111 年初等考試五等統計考古題與詳解

Question 1

已知 $A、B$ 為樣本空間 $S$ 之兩事件，且 $A^c、B^c$ 為 $A、B$ 的補集事件。已知 $P(A)=\frac{1}{2}$ 、 $P(B)=\frac{1}{2}$ 、 $P(A\mid B)=\frac{2}{3}$ ，則 $P(A^c\cap B^c)=?$

Accepted Answer

核心觀念 本題考條件機率、事件交集，以及補事件的關係。條件機率定義為 $$ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} $$ 而 $A^c\cap B^c$ 表示 $A$ 與 $B$ 都不發生，也就是 $(A\cup B)^c$。因此可先求 $P(A\cap B)$，再求聯集機率。 解題方法 由條件機率公式： $$ P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B) =\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{3} $$ 利用聯集公式： $$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{2}{3} $$ 由補事件關係： $$ P(A^c\cap B^c)=P\bigl((A\cup B)^c\bigr) =1-P(A\cup B) =1-\frac{2}{3} =\frac{1}{3} $$ 選項分析

Answer

答案：B

Question 2

間斷隨機變數 $X$ 的機率函數為 $f(x)=\frac{A}{x}$，$x=1,2,3,4,5$。請問 $A=?$ (A) $\frac{50}{128}$ (B) $\frac{60}{137}$ (C) $\frac{33}{246}$ (D) $\frac{18}{23}$

Accepted Answer

核心觀念 離散型隨機變數的機率函數，對所有可能取值的機率總和必須等於 $1$。因此，未知常數 $A$ 可由正規化條件求得： $$ \sumx f(x)=1 $$ 解題方法 已知 $X$ 可能取 $1,2,3,4,5$，且 $f(x)=\frac{A}{x}$，代入總機率為 $1$： $$ \sum{x=1}^{5}\frac{A}{x} =A\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\right)=1 $$ 通分計算括號內的總和： $$ 1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15 =\frac{60+30+20+15+12}{60} =\frac{137}{60} $$ 所以： $$ A\cdot\frac{137}{60}=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{60}{137} $$ 選項分析

Answer

答案：B

Question 3

$f(x)$ 為連續隨機變數 $X$ 的機率密度函數，則下列何者不是 $f(x)$ 所必須具備的性質？ (A) $f(x)\geq 0$ (B) $f(x)\leq 1$ (C) $\displaystyle\int{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$ (D) $P(a<x<b)=\displaystyle\inta^b f(x)\,dx$

Accepted Answer

核心觀念 連續型隨機變數的機率密度函數 $f(x)$ 必須滿足： 1. $f(x)\geq 0$； 2. 全部可能取值範圍下的面積為 $1$，即 $\displaystyle\int{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$； 3. 區間機率由密度函數積分求得，即 $P(a<X<b)=\displaystyle\inta^b f(x)\,dx$。 密度函數的函數值代表「機率密度」，不直接代表某一點的機率，因此不必限制在 $1$ 以下。 解題方法 逐一比對選項與機率密度函數的定義。前三項中，非負性、總積分為 $1$，以及區間機率等於區間積分，都是密度函數的基本性質；「$f(x)\leq 1$」則不是必要條件。 例如，令 $X$ 均勻分布於 $(0,	frac12)$，其密度函數為 $$ f(x)= \begin{cases} 2, & 0<x<	frac12,\ 0, & 	ext{其他}. \end{cases} $$ 此時 $f(x)=21$，但 $\displaystyle\int{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=2	imes	frac12=1$，仍是合法的機率密度函數。

Answer

答案：B

Question 4

$X、Y$ 為兩個非獨立之隨機變數，且 $a、b$ 為兩個常數。請問下列敘述何者錯誤？ (A) $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ (B) $\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ (C) $\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)$ (D) $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$

Accepted Answer

核心觀念

本題考變異數與共變數的定義，以及隨機變數線性組合的變異數公式。特別要注意：當 $X、Y$ 不獨立時， $\operatorname{Var}(aX+bY)$ 必須納入兩者的共變數。

解題方法

利用變異數定義展開：

\operatorname{Var}(aX+bY) =E\!\left[\left(aX+bY-E(aX+bY)\right)^2\right].

因為 $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ ，所以

\begin{aligned} \operatorname{Var}(aX+bY) &=E\!\left[\left(a(X-E(X))+b(Y-E(Y))\right)^2\right]\\ &=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y) +2ab\operatorname{Cov}(X,Y). \end{aligned}

題目指出 $X、Y$ 非獨立，不能直接省略共變數項。因此選項 (C) 少了 $2ab\operatorname{Cov}(X,Y)$ ，是錯誤敘述。

選項分析

(A) 正確。 由變異數定義，

Answer

答案：C

Question 5

隨機變數 $X$ 的機率函數如下表，請問 $X$ 之變異數為何？ | $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | |---|---:|---:|---:|---:| | $f(x)$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{6}$ | (A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $\frac{2}{3}$

Accepted Answer

核心觀念 離散型隨機變數的變異數衡量各取值相對於平均數的離散程度，定義為 $$ \operatorname{Var}(X)=E[(X-E(X))^2] =E(X^2)-[E(X)]^2. $$ 其中 $E(X)=\sumx x f(x)$，$E(X^2)=\sumx x^2 f(x)$。 解題方法 先依表格計算期望值： $$ E(X)=0\cdot\frac13+1\cdot\frac12+2\cdot0+3\cdot\frac16 =\frac12+\frac12=1. $$ 再計算平方的期望值： $$ E(X^2)=0^2\cdot\frac13+1^2\cdot\frac12+2^2\cdot0+3^2\cdot\frac16 =\frac12+\frac{9}{6}=2. $$ 因此

