108 原住民特考三等 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題評量雙因子複因子試驗（Two-factor Factorial Experiment）​結合隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）​之田間試驗規劃與變方分析（ANOVA）自由度分解。

1. 處理結構（Treatment Structure）： 試驗包含兩個固定因子（Fixed Factors）：

• 因子 A（灌溉程度，記為 $I$）：水準數 $a = 3$（$I_1, I_2, I_3$）。
• 因子 B（地方品系，記為 $V$）：水準數 $b = 3$（$V_1, V_2, V_3$）。 處理組合總數為 $t = a \times b = 3 \times 3 = 9$ 種。

2. 設計結構（Design Structure）：

• 採用隨機完全區集設計（RCBD），重複數 $r = 4$（即設立 4 個區集，Blocks）。
• 總試區數（Total experimental plots）為 $N = a \times b \times r = 3 \times 3 \times 4 = 36$ 個小區。
• 區集劃分原則：區集內部環境因子（土壤肥力、坡度、水分等）應維持高度同質（Homogeneous），區集之間容許存在異質性（Heterogeneous）。
• 逢機原則：在每一個區集內，將 9 種處理組合完全獨立、隨機分配至 9 個小區中。

3. 變方分析自由度分解原則：

• 總自由度：$df_{\text{Total}} = N - 1 = abr - 1$
• 區集自由度：$df_{\text{Block}} = r - 1$
• 處理總自由度：$df_{\text{Trt}} = ab - 1$
• 因子 $I$ 自由度：$df_I = a - 1$
• 因子 $V$ 自由度：$df_V = b - 1$
• 交互作用 $I \times V$ 自由度：$df_{I \times V} = (a - 1)(b - 1)$
• 機差自由度（試驗誤差）：$df_{\text{Error}} = (r - 1)(ab - 1)$

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解題方法

（一）試驗設計、考量因素、田區配置與配置簡圖

1. 考量之因素：

• 處理因子與交互作用：探討 3 種灌溉程度（$I_1, I_2, I_3$）與 3 個臺灣藜品系（$V_1, V_2, V_3$）之主效應（Main effects），以及灌溉與品系間是否存在顯著之交互作用（Interaction effect, $I \times V$）。處理組合共計 9 種：$I_1V_1, I_1V_2, I_1V_3, I_2V_1, I_2V_2, I_2V_3, I_3V_1, I_3V_2, I_3V_3$。
• 環境變異控制（局部控制，Local Control）：若試驗田區存在已知的單向環境梯度（例如沿排水方向的水分梯度或土壤肥力梯度），應使區集長邊與環境梯度平行、區集排列與梯度垂直，確保同一區集內環境均勻一致。
• 田間灌排水管理與隔離：由於涉及不同灌溉處理，相鄰小區間必須設立隔離溝（田埂或防滲設施），防止灌溉水外溢與側滲干擾鄰近試區；田區四周應設保護行（Border rows），消除邊緣效應（Border effect）。

2. 田區配置之情況：

• 全區劃分為 4 個相互平行的區集（Block I、Block II、Block III、Block IV）。
• 每個區集細分為 9 個面積大小相同、形狀一致之小區（Plot），全田區共 36 個小區。
• 於各區集內，以抽籤或隨機亂數表將 9 種處理組合完全逢機排列分配至 9 個小區，各區集的逢機排列各自獨立。

