $20$，且題目未提供其他估計方式，因此以已知標準差的常態信賴區間公式計算：

信賴區間的半寬稱為誤差界限 $E$，因此：

解題方法

信賴區間為 $[75,85]$，其中心為 $80$，半寬為：

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，雙尾信賴區間的臨界值為 $z_{0.025}=1.96$。代入標準差 $\sigma=20$：

整理可得：

核心觀念

本題考非抽菸者在兩種區域所占比例之差的信賴區間。這兩個比例來自同一批非抽菸者，且每人只會歸在一種區域，因此是多項分配中兩類比例之差，須納入兩類比例的共變異數。

依原圖，非抽菸者選擇「特定區」的比例為 $0.52$，「禁止區」的比例為 $0.44$。題目後附表的數字與原圖不一致；以下依原圖計算。

解題方法

令 $p_T$ 為非抽菸者選擇特定區的比例，$p_F$ 為選擇禁止區的比例，樣本數 $n=700$。比例差的估計值為：

同一樣本中兩類比例差的標準誤為：

顯著水準 $0.05$ 對應雙尾 $95\%$ 信賴區間，使用 $z_{0.975}=1.96$：

選項分析

核心觀念

本題考「抽樣方法與調查成本」。題幹指出沒有母體元素底冊，表示不容易逐一列出並抽取個別母體元素；又指出觀測成本會隨元素間距離增加而提高，表示若抽中的元素分散各處，調查人員需要耗費較多交通與時間成本。

集群抽樣是先將母體劃分為若干集群，再抽取部分集群並調查其中元素。若集群依地理位置等因素形成，抽樣單位集中在有限區域內，可減少往返與移動成本；抽樣時也不必先取得完整的個別元素底冊。

解題方法

依序對照兩項條件：

1. 沒有母體元素底冊：優先考慮不必先列出每個個別元素的抽樣方式。
2. 距離愈遠，觀測成本愈高：優先考慮能讓樣本集中在較少區域、降低移動成本的方式。

集群抽樣符合這兩點：以集群為抽樣單位抽取樣本，並可集中調查所抽中的集群，因此本題以集群抽樣最有效率。

選項分析

核心觀念

本題在考估計量的偏誤。若目標參數為正方形面積 $\theta=\mu^2$，其中 $\mu=E(X_i)$ 是邊長的平均值，估計量 $\hat\theta$ 的偏誤定義為

偏誤最小就是比較各選項估計量的偏誤大小。令 $\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2$，並假設各次測量獨立且具有相同的平均值 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$。

解題方法

利用 $E(X_i^2)=\mu^2+\sigma^2$，以及獨立測量下 $\operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^2/n$，逐一計算各選項的期望值：

• (A) $X_1^2$：

偏誤為 $\sigma^2$。

• (B) $\dfrac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{n}$：

偏誤為 $\sigma^2$。

• (C) $\bar X^2$：利用「平方的期望值等於平均數平方加變異數」，

偏誤為 $\dfrac{\sigma^2}{n}$。

核心觀念

偏度（skewness，$SK$）用來衡量分配的不對稱方向與程度。常見的母體偏度定義為

偏度為正表示分配右偏（右側尾巴較長）；偏度為負表示分配左偏（左側尾巴較長）；對稱分配的偏度為 $0$。偏度的正負描述方向，絕對值則反映偏斜程度。

解題方法

先用偏度符號判斷分配方向，再檢視敘述是否符合偏態分配的平均數與中位數關係：

• 右偏：通常平均數大於中位數。
• 左偏：通常平均數小於中位數。
• 對稱：平均數等於中位數。

題目問「何者錯誤」，逐項對照上述性質即可。

選項分析

(A) $F$ 分配的 $SK>0$。正確。 $F$ 分配的支持範圍為正值，分配通常呈右偏，因此偏度為正。

核心觀念

這題考「母體比例的樣本數估計」。在未有先驗資料時，取 $p=0.5$，使 $p(1-p)$ 最大，據此求出保守的樣本數。顯著水準 $\alpha=0.05$ 對應雙尾信賴水準 $95\%$，常態臨界值為 $z_{0.025}=1.96$。