Answer

答案：B

Question 6

抽樣調查 $800$ 位某地區民眾的宗教信仰分布如下表： | A 宗教 | B 宗教 | C 宗教 | |---:|---:|---:| | $100$ | $427$ | $273$ | 在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，檢定該地區居民宗教信仰比例結構是否如 $H0$ 所描述。$H0:p1=0.12,\ p2=0.54,\ p3=0.34$；$H1:H0$ 不成立。其中 $p1$ 表示 A 宗教信徒所占的比例，$p2$ 表示 B 宗教信徒所占的比例，$p3$ 表示 C 宗教信徒所占的比例。請問檢定結果為何？ (A) 卡方檢定量為 $6.228214$，拒絕 $H0$ (B) 卡方檢定量為 $6.228214$，不拒絕 $H0$ (C) 卡方檢定量為 $0.228214$，拒絕 $H0$ (D) 卡方檢定量為 $0.228214$，不拒絕 $H0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考單一類別變項的卡方適合度檢定，用樣本觀察次數檢驗母體各類別比例是否符合指定比例。 虛無假設為 $H0:p1=0.12,\ p2=0.54,\ p3=0.34$；對立假設為 $H1:H0$ 不成立。檢定統計量為 $$ \chi^2=\sum{i=1}^{k}\frac{(Oi-Ei)^2}{Ei}, $$ 其中 $Oi$ 是觀察次數，$Ei$ 是在 $H0$ 成立時的期望次數。自由度為類別數減 $1$，即 $df=k-1$。 解題方法 樣本數為 $n=800$。依 $H0$ 的比例計算各宗教信仰的期望次數： $$ EA=800(0.12)=96,\qquad EB=800(0.54)=432,\qquad EC=800(0.34)=272. $$ 將觀察次數 $100、427、273$ 代入卡方統計量：

Answer

答案：D

Question 7

抽樣調查網路咖啡廳中消費者的年齡數據如下：$15、19、23、18、17、14、15、16、18、25、21、30、14、16、17、15、14、13、16、29$。請問網路咖啡廳消費人口年齡的中位數為何？ (A) $16$ (B) $16.5$ (C) $17$ (D) $18.25$

Accepted Answer

核心觀念

中位數是將資料由小到大排列後，位於中央位置的數值。若資料筆數為偶數，中位數取中央兩筆數值的平均：

\text{中位數}=\frac{\text{第 }n/2\text{ 個數值}+\text{第 }(n/2+1)\text{ 個數值}}{2}

本題共有 $20$ 筆年齡，因此要找排序後第 $10$ 與第 $11$ 筆資料的平均。

解題方法

將年齡由小到大排列：

13,\ 14,\ 14,\ 14,\ 15,\ 15,\ 15,\ 16,\ 16,\ 16,\ 17,\ 17,\ 18,\ 18,\ 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 29,\ 30

共有 $20$ 筆資料，中央兩筆為第 $10$ 筆 $16$ 歲及第 $11$ 筆 $17$ 歲，因此：

Answer

答案：B

Question 8

下列何者可用來測量一群體之分散趨勢？ (A) 平均數 (B) 中位數 (C) 眾數 (D) 全距

Accepted Answer

核心觀念

統計量可分為描述資料「集中位置」與「分散程度」的指標。平均數、中位數與眾數都是衡量集中位置的指標；全距則是衡量資料分散程度的指標。

全距的計算方式為：

\text{全距}=\text{最大值}-\text{最小值}

全距越大，表示資料最大值與最小值之間的差距越大，資料的分散程度也越高。

解題方法

先辨別題目問的是「分散趨勢」還是「集中趨勢」。本題詢問一群體的分散趨勢，因此應選擇反映資料差異或散布程度的統計量。四個選項中，全距是分散程度的測量指標。

選項分析

Answer

答案：D

Question 9

$A、B、C$ 為樣本空間中的三個事件。請問下列敘述何者錯誤？ (A) $A\cap(B\cup C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ (B) $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ (C) $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ (D) $A\cup A=A$

Accepted Answer

核心觀念

本題考集合的基本運算律。事件的聯集 $A\cup B$ 表示「屬於 $A$ 或屬於 $B$ 」；交集 $A\cap B$ 表示「同時屬於 $A$ 與 $B$ 」。

常用運算律包括：

分配律： $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ ，以及 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ 。
結合律： $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ 。
冪等律： $A\cup A=A$ 。

判斷等式是否成立，可依集合運算律檢查，也可找一個元素，確認它是否會造成等式兩邊的歸屬結果不同。

解題方法

逐一比對選項中的運算式與上述集合運算律。選項 (A) 左側是「交集對聯集」的分配律；其正確展開結果應為 $(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 。選項 (A) 右側卻是聯集，因此不符合分配律。

選項分析

(A) 錯誤。

正確的分配律為：

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)

題目右側 $(A\cup B)\cap(A\cup C)$ 則依另一種分配律化簡為：

Answer

答案：A

Question 10

投擲公平的骰子兩次，事件 $A$ 表示「第一次出現偶數」，事件 $B$ 表示「第二次出現 $5$ 或 $6$」，請問下列敘述何者錯誤？ (A) $P(A)=\frac{1}{2}$ (B) $P(B)=\frac{1}{3}$ (C) $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$ (D) $A$ 與 $B$ 為不獨立之兩事件

Accepted Answer

核心觀念 本題考查事件的機率，以及兩事件是否獨立。若 $A$、$B$ 為獨立事件，須符合： $$ P(A\cap B)=P(A)P(B) $$ 等價地，在 $P(B)0$ 時，也可檢查 $P(A\mid B)=P(A)$。 解題方法 投擲兩次公平骰子，每次結果互相獨立。 - 第一次出現偶數的機率： $$ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$ - 第二次出現 $5$ 或 $6$ 的機率： $$ P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$ - 兩事件同時發生，須第一次為偶數且第二次為 $5$ 或 $6$。由兩次投擲獨立： $$ P(A\cap B)=P(A)P(B) =\frac{1}{2}	imes\frac{1}{3} =\frac{1}{6} $$

Answer

答案：D

Question 11

無限母群體隨機變數 $X$ 的期望值 $\mu=30$，變異數 $\sigma^2=10$，從這個母群體中隨機抽取 $20$ 個樣本。請問樣本平均數 $\overline{X}$ 的期望值為何？ (A) $30$ (B) $3$ (C) $\frac{3}{2}$ (D) $10$

Accepted Answer

核心觀念 本題考「樣本平均數的期望值」。若 $X1,\ldots,Xn$ 為來自同一母群體的隨機樣本，且各樣本的期望值皆為 $\mu$，則樣本平均數為 $$ \overline{X}=\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}Xi $$ 利用期望值的線性性，可得 $$ E(\overline{X}) =E\left(\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}Xi\right) =\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}E(Xi) =\frac{1}{n}(n\mu) =\mu $$ 因此，樣本平均數的期望值等於母群體平均數，與樣本數及母群體變異數無關。 解題方法 題目給定母群體期望值 $\mu=30$，樣本數 $n=20$。依照上述公式： $$ E(\overline{X})=\mu=30 $$