3. 田區配置簡圖： 以 4 個區集橫向排列為例，每區集內 9 小區進行獨立逢機配置（如下示意圖）：

 【田區周圍設置保護行（Border Rows）】
---------------------------------------------------------------------
 區集 I (Block I) 區集 II (Block II) 區集 III (Block III) 區集 IV (Block IV)
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
| 1. I2V1 | | 10. I3V2 | | 19. I1V3 | | 28. I2V3 |
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
| 2. I1V3 | | 11. I1V1 | | 20. I3V1 | | 29. I1V1 |
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
| 3. I3V2 | | 12. I2V3 | | 21. I2V2 | | 30. I3V3 |
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
| 4. I1V1 | | 13. I1V2 | | 22. I1V1 | | 31. I2V1 |
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
| 5. I3V3 | | 14. I3V1 | | 23. I3V3 | | 32. I1V2 |
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
| 6. I2V2 | | 15. I2V1 | | 24. I2V3 | | 33. I3V1 |
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
| 7. I1V2 | | 16. I3V3 | | 25. I1V2 | | 34. I2V2 |
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
| 8. I3V1 | | 17. I1V3 | | 26. I2V1 | | 35. I1V3 |
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
| 9. I2V3 | | 18. I2V2 | | 27. I3V2 | | 36. I3V2 |
+-------------------+ +-------------------+ +-------------------+ +-------------------+
 (小區間設隔離溝) (小區間設隔離溝) (小區間設隔離溝) (小區間設隔離溝)
---------------------------------------------------------------------
 【田區周圍設置保護行（Border Rows）】

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（二）變方分析表之變因及自由度

根據雙因子複因子隨機完全區集設計，變因包含：區集（Block）、處理（Treatment，可進一步細分為灌溉主效應 $I$、品系主效應 $V$ 及交互作用 $I \times V$）、機差（Error）與總變異（Total）。

各項自由度推導計算如下：

1. 總變異（Total）： $df_{\text{Total}} = abr - 1 = (3 \times 3 \times 4) - 1 = 36 - 1 = 35$
2. 區集（Block）： $df_{\text{Block}} = r - 1 = 4 - 1 = 3$
3. 處理（Treatment）： $df_{\text{Trt}} = ab - 1 = (3 \times 3) - 1 = 8$

• 灌溉程度（$I$）： $df_I = a - 1 = 3 - 1 = 2$
• 品系（$V$）： $df_V = b - 1 = 3 - 1 = 2$
• 交互作用（$I \times V$）： $df_{I \times V} = (a - 1)(b - 1) = (3 - 1)(3 - 1) = 2 \times 2 = 4$

4. 機差（Error）：

核心觀念

本題旨在評量考生對統計學與試驗設計基礎理論的掌握程度，核心觀念包含：

1. 試驗誤差（Experimental Error）的本質： 在試驗設計的線性模型中（例如單因子完全逢機設計 $Y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}$），試驗誤差即為機差項（$\varepsilon_{ij}$），代表在相同處理條件下，試驗單位間無法由處理效應或已控制之系統因子所解釋的隨機變異。其統計假設通常為獨立且常態同變異，即 $\varepsilon_{ij} \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, \sigma^2)$。
2. 費雪（R. A. Fisher）試驗設計三原則：

• 重複（Replication）：提供試驗誤差的有效估計值，並降低平均數之標準誤。
• 逢機（Randomization）：消除試驗者與外在因子的系統性偏差，確保誤差項的獨立性與估計的無偏性。
• 局部控制／區集（Local Control / Blocking）：將已知或可預測的環境變異自機差中分離，直接縮減試驗誤差均方（$MSE$）。

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解題方法

申論此題宜採「結構化分層展開」，依序釐清「誤差來源與實例」以及「三原則對應機制」：

一、試驗數據中試驗誤差的來源與實例

試驗誤差並非指人為疏失或計算錯誤，而是客觀存在的非可控變異，主要來源可歸納為三大類：

1. 試驗材料本身的固有遺傳與生理變異（Inherent Variability）：

• 說明：即使屬於同品種、同品系，不同個體間仍存在微小的基因型差異或生理發育不同步。
• 實例：在水稻產量試驗中，雖然使用同一種原種水稻，各植株種子胚的活力、分櫱能力仍有先天的生理差異，導致相同肥培處理下產量仍不完全相同。

