110 原住民特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的最小平方法估計、皮爾森相關係數，以及迴歸斜率為零的 $F$ 檢定。設模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,20,$$

其中 $\varepsilon_i$ 為常態誤差。斜率與截距的估計量分別為

$$b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_0=\bar y-b_1\bar x,$$

其中

$$S_{xx}=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n},\quad S_{yy}=\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n},\quad S_{xy}=\sum x_i y_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}.$$

樣本相關係數為 $r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$。在含截距的簡單線性迴歸中，檢定斜率 $\beta_1=0$ 的迴歸 $F$ 統計量為 $F^*=MSR/MSE$，自由度為 $(1,n-2)$。

解題方法與計算

先由題目給定的總和計算各離均差平方和與乘積和：

$$\bar x=\frac{50}{20}=2.5,\qquad \bar y=\frac{66}{20}=3.3,$$ $$S_{xx}=1975-\frac{50^2}{20}=1850,$$ $$S_{yy}=3278-\frac{66^2}{20}=3059.8,$$ $$S_{xy}=2385-\frac{50\cdot66}{20}=2220.$$

（一）斜率估計值

$$b_1=\frac{2220}{1850}=1.2.$$

因此，每天運動時間每增加一單位，模型預測的存活時間平均增加 $1.2$ 單位。

核心觀念

本題考兩個獨立常態隨機變數相加後的分配，以及常態分配的標準化。

若上班薪資 $X$ 與打工薪資 $Y$ 相互獨立，且

$$X\sim N(\mu_X,\sigma_X^2),\qquad Y\sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2),$$

則總薪資 $T=X+Y$ 仍服從常態分配，且

$$E(T)=\mu_X+\mu_Y,\qquad \operatorname{Var}(T)=\sigma_X^2+\sigma_Y^2.$$

因此總薪資的標準差為 $\sigma_T=\sqrt{\operatorname{Var}(T)}$。

題目給的是「變異數」，計算標準差前須先將兩個變異數相加，再開平方。

解題方法

令 $X$ 為每月上班薪資，$Y$ 為每月打工薪資，$T=X+Y$ 為每月總薪資。題目提供：

$$X\sim N(35{,}570,3{,}600),\qquad Y\sim N(14{,}430,2{,}800),$$

且 $X$、$Y$ 獨立。

（一）總薪資的平均值

利用期望值的線性性：

$$\mu_T=E(X+Y)=E(X)+E(Y) =35{,}570+14{,}430 =50{,}000\text{ 元}.$$

（二）總薪資的標準差

由於兩筆薪資互相獨立，總薪資變異數為兩者變異數之和：

$$\sigma_T^2=\operatorname{Var}(X+Y) =3{,}600+2{,}800 =6{,}400.$$

因此：

$$\sigma_T=\sqrt{6{,}400}=80\text{ 元}.$$

所以 $T\sim N(50{,}000,6{,}400)$，亦即總薪資平均數為 $50{,}000$ 元、標準差為 $80$ 元。

（三）總薪資超過 $50{,}100$ 元的機率

核心觀念

這題考單一母體平均數的信賴區間、檢定統計量與樣本數規劃。題目沒有說明母體標準差是否已知，也沒有指定使用 $z$ 或 $t$ 方法，因此以下依常見考題設定，以常態近似的 $z$ 信賴區間計算；由信賴區間反推出標準誤，再推算其餘各問。

單一母體平均數的信賴區間形式為：

$$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

其中 $\bar{x}$ 為樣本平均數，$s/\sqrt{n}$ 為標準誤。若母體標準差已知，公式中的 $s$ 改為 $\sigma$。

解題方法

（一）樣本平均數

信賴區間 $(20,30)$ 的中心點即為樣本平均數：

$$\bar{x}=\frac{20+30}{2}=25$$

（二）90% 信賴區間

95% 信賴區間的誤差範圍為 $5$，且 $n=49$、$z_{0.025}=1.96$，所以標準誤為：

$$SE=\frac{5}{1.96}=2.5510$$

90% 信賴區間使用 $z_{0.05}=1.645$，誤差範圍為：

$$E_{90}=1.645(2.5510)=4.195$$

因此：

$$25\pm4.195=(20.805,29.195)$$

約為 $(20.81,29.20)$。

（三）檢定母體平均數是否為 22

採雙尾檢定：

$$H_0:\mu=22,\qquad H_1:\mu\ne22$$

檢定統計量為：

核心觀念

本題考查離散型隨機變數的期望值與變異數，以及期望值、變異數的線性運算公式。

對離散型隨機變數 $Z$，若其可能取值為 $z_i$、機率為 $p_i$，則

$$E(Z)=\sum_i z_i p_i,\qquad \operatorname{Var}(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2 =\sum_i z_i^2p_i-[E(Z)]^2.$$

期望值具線性性；若 $X,Y$ 獨立，則其共變異數為 $0$，因此

$$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),$$ $$\operatorname{Var}(aX+bY) =a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y).$$

解題方法

先分別計算 $X$、$Y$ 的期望值與變異數，再代入線性運算公式。

（一）計算 $\operatorname{Var}(Y)$

先求 $Y$ 的期望值：

$$E(Y)=(-1)(0.3)+(0)(0.5)+(2)(0.2) =-0.3+0+0.4=0.1.$$

再求平方的期望值：

$$E(Y^2)=(-1)^2(0.3)+(0)^2(0.5)+(2)^2(0.2) =0.3+0+0.8=1.1.$$

所以

$$\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2 =1.1-(0.1)^2 =\boxed{1.09}.$$

（二）計算 $E(X)$

$$E(X)=(-2)(0.2)+(1)(0.4)+(3)(0.4) =-0.4+0.4+1.2 =\boxed{1.2}.$$

（三）計算 $\operatorname{Var}(X-2Y)$