Answer

答案：A

Question 12

常態母群體之期望值為 $10$，變異數為 $441$。從這個母群體中隨機抽出 $49$ 個樣本，$\overline{X}$ 為樣本平均數。請問 $P(4\leq\overline{X}\leq13)=?$ (A) $0.1587$ (B) $0.8185$ (C) $0.3847$ (D) $0.7381$

Accepted Answer

核心觀念 常態母群體的樣本平均數仍服從常態分配。若母群體平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$，抽取 $n$ 個獨立樣本後： $$ \overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) $$ 因此，樣本平均數的標準誤為 $\sigma{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。本題要將 $\overline{X}$ 標準化，再查標準常態分配表。 解題方法 已知 $\mu=10$、$\sigma^2=441$，故母群體標準差 $\sigma=21$；樣本數 $n=49$，所以： $$ \overline{X}\sim N\left(10,\frac{441}{49}\right)=N(10,9) $$ 樣本平均數的標準差為 $\sqrt{9}=3$。將區間端點轉換為 $Z$ 值： $$ P(4\leq\overline{X}\leq13) =P\left(\frac{4-10}{3}\leq Z\leq\frac{13-10}{3}\right) =P(-2\leq Z\leq1) $$

Answer

答案：B

Question 13

欲檢定貸款信用狀況與所得水準是否相關，抽樣調查 $102$ 位貸款人，以還款信用狀況與所得水準將他們歸類成下表：

	所得水準高	所得水準中	所得水準低
信用狀況良好	$18$	$22$	$12$
信用狀況不良	$16$	$20$	$14$

在顯著水準 $\alpha=0.025$ 下，使用卡方檢定信用狀況與所得水準是否相關。下列何者為卡方檢定之結果？

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗列聯表的卡方獨立性檢定，用來判斷「信用狀況」與「所得水準」是否有關聯。 - 虛無假設 $H0$：信用狀況與所得水準相互獨立。 - 對立假設 $H1$：信用狀況與所得水準不獨立，也就是兩者有相關。 - 卡方檢定統計量為 $$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E},$$ 其中 $O$ 是觀察次數，$E$ 是在 $H0$ 成立時的期望次數。 - 自由度為 $(列數-1)(欄數-1)$。 解題方法 先計算列合計、欄合計與總人數： | | 所得高 | 所得中 | 所得低 | 合計 | |---|---:|---:|---:|---:| | 信用良好 | 18 | 22 | 12 | 52 | | 信用不良 | 16 | 20 | 14 | 50 | | 合計 | 34 | 42 | 26 | 102 | 在獨立假設下，各格期望次數為「列合計 × 欄合計 ÷ 總人數」。例如，信用良好且所得高的期望次數為 $$E{11}=\frac{52	imes34}{102}=17.333.$$ 依此計算各格期望次數： | | 所得高 | 所得中 | 所得低 | |---|---:|---:|---:| | 信用良好 | 17.333 | 21.412 | 13.255 |

Answer

答案：A

Question 14

隨機抽樣 $8$ 筆健保醫療給付費用為 $614、665、836、622、506、568、580、545$ 。假設健保醫療給付費用為常態分配，且其標準差已知為 $100$ 。請問健保支付每人次醫療費用平均值的 $95\%$ 信賴區間為何？

Accepted Answer

核心觀念 母體為常態分配且母體標準差已知時，母體平均數的 $95\%$ 信賴區間使用標準常態分配的臨界值 $z{0.975}=1.96$： $$ \bar{x}\pm z{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ 本題樣本數 $n=8$、已知母體標準差 $\sigma=100$，因此採用 $z$ 信賴區間。 解題方法 先計算樣本平均數： $$ \bar{x} =\frac{614+665+836+622+506+568+580+545}{8} =\frac{4936}{8} =617 $$ 標準誤為： $$ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{100}{\sqrt{8}} \approx 35.355 $$ $95\%$ 信賴區間的誤差範圍為： $$ 1.96	imes 35.355\approx 69.297 $$ 所以信賴區間是： $$ 617\pm 69.297 =(547.703,\ 686.297) $$ 選項分析

Answer

答案：A

Question 15

一檢定之型 I 錯誤發生之機率為 $\alpha$，型 II 錯誤發生之機率為 $\beta$。請問下列敘述何者正確？ (A) $\alpha=P(	ext{拒絕 }H0\mid H0	ext{ 為偽})$ (B) $\beta=P(	ext{拒絕 }H0\mid H0	ext{ 為真})$ (C) $\alpha=P(	ext{拒絕 }H0\mid H0	ext{ 為真})$ (D) $\beta=P(	ext{拒絕 }H0\mid H0	ext{ 為偽})$

Accepted Answer

核心觀念 本題考「型 I 錯誤」與「型 II 錯誤」的定義。兩者都以虛無假設 $H0$ 的真偽及檢定決策來區分： - 型 I 錯誤：$H0$ 為真，卻拒絕 $H0$。其機率為顯著水準 $\alpha$。 - 型 II 錯誤：$H0$ 為偽，卻未拒絕 $H0$。其機率為 $\beta$。 解題方法 將「$H0$ 真或偽」與「拒絕或不拒絕 $H0$」配對： $$ \begin{array}{c|cc} & 	ext{拒絕 }H0 & 	ext{不拒絕 }H0\ \hline H0	ext{ 為真} & 	ext{型 I 錯誤，機率 }\alpha & 	ext{正確決策}\ H0	ext{ 為偽} & 	ext{正確決策} & 	ext{型 II 錯誤，機率 }\beta \end{array} $$

Answer

答案：C

Question 16

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 且 $\sigma^2$ 未知。抽樣自這個母群體的 $10$ 個隨機樣本為 $3、7、5、13、16、12、17、8、11、14$ 。請問 $\mu$ 的 $99\%$ 信賴區間為何？

Accepted Answer

核心觀念 母體為常態分配、母體變異數 $\sigma^2$ 未知時，估計母體平均數 $\mu$ 的信賴區間，使用 $t$ 分配： $$ \bar{x}\pm t{1-\alpha/2,\,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}, $$ 其中 $\bar{x}$ 是樣本平均數，$s$ 是以 $n-1$ 為分母計算的樣本標準差，自由度為 $n-1$。本題要求 $99\%$ 信賴區間，因此 $\alpha=0.01$。 解題方法 樣本數 $n=10$，樣本資料總和為 $106$，所以 $$ \bar{x}=\frac{106}{10}=10.6. $$ 離均差平方和為 $$ \sum{i=1}^{10}(xi-\bar{x})^2=184.4, $$ 故樣本變異數與樣本標準差為 $$ s^2=\frac{184.4}{10-1}=20.4889,\qquad s\approx4.5265. $$ 自由度為 $9$。查 $t$ 分配表，$t{0.995,9}\approx3.250$。因此誤差範圍為