2. 外在環境條件的隨機波動（Environmental Variation）：

• 說明：田間微環境（Micro-environment）在空間或時間上的隨機非均質性。
• 實例：田間試驗小區內局部土壤微地形起伏、地下水分滲透率差異、土壤微生物菌相分布不均，或試驗期間局部陣風、光影遮蔽等不可抗力因素。

3. 操作技術與量測系統的變異（Operational and Measurement Variation）：

• 說明：在樣品製備、施工作業或儀器讀數時所產生的隨機浮動。
• 實例：噴灑化學藥劑時微量氣流飄移導致各小區實際附著藥量略有偏差；或使用葉綠素儀（SPAD）測量葉片時，取樣位置、角度與儀器電子微小漂移產生的讀數波動。

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二、試驗設計三原則如何解決或降低其干擾

試驗設計三原則並非單純「消除」誤差（隨機誤差不可能完全為零），而是透過不同維度對誤差進行客觀估計、去除偏差與直接縮減：

原則	對試驗誤差的作用機制	數學與統計依據
重複 (Replication)	1. 產生機差自由度（Degrees of Freedom），使計算機差均方（$MSE$）成為可能，提供顯著性檢定基準。<br>2. 降低處理平均數的變異，提升試驗精確度與推論範圍。	處理平均數標準誤：<br>$SE_{\bar{Y}} = \frac{\sigma}{\sqrt{r}}$<br>增加重複數 $r$ 可有效縮小平均數標準誤。
逢機 (Randomization)	1. 打破處理與未知環境因子（如肥力梯度、病蟲源方向）之間的共變關係，防止假性相關。<br>2. 確保誤差項滿足相互獨立之統計假定，使 $F$ 檢定之顯著水準（$\alpha$）維持無偏。	消除系統性偏差（Systematic Bias），將未知外在干擾轉化為符合 $\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$ 的隨機誤差。
局部控制 (Local Control)	1. 將試驗場地依環境梯度劃分為同質小區（區集），將已知的環境變異從機差平方和中分離。<br>2. 直接降低殘差變異數，大幅提升檢定力（Power）。

核心觀念

本題為完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）的經典題型，評量考生在「變方同質（齊一）性前提下的信賴區間估計」、「單因子變方分析（One-way ANOVA）」、「事後多重比較（Fisher's LSD 法）」以及「推論統計學理本質比較」的整合能力。

1. 隨機誤差變方均值（變方同質性）： 母體假設為 $\sigma_A^2 = \sigma_B^2 = \sigma_C^2 = \sigma^2$。在此前提下，各品種的變方估計值應合併為「均方誤差」（Mean Square Error, $MSE$），以獲得自由度較大（$df_E = 6$）且更具檢定力的共同變方不偏估計量。
2. 單一處理平均數的信賴區間： 在變方同質前提下，品種 $i$ 之母體平均數 $\mu_i$ 的 $(1-\alpha)\times 100\%$ 信賴區間公式為： $\bar{Y}_i \pm t_{\alpha/2, \, df_E} \times \sqrt{\frac{MSE}{r}}$
3. 變方分析（ANOVA）之平方和分解： $SS_{Total} = SS_{Trt} + SS_E$ 檢定虛無假說 $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$，檢定統計量為 $F = \frac{MS_{Trt}}{MSE}$。
4. 最小顯著差異法（Fisher's Protected LSD Test）： 當 ANOVA 之 $F$ 檢定達到顯著時，用以進行所有處理對的兩兩比較。臨界差值公式為： $LSD_{\alpha} = t_{\alpha/2, \, df_E} \times \sqrt{\frac{2 MSE}{r}}$
5. 信賴區間重疊法 vs. 假說檢定（LSD）的統計學理差異：

• 「以個別 95% 信賴區間是否重疊」來判定兩平均數是否有顯著差異，本質上是錯誤且極度保守（conservative）​的方法，會大幅增加型 II 錯誤（Type II Error），嚴重折損檢定力（Power）。
• 正確的推論統計應針對「兩平均數之差（$\mu_i - \mu_j$）」建構檢定統計量與差值的信賴區間。

