112 原住民特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

112 年・原住民特考・四等・經建行政
試題代碼 統計學概要

第 一 題20 分

某民意調查針對特定議題的支持度進行抽樣調查，從全體民眾中隨機抽出 2020 歲以上的民眾，並完成電話訪問，有效樣本 1,0001{,}000 份。

480480 位男性受訪者中，在 3030 歲（不含）以下的有 180180 位，其中有 110110 位表示支持該議題，其他年齡男性受訪者則有 100100 位表示反對。

320320 位 3030 歲（含）以上女性受訪者中，230230 位表示支持，其他年齡女性受訪者則有 8080 位表示反對。

請根據上述資料推論：

（一）3030 歲（不含）以下的民眾對該議題的支持率有多少？

（二）支持者中，年齡在 3030 歲（不含）以下的民眾的機率有多少？

（三）反對的民眾中，年齡在 3030 歲（含）以上的機率有多少？

（四）年齡在 3030 歲（含）以上的民眾中，反對者的機率有多少？

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核心觀念

本題考條件機率與列聯表的邊際合計。先依題目給定的年齡、性別與支持態度整理人數，再使用：

P(A∣B)=A 與 B 同時發生的人數B 發生的人數P(A\mid B)=\frac{A\text{ 與 }B\text{ 同時發生的人數}}{B\text{ 發生的人數}}

計算時，分母要對應題目中「在……之中」所指定的那群人。

解題方法

先將資料按年齡、性別及支持態度分類：

年齡與性別支持反對合計
30 歲以下男性110180−110=70180-110=70180
30 歲以上男性300−100=200300-100=200100300
30 歲以上女性230320−230=90320-230=90320
30 歲以下女性200−80=120200-80=12080200
合計6603401,000

其中，男性共 480480 人，因此男性中 30 歲以上者有 480−180=300480-180=300 人；女性共 1,000−480=5201,000-480=520 人，因此女性中 30 歲以下者有 520−320=200520-320=200 人。

題目中的年齡界線須依文字分組：30 歲（不含）以下為未滿 30 歲；30 歲（含）以上為 30 歲及以上，兩組互斥且涵蓋全部樣本。

各小題計算

（一）30 歲以下民眾對該議題的支持率

30 歲以下民眾共 180+200=380180+200=380 人，支持者共 110+120=230110+120=230 人。因此：

P(支持∣30歲以下)=230380≈0.6053P(\text{支持}\mid \text{30歲以下}) =\frac{230}{380} \approx 0.6053

支持率為 約 60.53%60.53\%。

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第 二 題20 分

青年創業貸款今年某月份約有 1,4001{,}400 家公司取得貸款，平均貸款金額為 91.591.5 萬元，標準差為 33.733.7 萬元。為進一步了解青年創業公司的貸款運用情形，研究單位從中隨機抽取 1010 套樣本，每套有 2525 家。

（一）請問每套樣本平均貸款金額超過 100100 萬的機率有多少？（1212 分）

（二）假設（一）小題的機率為 pp，請寫出 1010 套樣本中，有 77（含）套以上的樣本平均貸款金額超過 100100 萬的機率計算式。（88 分）

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核心觀念

本題考查樣本平均數的抽樣分配與二項分配。

母體公司數為 N=1,400N=1{,}400，母體平均貸款金額 μ=91.5\mu=91.5 萬元，母體標準差 σ=33.7\sigma=33.7 萬元。每套樣本抽取 n=25n=25 家，樣本平均數記為 Xˉ\bar X。

由中央極限定理，樣本平均數可近似視為常態分配，且

E(Xˉ)=μ,SE(Xˉ)=σn.E(\bar X)=\mu,\qquad SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.

本題每套樣本只占母體的 25/1,400≈1.79%25/1{,}400\approx1.79\%，抽樣比率很小，因此忽略有限母體修正，使用上述標準誤。

解題方法

（一）每套樣本平均貸款金額超過 100100 萬元的機率

先計算樣本平均數的標準誤：

SE(Xˉ)=33.725=33.75=6.74 萬元.SE(\bar X)=\frac{33.7}{\sqrt{25}} =\frac{33.7}{5} =6.74\text{ 萬元}.

將門檻 100100 萬元標準化為 ZZ 值：

z=100−91.56.74=8.56.74≈1.261.z=\frac{100-91.5}{6.74} =\frac{8.5}{6.74} \approx1.261.

因此，

P(Xˉ>100)=P(Z>100−91.56.74)=P(Z>1.261)=1−Φ(1.261)≈1−0.8964≈0.1036.\begin{aligned} P(\bar X>100) &=P\left(Z>\frac{100-91.5}{6.74}\right)\\ &=P(Z>1.261)\\ &=1-\Phi(1.261)\\ &\approx 1-0.8964\\ &\approx 0.1036. \end{aligned}

每套樣本平均貸款金額超過 100100 萬元的機率約為 0.10360.1036，即 10.36%10.36\%。

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第 三 題30 分

某統計學課程 5050 位同學的期中考成績的莖葉圖（stem-and-leaf）如下。請完成下列各圖、表及指定的敘述性統計。

莖葉圖：

莖 55：2455724557

莖 66：00111223445677778880011122344567777888

莖 77：00123456668880012345666888

莖 88：0123455677801234556778

莖 99：1313

（一）請繪製這份資料的盒形圖（box-plot），並標示繪製圖形所需的所有數據。（1010 分）

（二）請以 5050–5959、6060–6969、7070–7979、8080–8989、9090–9999 為分組範圍，建立次數分配表，並據此繪製直方圖（histogram）。並據此推估這次期中考的平均分數。（2020 分）