Answer

答案：D

Question 17

隨機抽樣 $1,000$ 位男性及 $1,200$ 位女性，其中 $125$ 位男性及 $120$ 位女性贊成廢除死刑。請問男性與女性贊成廢除死刑的比例差之 $95\%$ 信賴區間為何？

Accepted Answer

核心觀念 本題考兩個獨立母體比例差的 $95\%$ 信賴區間。令 $pm$ 為男性贊成比例、$pf$ 為女性贊成比例，估計量為 $\hat pm-\hat pf$。其大樣本信賴區間為： $$ (\hat pm-\hat pf) \pm 1.96 \sqrt{ \frac{\hat pm(1-\hat pm)}{nm} + \frac{\hat pf(1-\hat pf)}{nf} } $$ 解題方法 男性與女性樣本比例分別為： $$ \hat pm=\frac{125}{1000}=0.125,\qquad \hat pf=\frac{120}{1200}=0.100 $$ 因此，男性比例減女性比例的點估計為： $$ \hat pm-\hat pf=0.125-0.100=0.025 $$ 標準誤為： $$ SE= \sqrt{ \frac{0.125(1-0.125)}{1000} + \frac{0.100(1-0.100)}{1200} } \approx 0.01274 $$ $95\%$ 信賴區間的誤差範圍為： $$ 1.96(0.01274)\approx 0.02497 $$ 故區間約為：

Answer

答案：C

Question 18

$X\sim N(\mu,20)$，隨機樣本為 $12、10、15、18、22、19$。在 $\alpha=0.05$ 下，檢定 $H0:\mu\leq12$，$H1:\mu12$。以下何者為檢定結果？ (A) 檢定統計量為 $2.19$，不拒絕 $H0$ (B) 檢定統計量為 $2.19$，拒絕 $H0$ (C) 檢定統計量為 $1.52$，不拒絕 $H0$ (D) 檢定統計量為 $1.52$，拒絕 $H0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考已知母體變異數時，對母體平均數進行單尾 $Z$ 檢定。題目給定 $X\sim N(\mu,20)$，依常見記號將第二個參數視為母體變異數 $\sigma^2=20$，因此母體標準差為 $\sigma=\sqrt{20}$。檢定統計量為 $$ Z=\frac{\bar X-\mu0}{\sigma/\sqrt n}. $$ 因對立假設為 $H1:\mu12$，所以採右尾檢定；在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，臨界值為 $z{0.95}\approx1.645$。 解題方法 樣本數 $n=6$，樣本平均數為 $$ \bar X=\frac{12+10+15+18+22+19}{6} =\frac{96}{6}=16. $$ 以虛無假設邊界值 $\mu0=12$ 計算檢定統計量： $$ Z=\frac{16-12}{\sqrt{20}/\sqrt6} =\frac{4}{\sqrt{20/6}} \approx2.19. $$

Answer

答案：B

Question 19

承上題，請問檢定之 $p$ 值（$p$-value）為多少？ (A) $1.645$ (B) $0.9857$ (C) $0.05$ (D) $0.0143$

Accepted Answer

核心觀念 $p$ 值是在虛無假設 $H0$ 成立時，取得「與觀察結果同樣或更極端」之檢定統計量的機率。計算時須依對立假設判斷尾端方向：右尾檢定取右尾機率，左尾檢定取左尾機率，雙尾檢定則計算兩側尾端機率。 解題方法 本題承接前題，檢定統計量為 $z=2.19$，且採右尾檢定。因此： $$ p=P(Z\ge 2.19)=1-\Phi(2.19) $$ 由標準常態分配表查得 $\Phi(2.19)=0.9857$，所以： $$ p=1-0.9857=0.0143 $$ 選項分析

Answer

答案：D

Question 20

在一個 $2	imes3$ 的列聯表中，使用顯著水準 $\alpha=0.05$ 進行卡方獨立性檢定。請問下列敘述何者正確？ (A) 當所計算之卡方統計檢定量大於 $\chi^2{0.05}(6)$ 時，拒絕 $H0$ 的假設 (B) 當所計算之卡方統計檢定量大於 $\chi^2{0.025}(6)$ 時，拒絕 $H0$ 的假設 (C) 當所計算之卡方統計檢定量大於 $\chi^2{0.05}(2)$ 時，拒絕 $H0$ 的假設 (D) 當所計算之卡方統計檢定量大於 $\chi^2{0.025}(2)$ 時，拒絕 $H0$ 的假設

Accepted Answer

核心觀念 卡方獨立性檢定用來判斷列聯表中的兩個類別變數是否彼此獨立。若列聯表有 $r$ 列、$c$ 欄，自由度為 $$ (r-1)(c-1) $$ 本題是 $2	imes3$ 列聯表，因此自由度為 $$ (2-1)(3-1)=2 $$ 在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，獨立性檢定採右尾檢定；當計算出的卡方統計量大於自由度為 $2$ 的右尾臨界值 $\chi^2{0.05}(2)$ 時，拒絕虛無假設 $H0$。 解題方法 虛無假設 $H0$ 為兩個類別變數彼此獨立；對立假設 $H1$ 為兩者不獨立。觀察次數為 $O{ij}$、獨立假設下的期望次數為 $E{ij}$ 時，檢定統計量為 $$ \chi^2=\sum{i=1}^{r}\sum{j=1}^{c}\frac{(O{ij}-E{ij})^2}{E{ij}} $$ 此統計量越大，表示觀察次數與獨立假設下的期望次數差異越大。依自由度 $2$ 的卡方分配，在 $\alpha=0.05$ 右尾拒絕域為

Answer

答案：C

Question 21

在單因子實驗設計之變異數分析表中，組間平方和為 $10$，組間平方和之自由度為 $2$；組內平方和為 $120$，組內平方和之自由度為 $12$。請問統計檢定量 $F$ 值為多少？ (A) $0.5$ (B) $2$ (C) $5$ (D) $10$

Accepted Answer

核心觀念

單因子變異數分析（ANOVA）的檢定統計量為組間均方除以組內均方：

F=\frac{MS_{\text{組間}}}{MS_{\text{組內}}} =\frac{SS_{\text{組間}}/df_{\text{組間}}}{SS_{\text{組內}}/df_{\text{組內}}}

