107 原住民特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量敘述統計學中「資料整理與摘要」的核心指標，包含：

1. 中央集中趨勢度量（Measures of Central Tendency）：

• 算術平均數（Sample Mean, $\bar{x}$）：所有觀察值的數值總和除以樣本數，易受極端值影響。 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$
• 中位數（Median, $Me$）：資料依大小排列後居於正中央的值，不受極端值影響（具穩健性 Robustness）。當 $n$ 為偶數時，取第 $\frac{n}{2}$ 與第 $\frac{n}{2}+1$ 項之平均。
• 眾數（Mode, $Mo$）：資料中出現次數最多的數值。若出現次數最多者有兩個以上，則為多眾數（Multimodal）。

2. 離散程度度量（Measures of Dispersion）：

• 樣本標準差（Sample Standard Deviation, $s$）：以平均數為中心，衡量各觀察值與平均數之平均離散距離，會受極端值影響。 $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n-1}}$
• 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）：標準差與平均數之比值，為無單位的相對離散指標，適用於不同單位或平均數差異甚大之資料群比較。 $CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$
• 四分位距（Interquartile Range, $IQR$）：第 3 四分位數與第 1 四分位數之差，代表中間 $50\%$ 資料之全距，不受極端值影響。 $IQR = Q_3 - Q_1$

3. 指標選擇原則：

• 當資料對稱且無極端值時，以「平均數」搭配「標準差」為最佳指標。
• 當資料存在極端值（離群值）或呈現明顯偏態時，應選用具穩健性的「中位數」搭配「四分位距」。

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解題方法

首先將 $16$ 天之營業額資料由小到大排序（樣本數 $n = 16$）： $25,\ 715,\ 738,\ 761,\ 853,\ 922,\ 1083,\ 1083,\ 1198,\ 1267,\ 1428,\ 1428,\ 1520,\ 1543,\ 1773,\ 2118$

(一) 計算平均數、中位數及眾數

1. 平均數（$\bar{x}$）： 資料總和： $\sum_{i=1}^{16} x_i = 25 + 715 + 738 + \dots + 2118 = 18455$ $\bar{x} = \frac{18455}{16} = 1153.4375 \text{（元）}$

2. 中位數（$Me$）： 因為 $n = 16$ 為偶數，中位數取第 $\frac{16}{2} = 8$ 筆與第 $8+1 = 9$ 筆資料之算術平均：

• 第 $8$ 筆觀察值 $x_{(8)} = 1083$
• 第 $9$ 筆觀察值 $x_{(9)} = 1198$ $Me = \frac{x_{(8)} + x_{(9)}}{2} = \frac{1083 + 1198}{2} = \frac{2281}{2} = 1140.5 \text{（元）}$

3. 眾數（$Mo$）： 檢視各數值出現頻率：

• $1083$ 出現 $2$ 次
• $1428$ 出現 $2$ 次
• 其餘各數值皆僅出現 $1$ 次 本資料為雙眾數（Bimodal），眾數為 $1083$ 元 及 $1428$ 元。

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(二) 最適合描述中央集中趨勢的測量值與理由

最適測量值：中位數（$1140.5$ 元）。

理由：

1. 存在極端值：資料中最小值為 $25$ 元，與次小值 $715$ 元及整體資料水準（多介於 $700 \sim 2100$ 元）落差極大，屬於明顯的極端低值（離群值）。
2. 平均數易受扭曲：算術平均數牽涉所有數值的相加，對極端值高度敏感，會被 $25$ 元向下拉動，無法客觀代表多數營業日的營業水準。
3. 眾數代表性不足：本資料為雙眾數（$1083$ 與 $1428$），無法給出單一具體之集中趨勢代表值。
4. 中位數具抗抵性（Resistance）：中位數僅由位置決定，不受極端值大小影響，能最穩健且客觀地反映本組營業額的中心趨勢。

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(三) 計算標準差、變異係數及四分位距

1. 標準差（$s$）： 營業額為抽樣觀察所得，應計算樣本標準差（分母為 $n-1 = 15$）。 計算平方和： $\sum_{i=1}^{16} x_i^2 = 25^2 + 715^2 + 738^2 + \dots + 2118^2 = 24998649$ 離差平方和（$SS$）：

核心觀念

本題屬於古典機率論中「條件機率」與「逆機率」的經典題型，評量考生對母體分割、事前與事後機率推論的理解，主要運用以下兩大統計學核心定理：

1. 分割（Partition）與條件機率（Conditional Probability）： 若事件集合 $\{A, B, C, D\}$ 互斥且其聯集為樣本空間 $S$（即滿足 $\sum P(\cdot) = 1$），則構成樣本空間的一個分割。
2. 全機率定理（Law of Total Probability）： 用於求解第 (一) 小題。任一事件 $E$ 的邊際機率（Marginal Probability），可由各分割事件的事前機率（Prior Probability）加權其條件機率求得： $P(E) = \sum_{i} P(A_i) P(E \mid A_i)$
3. 貝氏定理（Bayes' Theorem）： 用於求解第 (二) 小題。在觀測到結果事件 $E$（瑕疵）已發生的條件下，逆推其來自特定原因 $A$ 的事後機率（Posterior Probability）： $P(A \mid E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)} = \frac{P(A) P(E \mid A)}{\sum_{i} P(A_i) P(E \mid A_i)}$