（直接以 5050 筆分數計算平均數不予計分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查莖葉圖讀值、盒形圖的五數摘要，以及分組次數分配與直方圖。盒形圖需要最小值、第一四分位數、中位數、第三四分位數、最大值；由分組資料估計平均數時，使用各組組中點代表該組觀測值。

（一）盒形圖

莖代表十位數、葉代表個位數。例如莖 66、葉 77 表示 6767 分。各莖的觀測筆數依序為 5、19、13、11、25、19、13、11、2，合計 5050 人。

將 5050 筆成績由小到大排列：

  • 最小值：第 11 筆，5252
  • 中位數：第 2525、2626 筆的平均數，即 70+702=70\dfrac{70+70}{2}=70
  • 第一四分位數 Q1Q_1：下半部前 2525 筆的中位數，即第 1313 筆，6363
  • 第三四分位數 Q3Q_3：上半部後 2525 筆的中位數，即全體第 3838 筆，8080
  • 最大值：第 5050 筆，9393

因此，盒形圖所需的五數摘要為：

最小值=52,Q1=63,中位數=70,Q3=80,最大值=93\text{最小值}=52,\quad Q_1=63,\quad \text{中位數}=70,\quad Q_3=80,\quad \text{最大值}=93

四分位距為 IQR=Q3−Q1=80−63=17IQR=Q_3-Q_1=80-63=17。離群值界限為：

Q1−1.5IQR=37.5,Q3+1.5IQR=105.5Q_1-1.5IQR=37.5,\qquad Q_3+1.5IQR=105.5

所有分數都在界限內，因此沒有離群值；鬚線端點分別為 5252 與 9393。

52 ───── [ 63 ──────│70────── 80 ] ───── 93
 最小值 中位數 Q3
 Q1

（二）次數分配表、直方圖與平均數估計

依指定分組計算各組人數。直方圖以連續組界 49.549.5、59.559.5 等作為柱形邊界，各組組距均為 1010。

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第 四 題30 分

某校從選修微積分課程的同學，隨機抽出 5050 位同學的期中考成績。期中考成績的平均分數為 6666 分，標準差為 2424 分，次數分配表如下。

分數範圍人數
2020–393999
4040–59591111
6060–79791010
8080–99992020

完成下列推論。假設全體同學的期中考分數服從常態，平均為 μ1\mu_1，及格率（6060（含）分以上）為 p1p_1。

（一）請依據上述資訊分別算出 μ1\mu_1 及 p1p_1 的 95%95\% 信賴區間。（1212 分）

（二）該校學期成績將由期中考、期末考以 40%40\%、60%60\% 加權平均計算。以期中考的樣本平均數及標準差為母體參數，假設期末考的分數仍然服從常態，標準差與期中考相同，且期中、期末考分數相關係數為 0.80.8。請問期末考的平均分數應設為多少，才能讓整體及格率在 70%70\% 以上？（1818 分）

本題附有下列統計表：

表 11：常態分配表。Φ(z)=P(Z≤z)=∫−∞z12πe−t2/2 dt\Phi(z)=P(Z\le z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

表 22：卡方分配表。P(χk2≥χk,α2)=αP(\chi_k^2\ge\chi_{k,\alpha}^2)=\alpha

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

表 33：tt 分配表。P(tk≥tk,α)=αP(t_k\ge t_{k,\alpha})=\alpha

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查平均數與母體比例的信賴區間，以及常態變數線性組合的平均數、變異數與機率計算。

  • 母體常態、母體標準差未知時，平均數的信賴區間使用 tt 分配。
  • 及格率以樣本中及格人數估計，使用樣本比例的常態近似信賴區間。
  • 期中、期末加權總分的變異數須納入兩次考試的共變異數，不能將兩科分數視為獨立。

（一）μ1\mu_1 與 p1p_1 的 95% 信賴區間

樣本數 n=50n=50，樣本平均數 xˉ=66\bar{x}=66，樣本標準差 s=24s=24。自由度為 4949；依附表以自由度 5050 近似，取 t49,0.025≈2.009t_{49,0.025}\approx 2.009。

μ1 的 95% 信賴區間=xˉ±t49,0.025sn=66±2.0092450\mu_1\text{ 的 95\% 信賴區間} =\bar{x}\pm t_{49,0.025}\frac{s}{\sqrt{n}} =66\pm 2.009\frac{24}{\sqrt{50}} =66±6.82=(59.18, 72.82)=66\pm 6.82=(59.18,\ 72.82)

樣本中及格人數為 10+20=3010+20=30 人，因此樣本及格率為

p^1=3050=0.60\hat{p}_1=\frac{30}{50}=0.60

以常態近似計算比例的 95% 信賴區間，取 z0.025=1.96z_{0.025}=1.96：

p1 的 95% 信賴區間=p^1±1.96p^1(1−p^1)np_1\text{ 的 95\% 信賴區間} =\hat{p}_1\pm 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n}} =0.60±1.960.60(0.40)50=0.60±0.136=(0.464, 0.736)=0.60\pm1.96\sqrt{\frac{0.60(0.40)}{50}} =0.60\pm0.136 =(0.464,\ 0.736)

（二）期末考平均分數

令期末考平均分數為 μ2\mu_2。依題意，期中考平均數為 6666、期中與期末考標準差皆為 2424，相關係數為 0.80.8。學期加權總分 TT 為

T=0.4X1+0.6X2T=0.4X_1+0.6X_2

其平均數為

μT=0.4(66)+0.6μ2\mu_T=0.4(66)+0.6\mu_2

由於兩次考試相關，總分變異數為

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