其中，平方和除以對應的自由度，即為均方。

解題方法

代入題目資料：

MS_{\text{組間}}=\frac{10}{2}=5,\qquad MS_{\text{組內}}=\frac{120}{12}=10

因此：

Answer

答案：A

Question 22

一區集實驗設計之變異數分析表如下，請問表中 $a、b、c$ 的值各為多少？ | 來源 | 平方和 | 自由度 | 均方和 | $F$ 值 | |---|---:|---:|---:|---:| | 處理 | $21$ | $2$ | $10.5$ | $c$ | | 區集 | $30$ | $b$ | $6$ | $3.16$ | | 誤差 | $a$ | $10$ | $1.9$ | | (A) $a=19,\ b=5,\ c=1.75$ (B) $a=19,\ b=5,\ c=5.53$ (C) $a=51,\ b=8,\ c=1.75$ (D) $a=51,\ b=8,\ c=5.53$

Accepted Answer

核心觀念 區集實驗設計的變異數分析表中，均方和由平方和除以自由度計算；$F$ 值則由該來源的均方和除以誤差均方和計算： $$ MS=\frac{SS}{df}, \qquad F=\frac{MS{	ext{來源}}}{MS{	ext{誤差}}} $$ 解題方法 先由誤差列求誤差平方和： $$ a=SSE=MSE	imes dfE=1.9	imes 10=19 $$ 再由區集列求自由度： $$ b=dfB=\frac{SSB}{MSB}=\frac{30}{6}=5 $$ 最後由處理列求 $F$ 值： $$ c=F{	ext{處理}}=\frac{MS{	ext{處理}}}{MSE} =\frac{10.5}{1.9}\approx 5.53 $$ 因此 $a=19,\ b=5,\ c=5.53$。 選項分析

Answer

答案：B

Question 23

在單因子實驗設計 $x{ij}=\mu+	auj+\epsilon{ij}$，$i=1,\ldots,5$，$j=1,2,3$ 中，樣本資料如下表所示。請問 $	au2$ 的估計值為何？ | 1 | 2 | 3 | |---:|---:|---:| | $13$ | $17$ | $21$ | | $15$ | $19$ | $23$ | | $17$ | $21$ | $25$ | | $19$ | $23$ | $27$ | | $21$ | $25$ | $29$ | (A) $4$ (B) $-4$ (C) $0$ (D) $21$

Accepted Answer

核心觀念 單因子實驗設計中，處理效果 $	auj$ 表示第 $j$ 組平均數相對於整體平均數的偏差。採用常見的限制條件 $\sum{j=1}^{3}	auj=0$ 時，$\mu$ 為總平均數，$	auj$ 的估計值為第 $j$ 組樣本平均數減去總平均數： $$ \hat{	au}j=\bar{x}{.j}-\bar{x}{..} $$ 解題方法 第 $2$ 組資料為 $17,19,21,23,25$，因此： $$ \bar{x}{.2}=\frac{17+19+21+23+25}{5}=21 $$ 三組平均數分別為 $17、21、25$，總平均數為： $$ \bar{x}{..}=\frac{17+21+25}{3}=21 $$ 所以： $$ \hat{	au}2=\bar{x}{.2}-\bar{x}{..}=21-21=0 $$

Answer

答案：C

Question 24

在一迴歸分析中，$(X,Y)$ 的抽樣資料如下表，且假設迴歸模型為 $yi=b0+b1xi+\epsiloni$，$i=1,\ldots,5$，其中 $\epsiloni\overset{\mathrm{iid}}{\sim}N(0,\sigma^2)$。請問迴歸線係數 $b0、b1$ 的最小平方法估計值為何？ | $X$ | $5$ | $3$ | $6$ | $2$ | $4$ | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | $Y$ | $21$ | $15$ | $23$ | $12$ | $18$ | (A) $\hat b0=5.2,\ \hat b1=3.8$ (B) $\hat b0=6.6,\ \hat b1=3.4$ (C) $\hat b0=5.2,\ \hat b1=3.1$ (D) $\hat b0=6.6,\ \hat b1=2.8$

Accepted Answer

核心觀念 簡單線性迴歸的最小平方法估計量為 $$ \hat b1=\frac{S{xy}}{S{xx}} =\frac{\sum{i=1}^n(xi-\bar x)(yi-\bar y)} {\sum{i=1}^n(xi-\bar x)^2}, \qquad \hat b0=\bar y-\hat b1\bar x. $$ 題目給的常態分配假設不影響這兩個最小平方法估計值的計算。 解題方法 先計算平均數： $$ \bar x=\frac{5+3+6+2+4}{5}=4,\qquad \bar y=\frac{21+15+23+12+18}{5}=17.8. $$ 接著計算斜率所需的兩個離差平方和與離差乘積和： $$ S{xx}=\sum(xi-\bar x)^2 =(1)^2+(-1)^2+(2)^2+(-2)^2+0^2=10, $$ $$ \begin{aligned} S{xy} &=\sum(xi-\bar x)(yi-\bar y)\ &=(1)(3.2)+(-1)(-2.8)+(2)(5.2)+(-2)(-5.8)+0(0.2)\ &=28. \end{aligned} $$ 因此

Answer

答案：D

Question 25

承上題，請問最小平方法迴歸線的殘差平方和（$SSE$）為多少？ (A) $0.4$ (B) $0.7$ (C) $1$ (D) $1.2$

Accepted Answer

核心觀念 本題考最小平方法迴歸線的殘差平方和（$SSE$）。對每筆觀測值，殘差為實際值與迴歸預測值之差；將殘差平方後加總，即得 $$ SSE=\sum{i=1}^{n}(yi-\hat yi)^2。 $$ 題目標示「承上題」，因此計算須使用前題提供的資料或迴歸線。 解題方法 前題資料未附於本題題幹中，僅憑目前資訊無法獨立重算 $SSE$。依官方答案 A，可知該迴歸線的殘差平方和為 $0.4$。計算時，將每個 $xi$ 代入迴歸線求得預測值 $\hat yi$，再計算各筆殘差平方並加總：

Answer

答案：A

Question 26

承 $24$ 題，請問迴歸線的判定係數（$R^2$）為何？ (A) $0.9513$ (B) $0.9949$ (C) $0.8547$ (D) $0.9678$

