111 原住民特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查「等可能抽樣」下的組合機率，也可視為超幾何分配的應用。

9 個充電站中恰有 3 個故障，若故障站的位置等可能，則所有選出 3 個故障站的組合均具有相同機率。要求編號 2 與編號 4 同時故障，表示 3 個故障站中已確定包含 2、4，剩下 1 個故障站可從其餘 7 個充電站中選出。

解題方法一：組合計數法

所有可能的故障站組合數為：

$$\binom{9}{3}$$

符合「編號 2 與編號 4 都故障」的情形，剩下 1 個故障站從其餘 7 個站中選出，因此有：

$$\binom{7}{1}$$

所以所求機率為：

$$P(2、4\text{ 都故障}) = \frac{\binom{7}{1}}{\binom{9}{3}} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12}$$

解題方法二：連續抽取法

將 3 個故障站視為從 9 個站中隨機抽出的 3 個站：

第一次抽出的站是編號 2 的機率為：

$$\frac{3}{9}$$

在編號 2 已故障的條件下，剩下 8 個站中還有 2 個故障站，因此編號 4 故障的機率為：

$$\frac{2}{8}$$

故：

核心觀念

本題考查連續型均勻分配 $X\sim\operatorname{Unif}(a,b)$ 的基本性質：

• 期望值： $E(X)=\frac{a+b}{2}$
• 變異量： $\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$
• 第 $p$ 個百分位數： $x_p=a+p(b-a),\qquad 0<p<1$
• 四分位數間距： $\operatorname{IQR}=Q_3-Q_1$

本題中下界為 $1$、上界為 $5$，因此 $a=1$、$b=5$。

解題方法

均勻分配表示 $X$ 在區間 $[1,5]$ 內各位置的機率密度相同。其機率密度函數為

$$f(x)=\frac{1}{5-1}=\frac14,\qquad 1\leq x\leq 5.$$

1. 期望值

套用均勻分配的期望值公式：

$$E(X)=\frac{a+b}{2} =\frac{1+5}{2} =3.$$

因此，$X$ 的期望值為

$$\boxed{E(X)=3}.$$

2. 變異量

套用均勻分配的變異量公式：

$$\operatorname{Var}(X) =\frac{(b-a)^2}{12} =\frac{(5-1)^2}{12} =\frac{16}{12} =\frac43.$$

因此，$X$ 的變異量為

$$\boxed{\operatorname{Var}(X)=\frac43}.$$

3. 第 $3$ 個百分位數

第 $3$ 個百分位數代表累積機率為 $0.03$ 的位置。均勻分配的第 $p$ 個百分位數為

$$x_p=a+p(b-a).$$

令 $p=0.03$：

核心觀念

本題考查「單一母體比例的右尾檢定」。

設母體中贊成比例為 $p$，反對比例為 $1-p$。由於每人只有「贊成」或「反對」一種回答，因此：

$$\text{反對率}=1-p$$

題目要檢定贊成率是否高於反對率，即：

$$p>1-p$$

整理得：

$$2p>1\quad\Longleftrightarrow\quad p>0.5$$

因此，本題可轉化為檢定母體贊成率是否高於 $0.5$。

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建立假設

虛無假設與對立假設為：

$$H_0:p=0.5$$ $$H_1:p>0.5$$

這是右尾檢定，顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

樣本資料為：

$$n=100,\qquad x=55,\qquad \hat p=\frac{55}{100}=0.55$$

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檢定統計量

在虛無假設 $H_0:p=0.5$ 下，樣本比例的標準誤為：

$$\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.5(0.5)}{100}} = \sqrt{0.0025} = 0.05$$

因此，比例的 $Z$ 檢定統計量為：

$$Z= \frac{\hat p-p_0} {\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.55-0.50}{0.05} = 1.00$$

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臨界值法

右尾檢定在顯著水準 $0.05$ 下的臨界值為：

$$z_{0.05}=1.645$$

拒絕域為：

$$Z>1.645$$

本題計算所得：

核心觀念

本題考查：

1. 事件聯集公式 $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

2. 獨立事件定義 若 $A$ 與 $B$ 相互獨立，則 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

3. 互斥事件定義 若兩事件互斥，則 $P(A\cap B)=0$

已知：

$P(A\cup B\cup C)=1,\quad P(A)=0.5,\quad P(B)=0.4$

且 $A$、$B$ 相互獨立，因此

$P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.5\times 0.4=0.2$

又因為 $B$、$C$ 互斥，所以

$P(B\cap C)=0$

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（一）$C$ 和 $A$ 互斥

解題方法

因為 $A$、$C$ 互斥，且 $B$、$C$ 互斥，所以 $C$ 不會與 $A$、$B$ 發生重疊。因此：

$P(A\cap C)=0,\quad P(B\cap C)=0,\quad P(A\cap B\cap C)=0$

代入聯集公式：

$$\begin{aligned} 1 &=P(A\cup B\cup C)\\ &=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)\\ &=0.5+0.4+P(C)-0.2-0-0 \end{aligned}$$

因此：

$1=0.7+P(C)$

$\boxed{P(C)=0.3}$

范氏圖各區域機率

由 $P(A\cap B)=0.2$：

• $A\cap B$：$0.2$
• $A$ 僅發生：$0.5-0.2=0.3$
• $B$ 僅發生：$0.4-0.2=0.2$
• $C$：$0.3$

由於三事件聯集機率為 $1$，圖形外部機率為 $0$。

┌──────── A ────────┐
│ A僅：0.3 A∩B：0.2 ├──── B僅：0.2
└────────────────────┘

C：0.3，與 A、B 均不重疊

因此范氏圖呈現為：$A$ 與 $B$ 有交集，$C$ 則獨立位於兩者之外，且三事件涵蓋整個樣本空間。

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（二）$C$ 和 $A$ 相互獨立

解題方法

設

$P(C)=p$

因為 $A$、$C$ 相互獨立，所以：

$P(A\cap C)=P(A)P(C)=0.5p$

又因為 $B$、$C$ 互斥：

$P(B\cap C)=0$

且三事件交集必為空集合：

$P(A\cap B\cap C)=0$

代入聯集公式：