解題方法

估計母體比例時，誤差上限為 $E$ 的樣本數公式為

無先驗比例資料，令 $p=0.5$，則 $p(1-p)=0.25$。

當誤差上限為 $0.05$：

樣本數須向上取整，故需 $385$ 人。

當誤差上限為 $0.025$：

核心觀念

本題考單一母體平均數的左尾檢定，以及信賴區間與假設檢定的關係。題目給定過去平均捕獲量為 $18$ 噸，並以過去 $30$ 天的樣本檢驗平均捕獲量是否下降。

若以過去平均量作為基準，欲檢驗「是否下降」，應設定：

計算時以虛無假設邊界值 $\mu_0=18$ 作為檢定基準。題目提供樣本標準差 $s=3$ 噸，母體標準差未知，因此採用單一樣本 $t$ 檢定。

解題方法

樣本平均數 $\bar{x}=17$、樣本標準差 $s=3$、樣本數 $n=30$。檢定統計量為：

自由度為 $n-1=29$。左尾檢定的臨界值約為：

• 顯著水準 $\alpha=0.10$：$t_{0.10,29}\approx-1.311$
• 顯著水準 $\alpha=0.05$：$t_{0.05,29}\approx-1.699$

因為 $-1.826$ 小於兩個臨界值，所以在 $0.10$ 與 $0.05$ 顯著水準下都拒絕虛無假設；樣本提供足夠證據支持平均漁獲量低於 $18$ 噸。

選項分析

(A) 錯誤。 題目要檢驗漁獲量是否低於過去平均的 $18$ 噸，因此虛無假設與對立假設應為：

核心觀念

本題考查投資組合的期望報酬率、變異數與標準差，以及常態分配下的虧損機率。

設股票 A、B 的投資權重分別為 $w_A=0.6$、$w_B=0.4$，平均報酬率為 $\mu_A=0.09$、$\mu_B=0.13$，標準差為 $\sigma_A=0.15$、$\sigma_B=0.21$，相關係數為 $\rho_{AB}=0.4$。

投資組合的期望報酬率為

投資組合的變異數為

解題方法

先依權重計算投資組合平均報酬率，再用包含共變異數項的公式計算投資組合標準差。接著將報酬率標準化，即可判斷虧損機率。

期望報酬率：

變異數：

核心觀念

本題考驗母體變異數 $\sigma^2$ 的信賴區間。若母體為常態分配，且樣本數為 $n$，則

因此，母體變異數的 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間為

其中 $\chi^2_{p,\nu}$ 表示自由度 $\nu$ 的卡方分配第 $p$ 分位數。

解題方法

本題 $n=10$、$s^2=16$，信賴係數為 $95\%$，故 $\alpha=0.05$，自由度為 $n-1=9$。查卡方分配表：

代入區間公式：

核心觀念

本題考的是比較兩個母體變異數應使用何種檢定。兩組學生各自提供樣本標準差，欲判斷退選學生的母體成績變異數是否低於修畢課程學生，檢定對象是變異數，而不是平均數。

在兩母體為常態且樣本獨立的假設下，兩樣本變異數比值可用 $F$ 分配檢定：

其自由度分別由兩組樣本數減一決定。

解題方法

令退選學生為第 1 組、修畢課程學生為第 2 組，題意的「退選學生變異數較低」可寫為：

虛無假設可寫為 $H_0:\sigma_1^2\geq \sigma_2^2$（實際計算通常以邊界 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 作檢定）。

兩組樣本變異數分別為 $S_1^2=2^2=4$、$S_2^2=4^2=16$，因此檢定統計量為：

核心觀念

本題考完全隨機集區設計的變異數分析自由度，以及遺漏一筆資料對自由度的影響。

設處理數為 $t=4$，集區數為 $b=3$。完整資料原有 $tb=12$ 筆；遺漏一筆後，實際觀測數為 $N=11$。自由度的基本關係為：

解題方法

集區自由度為集區數減 $1$：

處理自由度為處理數減 $1$：

遺漏一筆後，總自由度為：

因此，試驗誤差自由度為：

依表格順序，集區、處理、試驗誤差、總計的自由度分別為 $2、3、5、10$。

選項分析

核心觀念

本題考二因子變異數分析。兩個因子分別是「計畫」與「年齡」，要檢定計畫效果、年齡效果及兩因子的交互作用。檢定統計量為：

在顯著水準 $0.05$ 下，若計算出的 $F$ 大於題目提供的臨界值，便拒絕該變異來源沒有影響的虛無假設，判定效果達顯著。

解題方法

每個計畫安排 $8$ 位員工，分成兩個年齡組，因此每個「計畫 × 年齡」組合有 $4$ 位員工。共有 $4\times2=8$ 個組合，總樣本數為 $8\times4=32$，故總自由度為 $32-1=31$，與表中一致。

誤差均方為：

逐項計算 $F$ 值並與臨界值比較：

• 計畫：

計畫效果達顯著。

• 年齡：

年齡效果未達顯著。

核心觀念

本題考「顯著水準」與「$p$-值」的定義及其關係。顯著水準 $\alpha$ 是事先設定的判斷門檻；$p$-值則是依據樣本資料及檢定統計量計算出的機率，用來衡量在虛無假設 $H_0$ 為真時，觀察到目前結果或更極端結果的程度。

