107 原住民特考三等 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題評量完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）​之單因子變方分析（Analysis of Variance, ANOVA）及後續之最小顯著差異法（Least Significant Difference, LSD）​多重比較。

1. 單因子完全隨機設計之變異分解： 總變異（Total）可分解為處理間變異（Treatment）與試驗誤差（Error）： $SS_{Total} = SS_{Treatment} + SS_{Error}$ 對應之自由度關係為： $df_{Total} = df_{Treatment} + df_{Error}$ 若有 $k$ 個處理，每個處理重複 $r$ 次，則總觀察值數 $N = kr$。其自由度分別為： $df_{Treatment} = k - 1, \quad df_{Error} = k(r - 1) = N - k, \quad df_{Total} = N - 1$

2. 假說檢定與 $F$ 檢定準則：

• 虛無假說 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$（各處理之產量母體平均數均相等）
• 對立假說 $H_1:$ 至少有兩個處理之產量母體平均數不相等
• 檢定統計量：$F = \frac{MS_{Treatment}}{MS_{Error}} \sim F(k-1, N-k)$
• 拒絕域：當計算之 $F > F_{\alpha, k-1, N-k}$ 時，拒絕 $H_0$。

3. 費雪最小顯著差異法（Fisher's LSD）： 當變方分析之 $F$ 檢定達顯著水準時，進一步檢驗任意兩處理平均數差值之絕對值是否大於臨界值 $LSD$： $LSD_{\alpha} = t_{\alpha/2, \, df_E} \times \sqrt{\frac{2 \times MSE}{r}}$ 若 $|\bar{y}_i - \bar{y}_j| \ge LSD_{\alpha}$，則判定第 $i$ 處理與第 $j$ 處理之平均數具有統計顯著差異。

解題方法

（一）單因子變方分析與假說檢定

步驟 1：基本統計量計算 試驗處理數 $k = 3$（$N1, N2, N3$），重複次數 $r = 4$，總試驗單位數 $N = 3 \times 4 = 12$。

• 各處理總和（$T_i$）與平均數（$\bar{y}_i$）：
• $N1$ 處理總和：$T_1 = 55 + 59 + 62 + 50 = 226$；平均數 $\bar{y}_1 = \frac{226}{4} = 56.50$
• $N2$ 處理總和：$T_2 = 66 + 71 + 74 + 68 = 279$；平均數 $\bar{y}_2 = \frac{279}{4} = 69.75$
• $N3$ 處理總和：$T_3 = 88 + 79 + 78 + 82 = 327$；平均數 $\bar{y}_3 = \frac{327}{4} = 81.75$
• 全體總和（$G$）： $G = \sum_{i=1}^3 T_i = 226 + 279 + 327 = 832$

步驟 2：平方和（Sum of Squares, SS）推導與計算

• 矯正項（Correction Factor, $CF$）： $CF = \frac{G^2}{N} = \frac{832^2}{12} = \frac{692224}{12} \approx 57685.33$

• 總平方和（Total Sum of Squares, $SST$）： 各觀察值平方和： $\sum \sum y_{ij}^2 = (55^2 + 59^2 + 62^2 + 50^2) + (66^2 + 71^2 + 74^2 + 68^2) + (88^2 + 79^2 + 78^2 + 82^2)$ $\sum \sum y_{ij}^2 = 12850 + 19497 + 26793 = 59140$ $SST = \sum \sum y_{ij}^2 - CF = 59140 - 57685.33 = 1454.67$

• 處理平方和（Treatment Sum of Squares, $SSTr$）： $SSTr = \sum_{i=1}^3 \frac{T_i^2}{r} - CF = \frac{226^2 + 279^2 + 327^2}{4} - CF$ $SSTr = \frac{51076 + 77841 + 106929}{4} - 57685.33 = \frac{235846}{4} - 57685.33 = 58961.50 - 57685.33 = 1276.17$

• 機差（誤差）平方和（Error Sum of Squares, $SSE$）： $SSE = SST - SSTr = 1454.67 - 1276.17 = 178.50$

步驟 3：自由度與均方（Mean Square, MS）計算

• $df_{Treatment} = k - 1 = 3 - 1 = 2$
• $df_{Error} = N - k = 12 - 3 = 9$
• $df_{Total} = N - 1 = 12 - 1 = 11$
• 處理均方：$MSTr = \frac{SSTr}{df_{Treatment}} = \frac{1276.17}{2} = 638.08$
• 機差均方：$MSE = \frac{SSE}{df_{Error}} = \frac{178.50}{9} = 19.83$

步驟 4：$F$ 檢定值計算 $F = \frac{MSTr}{MSE} = \frac{638.08}{19.83} \approx 32.17$

步驟 5：編製變方分析表（ANOVA Table）

核心觀念

本題評量費雪（R. A. Fisher）所奠定的試驗設計三大基本原則（Three Basic Principles of Experimental Design）​中之兩大核心支柱：