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解題方法

基本數據統計彙整

試驗處理數 $k = 3$（品種 A、B、C），各處理重複數 $r = 3$，總試區數 $N = kr = 9$。

• 品種 A：

• 總和：$T_A = 8.9 + 9.2 + 9.5 = 27.6$
• 平均：$\bar{Y}_A = \frac{27.6}{3} = 9.2\text{（噸／公頃）}$
• 平方和：$\sum Y_{Aj}^2 = 8.9^2 + 9.2^2 + 9.5^2 = 79.21 + 84.64 + 90.25 = 254.10$
• 組內離均差平方和：$SS_A = 254.10 - \frac{27.6^2}{3} = 254.10 - 253.92 = 0.18$

• 品種 B：

• 總和：$T_B = 6.9 + 7.1 + 6.7 = 20.7$
• 平均：$\bar{Y}_B = \frac{20.7}{3} = 6.9\text{（噸／公頃）}$
• 平方和：$\sum Y_{Bj}^2 = 6.9^2 + 7.1^2 + 6.7^2 = 47.61 + 50.41 + 44.89 = 142.91$
• 組內離均差平方和：$SS_B = 142.91 - \frac{20.7^2}{3} = 142.91 - 142.83 = 0.08$

• 品種 C：

• 總和：$T_C = 6.7 + 6.3 + 5.9 = 18.9$
• 平均：$\bar{Y}_C = \frac{18.9}{3} = 6.3\text{（噸／公頃）}$
• 平方和：$\sum Y_{Cj}^2 = 6.7^2 + 6.3^2 + 5.9^2 = 44.89 + 39.69 + 34.81 = 119.39$
• 組內離均差平方和：$SS_C = 119.39 - \frac{18.9^2}{3} = 119.39 - 119.07 = 0.32$

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（一）各品種平均產量之 95% 信賴區間與顯著性判斷

1. 合併誤差均方（$MSE$）計算： 依題意「隨機誤差變方均值的前提下」，誤差變異數具備齊一性，故採用各組內誤差平方和合併計算： $SS_E = SS_A + SS_B + SS_C = 0.18 + 0.08 + 0.32 = 0.58$ $df_E = N - k = 9 - 3 = 6$ $MSE = s_p^2 = \frac{SS_E}{df_E} = \frac{0.58}{6} \approx 0.0967$

2. 平均值標準誤（Standard Error of Mean）： $SE(\bar{Y}_i) = \sqrt{\frac{MSE}{r}} = \sqrt{\frac{0.0967}{3}} = \sqrt{\frac{0.58}{18}} \approx 0.1795$

3. $t$ 分布臨界值： 查 $t$ 分布表，$df = 6$、$\alpha = 0.05$（雙尾 $\alpha/2 = 0.025$）： $t_{0.025, \, 6} = 2.447$ 信賴界限半寬（Margin of Error, $ME$）： $ME = t_{0.025, \, 6} \times SE(\bar{Y}_i) = 2.447 \times 0.1795 \approx 0.439 \approx 0.44$

4. 各品種 95% 信賴區間計算：

• 品種 A： $9.2 \pm 0.44 \implies [8.76, \, 9.64]\text{（噸／公頃）}$
• 品種 B： $6.9 \pm 0.44 \implies [6.46, \, 7.34]\text{（噸／公頃）}$
• 品種 C： $6.3 \pm 0.44 \implies [5.86, \, 6.74]\text{（噸／公頃）}$

註：若個別以各組樣本變方（$df = 2, t_{0.025, 2} = 4.303$）計算，信賴區間分別為：A 組 $[8.45, 9.95]$、B 組 $[6.40, 7.40]$、C 組 $[5.31, 7.29]$。因題幹明示「隨機誤差變方均值」，以合併 $MSE$ 計算最符合試驗設計學理與題意。