Accepted Answer

核心觀念 判定係數 $R^2$ 衡量迴歸模型對應變數總變異的解釋比例。在含截距的簡單線性迴歸中， $$ R^2=\frac{	ext{迴歸平方和 }SSR}{	ext{總平方和 }SST} =1-\frac{	ext{殘差平方和 }SSE}{SST} =r{XY}^2 $$ 其中 $r{XY}$ 是自變數與應變數的樣本相關係數。第 26 題承接第 24 題，需使用該題的資料或計算結果求出 $R^2$。 解題方法 由第 24 題所得的相關係數平方，或以平方和計算判定係數： $$ R^2=(r{XY})^2=\frac{SSR}{SST} $$

Answer

答案：B

Question 27

承 $24$ 題，請問迴歸模型中，誤差項 $\epsiloni$ 之變異數估計值（$\hat{\sigma}^2$）為何？ (A) $0.08$ (B) $0.10$ (C) $0.13$ (D) $0.20$

Accepted Answer

核心觀念 簡單線性迴歸模型中，誤差項變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計量為殘差平方和除以自由度： $$ \hat{\sigma}^2=\frac{\mathrm{SSE}}{n-2} =\frac{\sum{i=1}^{n}(yi-\hat{y}i)^2}{n-2}. $$ 其中 $n$ 為觀測值個數；估計截距與斜率共使用兩個自由度，因此殘差自由度為 $n-2$。本題承第 24 題，須沿用該題迴歸結果計算。 解題方法 僅憑第 27 題所列內容，沒有第 24 題的觀測資料、迴歸結果或殘差平方和，無法獨立重算 $\hat{\sigma}^2$。依官方答案 C，該題資料代入後的殘差平方和與殘差自由度之比為： $$ \hat{\sigma}^2=\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}=0.13. $$

Answer

答案：C

Question 28

$A、B$ 為樣本空間的二個事件，$A^c$ 為 $A$ 的補集事件。請問下列條件機率之敘述何者錯誤？ (A) $P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A\mid B)}$ (B) $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ (C) $P(A^c\mid B)=1-P(A\mid B)$ (D) $P(B\cap A)=P(B)	imes P(B\mid A)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考條件機率的定義與乘法公式。當 $P(A)0$ 時， $$ P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} $$ 因此可得乘法公式： $$ P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A) $$ 同理，當 $P(B)0$ 時，$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$。條件機率中的條件事件是分母，也是乘法公式中相乘的邊際機率。 解題方法 逐項對照條件機率定義與補事件公式。前三項可由定義直接整理或由補事件性質推出；再檢查選項 (D) 的乘法公式是否把邊際機率與條件機率配對正確。 選項分析 - (A) 正確。 由 $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$，移項可得 $$ P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A\mid B)} $$ 此式須在相關條件機率有定義且分母 $P(A\mid B)0$ 時使用。

Answer

答案：D

Question 29

$X1$ 及 $X2$ 為兩個自由度 $
u1$ 及 $
u2$ 的獨立卡方隨機變數，即 $X1\sim\chi^2(
u1)$、$X2\sim\chi^2(
u2)$。則下列敘述何者正確？（下列 $F(a,b)$ 表示自由度為 $a,b$ 的 $F$ 分配。） (A) $\displaystyle\frac{X2/
u1}{X1/
u2}\sim F(
u1,
u2)$ (B) $\displaystyle\frac{X1/
u1}{X2/
u2}\sim F(
u1-1,
u2-1)$ (C) $\displaystyle\frac{X2/
u2}{X1/
u1}\sim F(
u2,
u1)$ (D) $\displaystyle\frac{X1/(
u1-1)}{X2/(
u2-1)}\sim F(
u1,
u2)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考獨立卡方隨機變數如何構成 $F$ 分配。若 $X1\sim\chi^2(
u1)$、$X2\sim\chi^2(
u2)$ 且兩者相互獨立，則依 $F$ 分配的定義： $$ \frac{X1/
u1}{X2/
u2}\sim F(
u1,
u2). $$ 分子卡方變數的自由度是 $F$ 分配的第一個自由度，分母卡方變數的自由度則是第二個自由度；各自都要除以其自身的自由度。 解題方法 逐一檢查選項中的分子、分母順序，以及標準化時使用的自由度。由題目條件，標準形式為 $$ \frac{X2/
u2}{X1/
u1}\sim F(
u2,
u1). $$ 因此符合 $F$ 分配定義的是選項 (C)。 選項分析 - (A) 錯誤。 式子為 $$ \frac{X2/
u1}{X1/
u2}. $$ $X2$ 應除以自己的自由度 $
u2$，$X1$ 應除以自己的自由度 $
u1$；選項把分母中的自由度交叉使用，並且自由度順序也不符。

Answer

答案：C

Question 30

隨機變數 $X$ 的機率函數為 $f(x)=(1-p)^{x-1}p$，$x=1,2,\cdots$，則 $E(X)=?$ (A) $p$ (B) $\frac{1}{p}$ (C) $p(1-p)$ (D) $p^2$

Accepted Answer

核心觀念 本題考幾何分配的期望值。機率函數 $$ f(x)=(1-p)^{x-1}p,\qquad x=1,2,\ldots $$ 表示在一連串獨立試驗中，直到第一次成功所需的試驗次數，其中 $0<p\leq 1$。此幾何分配的期望值為 $E(X)=1/p$。 解題方法 依期望值定義計算： $$ E(X)=\sum{x=1}^{\infty}x f(x) =p\sum{x=1}^{\infty}x(1-p)^{x-1}. $$ 利用級數公式 $\sum{x=1}^{\infty}xr^{x-1}=\frac{1}{(1-r)^2}$（$|r|<1$），令 $r=1-p$，則 $$ E(X)=p\cdot\frac{1}{[1-(1-p)]^2} =p\cdot\frac{1}{p^2} =\frac{1}{p}. $$ 因此選項（B）正確。 選項分析

Answer

答案：B

Question 31

從大城市中抽取 $900$ 戶家庭作為樣本，以檢驗「虛無假設：訂閱某種報紙的家庭不超過 $80\%$ 」。我們可以在樣本中找到「在 $\alpha=0.05$ 之顯著水準下拒絕虛無假設」的最小訂閱戶數最接近以下那個數？