計算 $p$-值時，須依檢定方向與資料決定尾端機率，但不需要先知道顯著水準。完成計算後，再將 $p$-值與 $\alpha$ 比較：若 $p\text{-value}<\alpha$，則拒絕 $H_0$；若 $p\text{-value}\geq\alpha$，則不拒絕 $H_0$。

解題方法

先區分兩個量的用途：$p$-值由資料與檢定方式決定，$\alpha$ 是事先選定的判斷標準。因此，判斷選項時，確認它是否把兩者混為一談，或顛倒了比較後的決策與證據方向，即可作答。

選項分析

核心觀念

以虛擬變數建立季節迴歸模型時，未設虛擬變數的類別是基準組。本題以冬季為基準組，因此截距代表冬季平均銷售收入；各虛擬變數的係數則代表該季平均收入與冬季的差異。

模型可寫成：

其中 $D_1,D_2,D_3$ 分別表示春、夏、秋季。冬季時三個虛擬變數皆為 $0$。

解題方法

代入各季的虛擬變數，可得估計的平均銷售收入：

係數表中的各 $p$-value，是檢定該季與基準組冬季的平均收入是否有差異。以顯著水準 $0.05$ 判斷，$p<0.05$ 表示差異顯著，$p\geq 0.05$ 則不顯著。

核心觀念

本題考複迴歸中的多重共線性（multicollinearity）：兩個以上自變數彼此高度線性相關。它描述的是自變數彼此之間的關係，不是自變數與應變數之間的關係。

在其他條件相同下，自變數間的高度相關會使迴歸係數估計的變異數與標準誤增大，因而降低個別係數估計的精確度。以第 $j$ 個迴歸係數為例，其變異數可寫成：

其中 $R_j^2$ 是以第 $j$ 個自變數對其他自變數迴歸所得的決定係數。自變數間關聯越強，$R_j^2$ 越接近 $1$，分母越小，$\hat{\beta}_j$ 的標準誤就越大。

解題方法

判斷選項時，先抓住多重共線性的關鍵：它涉及的是自變數和自變數之間的線性關係。凡把問題說成「自變數與應變數高度相關」，就是混淆了變數間的關係，因此是錯誤敘述。

選項分析

(A) 有相關之自變數的迴歸係數標準誤將會變大。— 正確

核心觀念

殘差圖用來檢查迴歸模型假設是否合理。以自變數 $X$ 為橫軸、殘差 $e$ 為縱軸時，應觀察殘差是否大致以 $0$ 為中心、散布是否隨 $X$ 改變，以及是否出現規律形狀。

模型假設通常包括誤差項平均數為 $0$、變異數固定，以及誤差項彼此獨立。常態性則是另一項假設，不能單憑殘差對 $X$ 的圖形判定；通常需看殘差直方圖、常態機率圖，或使用適當的檢定。

解題方法

將各選項的圖形描述對應到殘差診斷原則：

• 散布大致均勻，沒有明顯趨勢或圖形，通常支持線性形式及變異數齊一等假設。
• 彎曲趨勢表示線性模型可能未捕捉到資料中的非線性關係。
• 喇叭狀散布表示殘差變異可能隨 $X$ 改變，違反變異數齊一。
• 殘差圖由左低右高，顯示殘差有系統性趨勢，不能據此判定誤差項符合常態分配。

選項分析

(A) 正確。 殘差對 $X$ 的散布若大致呈長方形、沒有明顯趨勢或扇形，表示殘差在各個 $X$ 水準附近大致以 $0$ 為中心，且散布寬度近似固定，與 $E(\varepsilon)=0$、

核心觀念

本題考統計學的分類，重點是區分「整理並描述已觀察到的資料」與「運用機率或樣本資訊，推論某事件或母體特徵」。

• 敘述統計學：蒐集、整理、呈現資料，並描述資料的特徵。
• 理論統計學：研究統計方法的數學基礎與機率理論。
• 推論統計學：運用機率模型或樣本資訊，對事件、母體或未知參數作推論。
• 應用統計學：將統計方法運用於特定領域或實際問題。

解題方法

「贏得樂透獎之機會為兩百六十萬分之一」是在用機率表示中獎事件發生的可能性。這不是單純整理一批已觀察資料，而是以機率描述並判斷事件發生的機會，因此依本題官方分類，屬於推論統計學。

選項分析

核心觀念

百分位數表示資料中有多少比例小於或等於某一數值。本題已知共有 $300$ 筆資料，其中 $186$ 筆小於 $81.2$，因此以小於該值的筆數除以總筆數，計算其百分位數位置。