1. 隨機化（Randomization）：建立線性模型中「試驗誤差獨立性（Independence）」與「估計不偏性（Unbiasedness）」的數理基礎，是統計推論（假設檢定、信賴區間）具有有效性（Validity）​的必要條件。
2. 重複（Replication）：提供估計試驗誤差（Experimental Error Variance, $\sigma^2$）所需的自由度（Degrees of Freedom），並藉由大數法則與中心極限定理降低平均數的標準誤差（Standard Error, $SE$），以提高試驗的精確度（Precision）​與檢定力（Statistical Power, $1-\beta$）。

解題方法

本題為典型申論題型，作答切入點應涵蓋「統計學理定義」、「統計理論假設之滿足」及「實際試驗操作之功能」三個層次：

• 子題（一）解題架構：先給予隨機化的嚴格定義（等機率原則），再由外而內論述其三大關鍵功能：消除系統性偏差（保證不偏性）、滿足誤差獨立性假設（符合 ANOVA 假設前提 $e_{ij} \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, \sigma^2)$），以及賦予顯著性檢定與統計推論客觀有效性。
• 子題（二）解題架構：界定重複的本質（施用於獨立試驗單元），並從變方分析角度推導其四大必備原因：估計試驗誤差變異數（提供誤差自由度）、降低處理平均數標準誤差（以數學式 $SE(\bar{Y}) = \sigma/\sqrt{r}$ 輔助證明）、提高統計檢定力（降低型二誤差 $\beta$），以及擴大試驗推論廣度。

解題技巧

1. 關鍵字精準記憶口訣：

• 隨機化 $\rightarrow$ 「消除偏差、確保獨立、提供有效性」（注意：隨機化不能降低試驗誤差大小，而是確保誤差估計客觀不偏）。
• 重複 $\rightarrow$ 「估計誤差、降低標準誤差、提高檢定力」。

2. 常犯陷阱澄清：

• 混淆重複（Replication）與取樣重複（Subsampling）：在農藝試驗中，同一小區內採樣 5 株植株測量株高，屬於「小區內取樣（重複觀測）」，不能視為試驗設計中的「處理重複」；唯有將處理獨立指派給不同的小區（試驗單元），才具備真正的重複自由度。
• 誤認隨機化能縮小誤差：控制並降低試驗誤差靠的是「機區劃分（Blocking）」與「增加重複數（$r$）」，隨機化是為了避免環境梯度造成系統性高估或低估。

【答案】

（一）何謂隨機化（Randomization）

1. 隨機化之定義

隨機化是指在試驗配置過程中，運用純粹客觀的機率機制（如亂數表、逢機號碼產生器或抽籤法），將各試驗處理（Treatments）指派至試驗單元（Experimental Units）上。其核心在於：每一個試驗單元接受任何一個處理的機率均完全相等，且各指派事件之間彼此獨立，不受人為主觀意識或試驗者經驗所干預。

2. 隨機化之核心目的與功能

在農業田間試驗設計中，隨機化為變方分析（ANOVA）及統計推論提供學理依據，其主要原因如下：

• 消除系統性偏差（Elimination of Systematic Bias）： 田間試驗常存在不可避免的環境梯度（如土壤肥力變化、排水坡度、微氣候差異、光照遮蔽等）或時間效應（如調查先後順序、人為疲勞度）。

核心觀念

本題旨在測驗試驗設計中拉丁方設計（Latin Square Design, 簡稱 LSD）​之理論與應用架構。主要考核的核心重點包括：

1. 雙向區集控制（Two-way Blocking）：當試驗環境存在兩個互相垂直或獨立的外在變異來源時，利用拉丁方設計同時控制列（Row）與行（Column）之異質性，以提高處理比較的精確度。
2. 線性統計模式之建立與成分定義：理解加法性線性模式（Additive Model），各項效應（母體平均、列區集、行區集、處理、試驗機差）之符號標記與統計假設（如常態性、獨立性、均質性及和為零之限制條件）。
3. 變方分析（ANOVA）自由度分割原理：總自由度拆解為列區集、行區集、處理與機差四個互相正交的部分。

解題方法

（一）線性統計模式與成分意義

在標準拉丁方設計中，處理數 $r$ 與列數、行數皆相等。本題中丹參品種數 $r = 4$、單層床架數（列區集）$r = 4$、培養基廠牌數（行區集）$r = 4$。其試驗單位總數為 $r^2 = 16$。

1. 線性統計模式（Linear Statistical Model） $Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \epsilon_{ijk}$ （亦常表示為 $Y_{ij(k)} = \mu + \rho_i + \gamma_j + \tau_k + \epsilon_{ij(k)}$，其中下標 $k$ 視列 $i$ 與行 $j$ 的配置而定，$i = 1, 2, 3, 4$；$j = 1, 2, 3, 4$；$k = 1, 2, 3, 4$）