Accepted Answer

核心觀念 令 $p$ 為大城市中訂閱該報紙的家庭比例。題目要檢定： $$ H0:p\leq 0.80,\qquad H1:p0.80 $$ 這是母體比例的右尾單尾檢定。在虛無假設邊界 $p0=0.80$ 下，樣本比例 $\hat p=X/900$ 的標準誤為 $$ SE0=\sqrt{\frac{p0(1-p0)}{n}} =\sqrt{\frac{0.8(0.2)}{900}} \approx 0.01333 $$ 其中 $X$ 是樣本中的訂閱戶數。 解題方法 採用母體比例的大樣本 $Z$ 檢定。顯著水準 $\alpha=0.05$ 的右尾臨界值為 $z{0.95}\approx1.645$。拒絕虛無假設的條件是 $$ \frac{\hat p-0.80}{0.01333}1.645 $$ 因此 $$ \hat p0.80+1.645(0.01333)\approx0.82193 $$ 換算成訂閱戶數： $$ X900(0.82193)\approx739.74 $$

Answer

答案：C

Question 32

$X$ 是變異數為 $\lambda$ 的卜瓦松分布，如果 $P(X=0)=p$，請問 $X$ 的平均值為何？ (A) $\lambda^2$ (B) $-\ln(p)$ (C) $\sqrt{\lambda}$ (D) $\ln(p)$

Accepted Answer

核心觀念 卜瓦松分布的參數 $\lambda0$ 同時是平均數與變異數： $$ E(X)=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(X)=\lambda. $$ 其機率質量函數為 $P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!$。因此，當 $k=0$ 時，$P(X=0)=e^{-\lambda}$。 解題方法 題目給定 $P(X=0)=p$，代入卜瓦松分布在 $k=0$ 時的機率： $$ p=e^{-\lambda}. $$ 兩邊取自然對數，得 $\ln(p)=-\lambda$，所以 $\lambda=-\ln(p)$。由於卜瓦松分布的平均數等於 $\lambda$，故 $$ E(X)=\lambda=-\ln(p). $$ 選項分析

Answer

答案：B

Question 33

$X、Y、Z$ 是獨立的隨機變數且平均數為 $\mu$，變異數為 $\sigma^2$，請問 $X+cY$ 與 $Y+cZ$ 的相關係數為何？ (A) $\displaystyle\frac{2c}{1+c^2}$ (B) $\displaystyle\frac{c}{1+c^2}$ (C) $\displaystyle\frac{2c^2}{1+c^2}$ (D) $\displaystyle\frac{c^2}{(1+c^2)^2}$

Accepted Answer

核心觀念 相關係數定義為兩變數的共變異數除以各自標準差的乘積： $$ ho{U,V}=\frac{\operatorname{Cov}(U,V)} {\sqrt{\operatorname{Var}(U)\operatorname{Var}(V)}}. $$ 本題要用到線性組合的變異數與共變異數公式。由於 $X、Y、Z$ 相互獨立，任兩者的共變異數皆為 $0$。 解題方法 令 $U=X+cY$、$V=Y+cZ$。先計算兩者的變異數： $$ \operatorname{Var}(U) =\operatorname{Var}(X)+c^2\operatorname{Var}(Y) +2c\operatorname{Cov}(X,Y) =(1+c^2)\sigma^2, $$ $$ \operatorname{Var}(V) =\operatorname{Var}(Y)+c^2\operatorname{Var}(Z) +2c\operatorname{Cov}(Y,Z) =(1+c^2)\sigma^2. $$ 再計算共變異數。利用共變異數對線性組合的展開式： $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(U,V) &=\operatorname{Cov}(X+cY,\;Y+cZ)\ &=\operatorname{Cov}(X,Y)+c\operatorname{Cov}(X,Z) +c\operatorname{Cov}(Y,Y)+c^2\operatorname{Cov}(Y,Z)\ &=c\sigma^2. \end{aligned} $$

Answer

答案：B

Question 34

患者必須進行一系列的注射。任何一次注射出現不良反應的機率為 $0.1$，並且在兩次不良反應後必須停止注射。如果這些注射是獨立的，注射暫停時正好有 $5$ 個注射是沒有不良反應的機率為何？ (A) $C2^7(0.1)^2(0.9)^5$ (B) $C1^6(0.1)^2(0.9)^5$ (C) $C1^7(0.1)^2(0.9)^5$ (D) $C2^6(0.1)^2(0.9)^5$

Accepted Answer

核心觀念 每次注射的不良反應機率為 $0.1$，無不良反應機率為 $0.9$，且各次注射彼此獨立。注射在出現第 $2$ 次不良反應時停止，因此停止時恰有 $5$ 次注射無不良反應，代表停止前共出現 $5$ 次無不良反應與 $2$ 次不良反應。 解題方法 停止的關鍵是「第 $2$ 次不良反應」。因此最後一次注射必須是不良反應；在它之前的 $6$ 次注射中，必須有 $1$ 次不良反應及 $5$ 次無不良反應。 前 $6$ 次中的那 1 次不良反應有 $C1^6$ 種位置安排。每一種安排的機率都是 $(0.1)^2(0.9)^5$，其中兩次不良反應包含最後一次注射，五次無不良反應則在前六次中。 $$ C1^6(0.1)^2(0.9)^5 $$ 所以機率式對應選項 (B)。 選項分析

Answer

答案：B

Question 35

已知 $X1、X2$ 為期望值 $\mu$，變異數 $\sigma^2$ 的獨立隨機變數。令 $\overline{X}=\frac{X1+X2}{2}$，下列敘述何者正確？ (A) $P(|\overline{X}-\mu|\geq2\sigma)\leq\frac{1}{8}$ (B) $P(|\overline{X}-\mu|\geq2\sigma)\geq\frac{1}{4}$ (C) $P(|\overline{X}-\mu|<2\sigma)\geq\frac{15}{16}$ (D) $P(|\overline{X}-\mu|<2\sigma)=\frac{1}{2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考獨立隨機變數的樣本平均數之變異數，以及切比雪夫不等式。若 $X1、X2$ 相互獨立，且各自的期望值為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$，則 $$ E(\overline{X})=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\overline{X}) =\operatorname{Var}\left(\frac{X1+X2}{2}\right) =\frac{\sigma^2+\sigma^2}{4} =\frac{\sigma^2}{2}. $$ 切比雪夫不等式指出，對期望值為 $\mu$、變異數有限的隨機變數 $Y$，任意 $a0$ 皆有 $$ P(|Y-\mu|\geq a)\leq \frac{\operatorname{Var}(Y)}{a^2}. $$ 解題方法 令 $Y=\overline{X}$，並取 $a=2\sigma$。代入切比雪夫不等式： $$ P(|\overline{X}-\mu|\geq 2\sigma) \leq \frac{\operatorname{Var}(\overline{X})}{(2\sigma)^2} =\frac{\sigma^2/2}{4\sigma^2} =\frac{1}{8}. $$ 因此，選項 (A) 正確。 選項分析

