108 調查局特考三等 營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

108 年・調查局特考・三等・營繕工程組
試題代碼 結構分析（包括材料力學與結構學）

第 一 題25 分

如圖一所示，II 型斷面鋼懸臂梁，自由端同時受到垂直（P1P_1）與水平（P2P_2）集中荷重作用，點位與尺寸如圖所標示。鋼材的彈性模數 E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}。設置於距固定端 1 m1\ \mathrm{m} 處的 AA 與 BB 位置所量到的梁縱軸方向應變，分別為：

εA=1050×10−6,εB=−910×10−6\varepsilon_A=1050\times10^{-6},\qquad \varepsilon_B=-910\times10^{-6}

（一）請計算 P1P_1 與 P2P_2 兩集中力的大小。（20 分）

（二）如果 P2P_2 作用方向相反（即向左），P1P_1 移除，請計算此梁發生挫屈時 P2P_2 的大小。（5 分）

圖一所示之斷面、點位、尺寸及荷重方向請參考原卷圖示。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

此題利用梁縱向應變分解出軸力與彎矩造成的應變，再以歐拉公式計算懸臂柱的挫屈荷重：

ε=P2EA±MyEIx\varepsilon=\frac{P_2}{EA}\pm\frac{My}{EI_x}

其中軸力造成截面均勻應變；彎矩造成的彎曲應變則隨距中性軸的距離線性變化。第二小題的軸力改為壓力後，依截面的弱軸慣性矩計算挫屈荷重。

解題方法

（一）求 P1P_1 與 P2P_2

取距固定端 1 m1\ \mathrm{m} 的截面，該截面至自由端的距離為 3 m3\ \mathrm{m}。由圖中尺寸，A、BA、B 位於腹板上下內側，兩點相距 250 mm250\ \mathrm{mm}，各距截面中性軸 125 mm125\ \mathrm{mm}。以拉應變為正，向下的 P1P_1 使上側受拉、下側受壓。

截面積為

A=2(200)(12)+(10)(250)=7300 mm2A=2(200)(12)+(10)(250)=7300\ \mathrm{mm^2}

截面關於水平中性軸的慣性矩為

Ix=10(250)312+2[200(12)312+(200)(12)(131)2]=95.451×106 mm4\begin{aligned} I_x &=\frac{10(250)^3}{12} +2\left[\frac{200(12)^3}{12}+(200)(12)(131)^2\right]\\ &=95.451\times10^6\ \mathrm{mm^4} \end{aligned}

其中翼板形心距截面中性軸為 131 mm131\ \mathrm{mm}。

兩點應變的平均值代表軸向均勻應變：

ε0=εA+εB2=1050−9102×10−6=70×10−6\varepsilon_0=\frac{\varepsilon_A+\varepsilon_B}{2} =\frac{1050-910}{2}\times10^{-6} =70\times10^{-6}

因此

P2=EAε0=(200000)(7300)(70×10−6)=102200 NP_2=EA\varepsilon_0 =(200000)(7300)(70\times10^{-6}) =102200\ \mathrm{N}

故 P2=102.2 kNP_2=102.2\ \mathrm{kN}，方向向右，為拉力。

兩點應變差代表彎曲應變差：

εA−εB=M(125)EIx−(−M(125)EIx)=M(250)EIx\varepsilon_A-\varepsilon_B =\frac{M(125)}{EI_x}-\left(-\frac{M(125)}{EI_x}\right) =\frac{M(250)}{EI_x}
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第 二 題25 分

【題組共用題幹】

如圖二所示靜定桁架結構可視為一個三鉸拱（three-hinged arch）進行分析。此桁架依圖二之集中載重所設計，使得下弦材 ABCDEFABCDEF 的輪廓符合該載重配置下的纜索形狀（funicular shape），其力學結果為水平上弦材 LKJIHGLKJIHG 各桿在圖二集中載重作用下皆為零力桿。