2. 模式各成分之意義與假設

• $Y_{ijk}$：表示置於第 $i$ 組單層床架（列區集）、採用第 $j$ 種培養基廠牌（行區集）、種植第 $k$ 個丹參品種（處理）之產量觀測值。
• $\mu$：總體平均值（Grand mean）。
• $\rho_i$：第 $i$ 個列區集（單層床架）之固定效應，滿足固定模式限制條件 $\sum_{i=1}^4 \rho_i = 0$。
• $\gamma_j$：第 $j$ 個行區集（培養基廠牌）之固定效應，滿足固定模式限制條件 $\sum_{j=1}^4 \gamma_j = 0$。
• $\tau_k$：第 $k$ 個丹參品種（處理）之固定效應，滿足固定模式限制條件 $\sum_{k=1}^4 \tau_k = 0$。
• $\epsilon_{ijk}$：隨機試驗機差（Experimental error），假設其服從獨立且同常態分配，即 $\epsilon_{ijk} \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$。
• 基本假設：本模式為可加性模式（Additive model），假設區集與處理間、以及兩區集彼此之間皆無交感效應（No interaction）。

（二）變方分析表中各變因之自由度

拉丁方階數為 $r = 4$。自由度分割計算如下：

1. 總變異（Total）： $df_{\text{Total}} = r^2 - 1 = 4^2 - 1 = 15$
2. 列區集（單層床架, Rows）： $df_{\text{Row}} = r - 1 = 4 - 1 = 3$
3. 行區集（培養基廠牌, Columns）： $df_{\text{Col}} = r - 1 = 4 - 1 = 3$
4. 處理（丹參品種, Treatments）： $df_{\text{Trt}} = r - 1 = 4 - 1 = 3$

核心觀念

1. 簡單線性迴歸模型（Simple Linear Regression Model）： 模式為 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$。其中 $X_i$ 為自變數（肥料用量），$Y_i$ 為應變數（玉米產量），$\epsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$ 為獨立且服從常態分布之隨機誤差。
2. 總變異之平方和分解（ANOVA 恆等式）： $SS_{total} = SS_{reg} + SS_{res}$

• 總平方和（Total Sum of Squares）：$SS_{total} = SS_{yy} = \sum (Y_i - \bar{Y})^2 = \sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y_i)^2}{n}$
• 迴歸平方和（Regression Sum of Squares）：$SS_{reg} = \hat{\beta}_1 SS_{xy} = \frac{SS_{xy}^2}{SS_{xx}}$
• 殘差平方和（Residual Sum of Squares）：$SS_{res} = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2 = SS_{total} - SS_{reg}$

3. 決定係數（Coefficient of Determination, $r^2$）： $r^2 = \frac{SS_{reg}}{SS_{total}} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{total}} = \frac{SS_{xy}^2}{SS_{xx} \cdot SS_{yy}}$ 在簡單線性迴歸中，決定係數 $r^2$ 恰等於皮爾森積差相關係數（Pearson correlation coefficient）$r$ 的平方，介於 $0$ 與 $1$ 之間（$0 \le r^2 \le 1$）。

解題方法

（一）計算決定係數 $r^2$（15 分）

步驟一：整理樣本基本統計量 樣本觀測數 $n = 6$。

• $\sum X_i = 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 22$
• $\sum Y_i = 12 + 13 + 14 + 17 + 16 + 18 = 90$
• $\bar{X} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$，$\bar{Y} = \frac{90}{6} = 15$
• $\sum X_i^2 = 2^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 4 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 94$
• $\sum Y_i^2 = 12^2 + 13^2 + 14^2 + 17^2 + 16^2 + 18^2 = 144 + 169 + 196 + 289 + 256 + 324 = 1378$
• $\sum X_i Y_i = (2 \times 12) + (2 \times 13) + (3 \times 14) + (4 \times 17) + (5 \times 16) + (6 \times 18) = 24 + 26 + 42 + 68 + 80 + 108 = 348$

步驟二：計算離均差平方和與交叉乘積和

• 自變數離均差平方和 $SS_{xx}$： $SS_{xx} = \sum X_i^2 - \frac{(\sum X_i)^2}{n} = 94 - \frac{22^2}{6} = 94 - \frac{484}{6} = 94 - \frac{242}{3} = \frac{40}{3}$
• 應變數離均差平方和（總平方和 $SS_{total}$）$SS_{yy}$： $SS_{yy} = \sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y_i)^2}{n} = 1378 - \frac{90^2}{6} = 1378 - \frac{8100}{6} = 1378 - 1350 = 28$
• 離均差交叉乘積和 $SS_{xy}$： $SS_{xy} = \sum X_i Y_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n} = 348 - \frac{22 \times 90}{6} = 348 - 330 = 18$

步驟三：計算迴歸平方和 $SS_{reg}$ 與決定係數 $r^2$

• 迴歸平方和 $SS_{reg}$：