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解題方法

步驟一：定義事件符號與已知條件

• 令 $A, B, C, D$ 分別代表「雨刷零件來自廠商 $A$、廠商 $B$、廠商 $C$ 及廠商 $D$」之事件。
• 令 $E$ 代表「抽取的雨刷零件為瑕疵品」之事件（註：避免使用字母 $D$ 作為瑕疵事件代號，以免與廠商 $D$ 混淆）。

由題意可整理已知機率如下：

• 進貨來源比例（事前機率）： $P(A) = 20\% = 0.20$ $P(B) = 30\% = 0.30$ $P(C) = 25\% = 0.25$ $P(D) = 25\% = 0.25$ （驗證完整分割：$0.20 + 0.30 + 0.25 + 0.25 = 1$）

• 各廠商瑕疵率（條件機率）： $P(E \mid A) = 3\% = 0.030$ $P(E \mid B) = 4\% = 0.040$ $P(E \mid C) = 7\% = 0.070$ $P(E \mid D) = 6.5\% = 0.065$

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步驟二：第 (一) 小題計算——全機率定理

凱凱汽車維修公司所有的雨刷零件瑕疵率，即為在整體庫存中隨機抽到瑕疵品的機率 $P(E)$。 依據全機率定理展開： $P(E) = P(A)P(E \mid A) + P(B)P(E \mid B) + P(C)P(E \mid C) + P(D)P(E \mid D)$

代入各廠商數值計算： $P(E) = (0.20)(0.030) + (0.30)(0.040) + (0.25)(0.070) + (0.25)(0.065)$ $P(E) = 0.0060 + 0.0120 + 0.0175 + 0.01625 = 0.05175$

轉換為百分比表示： $P(E) = 5.175\%$

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步驟三：第 (二) 小題計算——貝氏定理

在已知取出的零件為瑕疵品的條件下，該零件產自廠商 $A$ 的條件機率為 $P(A \mid E)$。 依據貝氏定理公式： $P(A \mid E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)} = \frac{P(A)P(E \mid A)}{P(E)}$

將步驟二求得的分母 $P(E) = 0.05175$ 及分子 $P(A \cap E) = 0.0060$ 代入：

核心觀念

本題考查樣本平均數的抽樣分配（Sampling Distribution of the Sample Mean）與標準常態分配之機率運算：

1. 抽樣分配性質： 設母體隨機變數 $X$ 服從常態分配，即 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。自母體中隨機抽取容量為 $n$ 的獨立樣本，則樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ 亦嚴格服從常態分配： $\bar{X} \sim N\left(\mu_{\bar{X}}, \sigma_{\bar{X}}^2\right) = N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ 其抽樣平均數 $\mu_{\bar{X}} = \mu$，標準誤（Standard Error）$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
2. 標準化轉換（$Z$ 轉換）： 欲求解 $\bar{X}$ 之機率或分位數，利用標準化變數： $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1)$ 令 $\Phi(z) = P(Z \le z)$ 為標準常態累積分配函數（CDF）。

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解題方法

已知母體參數與樣本資訊如下：

• 母體平均數 $\mu = 230$
• 母體標準差 $\sigma = 50$
• 樣本數 $n = 50$

樣本平均數 $\bar{X}$ 之平均數與標準誤分別為： $\mu_{\bar{X}} = \mu = 230$ $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{50}{\sqrt{50}} = \frac{50}{5\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 7.0711$

(一) 計算 $P(\bar{X} \ge 250)$

1. 將 $\bar{X} = 250$ 進行標準化： $Z = \frac{250 - 230}{\frac{50}{\sqrt{50}}} = \frac{20}{7.0711} \approx 2.83$
2. 計算機率： $P(\bar{X} \ge 250) = P(Z \ge 2.83) = 1 - \Phi(2.83)$
3. 查標準常態分配表得 $\Phi(2.83) = 0.9977$： $P(\bar{X} \ge 250) = 1 - 0.9977 = 0.0023$

(二) 計算 $P(225 < \bar{X} < 250)$

1. 分別求取兩端點之標準化 $Z$ 值：

• 當 $\bar{X} = 225$ 時： $Z_1 = \frac{225 - 230}{\frac{50}{\sqrt{50}}} = \frac{-5}{7.0711} \approx -0.71$
• 當 $\bar{X} = 250$ 時： $Z_2 \approx 2.83$