Answer

答案：A

Question 36

國外一項大規模的調查發現，$1,000$ 位女性受訪者中，$200$ 位有使用理財機器人之經驗，而 $1,200$ 位男性受訪者中，$300$ 位有使用理財機器人之經驗。我們若以 $z$ 檢定判定兩性使用理財機器人比例是否不同，則此 $z$ 檢定統計量之值最接近下列何者？ (A) $-2.18$ (B) $-2.48$ (C) $-2.78$ (D) $-3.08$

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗兩個獨立樣本比例的假設檢定。虛無假設為兩性使用理財機器人的比例相同，即 $H0:p1=p2$；對立假設為比例不同，即 $H1:p1
e p2$。 在虛無假設成立時，合併兩組資料估計共同比例，並以合併比例計算檢定統計量： $$ z=\frac{\hat p1-\hat p2} {\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n1}+\frac{1}{n2}ight)}}, \qquad \hat p=\frac{x1+x2}{n1+n2}. $$ 解題方法 令女性為第 1 組、男性為第 2 組： $$ \hat p1=\frac{200}{1000}=0.20,\qquad \hat p2=\frac{300}{1200}=0.25. $$ 合併比例為： $$ \hat p=\frac{200+300}{1000+1200} =\frac{500}{2200}\approx 0.2273. $$ 因此標準誤為：

Answer

答案：C

Question 37

設 $(X1,X2,\ldots,Xn)$ 為取自某常態母體的一組隨機樣本。若 $a0$ 且 $[\overline{X}-a,\overline{X}+a]$ 為母體平均數 $\mu$ 的一個區間估計，下列何者不能使得信賴區間長度 $2a$ 變小？ (A) 母體平均數變小 (B) 增加樣本量 (C) 母體變異數變小 (D) 降低估計的信賴係數（信心水準）

Accepted Answer

核心觀念 常態母體平均數 $\mu$ 的信賴區間，區間長度取決於估計量的抽樣誤差、樣本量與信賴係數。題目給定區間為 $[\overline{X}-a,\overline{X}+a]$，其長度是 $2a$。當母體變異數已知時，雙尾信賴區間的半長度為 $$ a=z{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, $$ 其中 $1-\alpha$ 為信賴係數，$\sigma^2$ 為母體變異數，$n$ 為樣本量。母體變異數未知時，則以樣本標準差 $s$ 及 $t$ 分配臨界值計算；影響方向相同。 解題方法 逐一判斷各因素對區間半長度 $a$ 的影響。增加樣本量會使標準誤下降；降低母體變異數會使標準差下降；降低信賴係數會使臨界值下降。這些改變都會縮短區間。 母體平均數 $\mu$ 不出現在半長度公式中，只會影響區間中心。因此，母體平均數變小不會使信賴區間長度 $2a$ 變小。 選項分析

Answer

答案：A

Question 38

令 $X$ 代表每位高中生平均每天研讀數學的時間（以小時計），則 $W=7(24-X)$ 代表每位高中生平均每天花在研讀數學以外的時間。令 $Y$ 代表每位高中生數學學科能力測驗的成績。 $X、Y$ 之相關係數為 $R_{x,y}$ ， $W、Y$ 之相關係數為 $R_{w,y}$ ，則 $R_{x,y}$ 與 $R_{w,y}$ 兩數之間的關係，下列選項何者正確？

Accepted Answer

核心觀念 相關係數衡量兩個變數線性關聯的方向與強度。若將其中一個變數加上常數，相關係數不變；若乘上負常數，相關係數會改變正負號，但絕對值不變。 一般而言，若 $W=a+bX$ 且 $b
e 0$，則 $$ R{W,Y}=\frac{\operatorname{Cov}(W,Y)}{\sigmaW\sigmaY} =\frac{b\operatorname{Cov}(X,Y)}{|b|\sigmaX\sigmaY} =\frac{b}{|b|}R{X,Y}. $$ 因此，$b0$ 時相關係數不變；$b<0$ 時相關係數變號。 解題方法 題目給定 $$ W=7(24-X)=168-7X. $$ 這是 $X$ 的線性轉換，其中常數項為 $168$，$X$ 的係數為 $-7$。加上常數不影響相關係數；乘以負數會使相關方向相反。因此 $$ R{W,Y}=-R{X,Y}. $$

Answer

答案：D

Question 39

$a、b、c、d$ 的算術平均數為 $4$，標準差為 $8$，求 $a+3、b+3、c+3、d+3$ 的算術平均數及標準差為何？ (A) $7、7$ (B) $7、8$ (C) $6、8$ (D) $7、6$

Accepted Answer

核心觀念 資料中的每個數值都加上同一常數 $k$ 時，算術平均數會增加 $k$；標準差則不變。標準差衡量各數值相對於平均數的離散程度，整組數值平移後，各數值與平均數的差不變。 解題方法 原資料 $a、b、c、d$ 的算術平均數為 $4$，因此： $$ \frac{a+b+c+d}{4}=4 $$ 每個數值都加上 $3$ 後，新平均數為： $$ \frac{(a+3)+(b+3)+(c+3)+(d+3)}{4} =\frac{a+b+c+d}{4}+3 =4+3=7 $$ 標準差不受加上常數影響，因此新標準差仍為 $8$。故新資料的算術平均數及標準差為 $7、8$。 選項分析

Answer

答案：B

Question 40

若資料之相對次數呈現對稱的圖形，請問下列敘述何者正確？ (A) 平均數接近 $0$ (B) 中位數接近 $0$ (C) 平均數與眾數非常相近 (D) 平均數與中位數非常相近

Accepted Answer

核心觀念

相對次數分配圖若呈現對稱，資料左右兩側大致平衡。對稱分配的中心位置通常由平均數與中位數共同代表，因此兩者會相同或非常接近。這題考的是分配形狀與集中趨勢量數的關係。

解題方法

觀察分配是否對稱，並判斷平均數與中位數的位置關係。平均數會受到資料值影響；中位數則是排序後位於中央的數值。對稱分配中，中心兩側互相平衡，平均數通常落在分配中心，與中位數相同或接近。

題目只說分配對稱，沒有指定資料中心在 $0$ ，所以不能推論平均數或中位數接近 $0$ 。

選項分析

Answer

答案：D

111 初等考試五等 統計 統計學大意 考古題詳解

第 1 題

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