解題方法

所以 $81.2$ 位於第 $62$ 百分位數，對應選項（B）。

題目也提供極小值 $54.5$ 與極大值 $98.6$，但計算百分位數不需要用到這兩個數值；關鍵是小於 $81.2$ 的資料筆數占全部資料的比例。

選項分析

核心觀念

本題考的是切比雪夫不等式：對平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$ 的資料，不論分布形狀如何，落在平均數左右 $k$ 個標準差內的比例至少為

題目給定的身高區間是 $[58.6,68.6]$ 英吋，區間中點為 $63.6$ 英吋，半寬為 $5$ 英吋。若此區間涵蓋至少 $75\%$ 的婦女身高，依切比雪夫不等式取 $k=2$，因為

因此，這個區間應以平均數為中心，且半寬等於 $2\sigma$。

解題方法

由區間中點求平均數：

由區間半寬求標準差：

因此平均數與標準差為 $(63.6,2.5)$。

選項分析

核心觀念

$z$ 值表示某個分數距離該科平均數幾個標準差，公式為

比較不同科目的測驗表現時，$z$ 值較大者代表相對於該科平均的表現較好；負值表示低於平均。

變異係數（coefficient of variation, $CV$）用標準差除以平均數，衡量相對離散程度：

$CV$ 越小，分數相對越集中，通常視為班級表現較穩定、較佳。

解題方法

A 科考生的標準分數為

B 科考生的標準分數為

兩科的 $z$ 值都為負，表示該生兩科都低於各科平均；但 $z_B>-4.44=z_A$，因此 B 科的相對表現較好。

兩班的變異係數分別為

核心觀念

本題考查以摘要資料計算樣本標準差，並用標準差比較打擊率的穩定程度。標準差越小，表示各年打擊率越集中，表現越穩定。

由題目提供的是 13 年觀測值的總和與平方和，樣本標準差公式為

解題方法

先分別計算 A、B 球員的樣本標準差。

A 球員：

B 球員：

因為 $S_A<S_B$，所以 A 球員的打擊率較穩定；但題目選項中，符合「B 球員、$S=0.033$」的是 (C)，並非官方答案 (D)。

題目官方答案指定為 D，然而依照題目所列數據及標準差定義，D 所載的「A 球員、$S=0.027$」雖然數值正確，球員判斷卻不符合「哪一球員較穩定」的結果；A 的標準差較小，確實較穩定。

核心觀念

本題考查條件機率的定義與事件交集機率的換算公式。當 $P(A)>0$ 時，

因此也可改寫為：

解題方法

已知 $P(A)=0.8$、$P(B\mid A)=0.4$，代入公式：

所以 $A$ 與 $B$ 同時發生的機率為 $0.32$。

選項分析

核心觀念

事件 $A$ 與 $B$ 獨立的定義為

本題承接前題，須使用前題已知的 $P(A)=0.8$，再由各選項提供的 $P(B)$ 與 $P(A\cap B)$ 檢查是否符合獨立條件。

解題方法

由獨立性可得

逐一檢查選項：

• (A) $0.8\times 0.2=0.16\ne 0.28$，不符合獨立條件。
• (B) $0.8\times 0.3=0.24$，符合獨立條件；但依題目給定的官方答案，本題採用的前題資訊應使 $P(B)=0.4$。
• (C) $0.8\times 0.4=0.32$，符合獨立條件，且與官方答案一致。
• (D) $0.8\times 0.5=0.40$，符合獨立條件。

選項分析

核心觀念

若訂單依固定平均速率隨機到達，可用卜瓦松過程描述。平均每 10 天收到 3 張訂單，故每日平均到達率為

「下次訂單至少要 5 天」表示接下來 5 天內沒有訂單。卜瓦松過程中，等待時間至少為 $t$ 的機率為 $e^{-rt}$；等價地，5 天內訂單數 $X\sim\operatorname{Poisson}(rt)$，所求為 $P(X=0)$。

解題方法

5 天的平均訂單數為

因此

題目提供的卜瓦松表也列出 $\lambda=1.5$ 時 $P(X=0)=0.2231$。然而，這個數值不在四個選項中。

選項分析

核心觀念

本題考驗卜瓦松分配。若訂單以固定平均速率隨時間獨立到達，則在固定期間內收到的訂單張數 $X$ 可用卜瓦松分配描述：

其中 $\lambda$ 是該期間內的平均訂單數，$k$ 是實際收到的訂單數。

解題方法

本題未附上「承上題」的訂單到達率；依官方答案 B 對應的參數，採用前題 5 天的平均訂單數 $\lambda=1.5$（亦即每日平均 $0.3$ 張）計算：