2. 計算雙邊機率： $P(225 < \bar{X} < 250) = P(-0.71 < Z < 2.83) = \Phi(2.83) - \Phi(-0.71)$
3. 利用對稱性 $\Phi(-0.71) = 1 - \Phi(0.71)$，查表得 $\Phi(0.71) = 0.7611$： $\Phi(-0.71) = 1 - 0.7611 = 0.2389$ $P(225 < \bar{X} < 250) = 0.9977 - 0.2389 = 0.7588$

核心觀念

本題評量兩獨立母體平均數差之假設檢定（大樣本單尾檢定），涵蓋統計推論的三大等價工具：檢定統計量法、信賴區間法、以及 $P$ 值法。

1. 大樣本常態近似（中央極限定理, CLT）： 當兩組樣本數均滿足 $n \ge 30$（$n_A = 40 \ge 30$、$n_B = 30 \ge 30$），即便母體標準差 $\sigma_A$ 與 $\sigma_B$ 未知，亦無需假設母體為常態分布或變異數同質。依據中央極限定理與 Slutsky 定理，可直接以樣本標準差 $s_A, s_B$ 取代母體標準差，樣本平均數差之抽樣分配近似於常態分布，適用大樣本 $Z$ 檢定。
2. 標準誤（Standard Error, $SE$）公式： $SE = \sqrt{\frac{s_B^2}{n_B} + \frac{s_A^2}{n_A}}$
3. 右尾檢定與拒絕域判定： 研究假說為「方案 $B$ 平均月薪是否大於方案 $A$」，對立假設為單向（右尾）。在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，標準常態臨界值為 $z_{0.05} = 1.645$。
4. 單尾信賴區間與假設檢定之等價性： 右尾檢定對應的信賴區間為「$100(1-\alpha)\%$ 單尾信賴下界」。若該下界大於假設檢定的虛無數值（$0$），則拒絕虛無假設。
5. $P$ 值定義： 在虛無假設為真的前提下，檢定統計量落在比觀察樣本更極端（右尾）的機率：$P\text{-value} = P(Z \ge Z^*)$。

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解題方法

0. 符號定義與統計量整理

設方案 $A$ 與方案 $B$ 的訂戶母體平均月薪分別為 $\mu_A$ 與 $\mu_B$。 由題意可知：

• 方案 $A$：$n_A = 40$，$\bar{X}_A = 57{,}000$ 元，$s_A = 9{,}200$ 元
• 方案 $B$：$n_B = 30$，$\bar{X}_B = 61{,}000$ 元，$s_B = 7{,}100$ 元
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$

建立統計假設（檢驗方案 $B$ 是否大於方案 $A$）： $H_0: \mu_B - \mu_A \le 0 \quad (\text{方案 } B \text{ 的平均月薪未顯著大於方案 } A)$ $H_1: \mu_B - \mu_A > 0 \quad (\text{方案 } B \text{ 的平均月薪顯著大於方案 } A)$

計算樣本平均差與標準誤：

1. 樣本平均差： $\bar{X}_B - \bar{X}_A = 61{,}000 - 57{,}000 = 4{,}000 \text{ 元}$
2. 標準誤估計值： $SE = \sqrt{\frac{s_B^2}{n_B} + \frac{s_A^2}{n_A}} = \sqrt{\frac{7{,}100^2}{30} + \frac{9{,}200^2}{40}} = \sqrt{\frac{50{,}410{,}000}{30} + \frac{84{,}640{,}000}{40}}$ $SE = \sqrt{1{,}680{,}333.33 + 2{,}116{,}000} = \sqrt{3{,}796{,}333.33} \approx 1{,}948.42 \text{ 元}$

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(一) 檢定統計量法

1. 計算檢定統計量： $Z^* = \frac{(\bar{X}_B - \bar{X}_A) - 0}{SE} = \frac{4{,}000}{1{,}948.42} \approx 2.05$

2. 決策準則與臨界值： 在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 的右尾檢定下，臨界值為： $z_{\alpha} = z_{0.05} = 1.645$ 拒絕域（Rejection Region）為： $R = \{Z \mid Z > 1.645\}$

3. 統計推論： 因為檢定統計量 $Z^* = 2.05 > 1.645$，落在拒絕域內，故在 $\alpha = 0.05$ 水準下拒絕 $H_0$。 結論：有充分統計證據支持方案 $B$ 訂戶之平均月薪顯著大於方案 $A$ 訂戶之平均月薪。

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(二) 信賴區間法檢定

針對單尾檢定（$H_1: \mu_B - \mu_A > 0$），統計學上有兩種嚴謹的信賴區間檢定途徑：

方法一：單尾信賴界線法（最標準之單尾檢定對應法）

在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，建構 $\mu_B - \mu_A$ 的 $95\%$ 單尾信賴下界（Lower Confidence Bound）：