5. 依信賴區間闡述品種平均產量間之差異：

• 品種 A 與 品種 B、C：品種 A 的信賴區間 $[8.76, 9.64]$ 與品種 B $[6.46, 7.34]$、品種 C $[5.86, 6.74]$ 完全沒有重疊（無交集），顯示品種 A 的平均產量顯著高於品種 B 與品種 C。
• 品種 B 與 品種 C：品種 B 的信賴區間 $[6.46, 7.34]$ 與品種 C 的信賴區間 $[5.86, 6.74]$ 在 $[6.46, 6.74]$ 區間內發生重疊。依信賴區間檢視原則，無法判定品種 B 與品種 C 之間存在顯著差異。

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（二）變方分析（ANOVA）及最小顯著差異法（LSD）多重比較

1. 變方分析（ANOVA）：

• 總和 $G = 27.6 + 20.7 + 18.9 = 67.2$
• 矯正項： $CF = \frac{G^2}{N} = \frac{67.2^2}{9} = \frac{4515.84}{9} = 501.76$
• 總平方和（$SS_{Total}$）： $\sum \sum Y_{ij}^2 = 254.10 + 142.91 + 119.39 = 516.40$ $SS_{Total} = 516.40 - 501.76 = 14.64$
• 處理（品種）平方和（$SS_{Trt}$）： $SS_{Trt} = \frac{27.6^2 + 20.7^2 + 18.9^2}{3} - 501.76 = \frac{761.76 + 428.49 + 357.21}{3} - 501.76 = \frac{1547.46}{3} - 501.76 = 515.82 - 501.76 = 14.06$
• 機差平方和（$SS_E$）：

核心觀念

本題考查二因子完全隨機設計的變方分析。氮肥（N）有 3 個水準，鉀肥（K）有 4 個水準，每個處理組合重複 3 次，因此共有 $3\times4\times3=36$ 個觀測值。

二因子變方分析分解為 N 主效應、K 主效應、N×K 交互作用及誤差。自由度與 $F$ 值公式為：

$$\begin{aligned} df_N&=a-1=2, \\ df_K&=b-1=3, \\ df_{N\times K}&=(a-1)(b-1)=6, \\ df_E&=ab(r-1)=3\times4\times2=24, \\ df_T&=abr-1=35,\\ MSE&=\frac{SSE}{df_E}, \qquad F=\frac{MS_{\text{效應}}}{MSE}. \end{aligned}$$

解題方法與計算

由誤差平方和 $SSE=0.2745$ 及誤差自由度 24，先算出誤差均方：

$$MSE=\frac{0.2745}{24}=0.0114375.$$

依題示殘存數字，K 效應的 $F=66.2$；另一組效應數字為 $F=33.68$、$p<0.0001$；交互作用的數字為 $F=2.44$、$p=0.089$。由此反推各效應平方和：

• N 效應：

$$MS_N=33.68(0.0114375)=0.3852,\qquad SS_N=2(0.3852)=0.7704.$$

• K 效應：

$$MS_K=66.2(0.0114375)=0.75656,\qquad SS_K=3(0.75656)=2.2697.$$

• N×K 交互作用：

$$MS_{N\times K}=2.44(0.0114375)=0.02791,\qquad SS_{N\times K}=6(0.02791)=0.1675.$$

• 誤差：

$$MS_E=0.0114375,\qquad SS_E=0.2745.$$

• 總平方和：

$$SS_T=SS_N+SS_K+SS_{N\times K}+SS_E \approx 3.4821.$$

表中另有擷取數字 $0.0375$，但它與上述平方和、均方及 $F$ 值關係不相符，不能納入一致的變方分析表。依現有資料完成的表如下；$F$ 值與 $p$ 值依題示資料列示，平方和與均方依其反推並四捨五入。