將 AA 支承的高程視為地面線，則 FF 支承的高程為 4 m4\ \mathrm{m}。

（一）請計算支承反力。（10 分）

（二）ABCDEFABCDEF 的輪廓符合所示載重的纜索形狀，計算 BB、CC、EE 三點的高程 hBh_B、hCh_C、hEh_E。（15 分）

圖二所示桁架、支承、集中載重、尺寸及幾何位置請參考原卷圖示。

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核心觀念

三鉸拱可在內鉸處分成左右兩部分，分別列取矩方程。若水平推力記為 HH，則纜索形狀下任一節點的高程可由該節點截面彎矩為零求得：

Hh(x)=M外力(x)Hh(x)=M_{\text{外力}}(x)

其中 M外力(x)M_{\text{外力}}(x) 是以左支承 AA 為基準，由左側支承反力與集中載重計算的截面彎矩。

解題方法

依圖二，AA、BB、CC、DD、EE、FF 的水平位置分別為 x=0,8,16,24,30,36 mx=0,8,16,24,30,36\ \mathrm{m}；集中載重依序為 18,30,30,30,30,12 kN18,30,30,30,30,12\ \mathrm{kN}。總載重為 150 kN150\ \mathrm{kN}，對 AA 的載重力矩為 2772 kN⋅m2772\ \mathrm{kN\cdot m}。

令 AA 點反力為 (H,Ay)(H,A_y)，FF 點反力為 (−H,Fy)(-H,F_y)，並以 dd 表示內鉸 DD 的高程。整體平衡式為

Ay+Fy=150A_y+F_y=150 36Fy+4H=277236F_y+4H=2772

左半結構對 DD 點取矩：

−24Ay+dH+18(24)+30(16)+30(8)=0-24A_y+dH+18(24)+30(16)+30(8)=0

整理得

dH=24Ay−1152dH=24A_y-1152

將整體平衡式與左半結構方程聯立，可得

H(d−83)=600,Ay=H+6579,Fy=150−AyH\left(d-\frac{8}{3}\right)=600,\qquad A_y=\frac{H+657}{9},\qquad F_y=150-A_y

題目資料不足

圖中沒有標示內鉸 DD 的高程 dd，而支承 FF 的高程為 4 m4\ \mathrm{m}，不能據此推出 DD 的高程。因此支承反力及 hB,hC,hEh_B,h_C,h_E 無法由題目所列尺寸唯一決定。以下以 d=4 md=4\ \mathrm{m} 作條件示範；若採用其他 dd，結果會不同。

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第 三 題25 分

如圖三所示金屬平板，其材料性質未知，故設置兩只應變計進行力學性質量測試驗，如圖載重與應變計配置示意。此金屬板厚度為 2.5 cm2.5\ \mathrm{cm}，載重為：

wx=1400 kN/m,wy=−350 kN/m （壓）w_x=1400\ \mathrm{kN/m},\qquad w_y=-350\ \mathrm{kN/m}\ \text{（壓）}

已知應變計讀數為：

εa=1000×10−6,εb=244×10−6\varepsilon_a=1000\times10^{-6},\qquad \varepsilon_b=244\times10^{-6}

（一）試求此平板之彈性模數 EE 與柏松比 ν\nu。（20 分）

（二）此載重下，平板上的絕對最大剪應變多大？（5 分）

圖三所示平板、載重方向及應變計配置請參考原卷圖示。

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核心觀念

本題以平板邊緣載重除以板厚，求出面內正應力；再利用應變轉換式與平面應力的虎克定律，由兩只應變計的讀數反算 EE 與 ν\nu。最後將三個主應變相比，求絕對最大工程剪應變。

圖中應變計 aa 沿 xx 方向，應變計 bb 與 xx 方向夾 45∘45^\circ。載重只有 x、yx、y 方向的正應力，故 τxy=0\tau_{xy}=0。

解題方法

板厚為 t=2.5 cm=0.025 mt=2.5\ \mathrm{cm}=0.025\ \mathrm{m}。將單位長度載重除以板厚：

σx=wxt=1400 kN/m0.025 m=56,000 kN/m2=56 MPa\sigma_x=\frac{w_x}{t} =\frac{1400\ \mathrm{kN/m}}{0.025\ \mathrm{m}} =56{,}000\ \mathrm{kN/m^2} =56\ \mathrm{MPa} σy=wyt=−350 kN/m0.025 m=−14 MPa\sigma_y=\frac{w_y}{t} =\frac{-350\ \mathrm{kN/m}}{0.025\ \mathrm{m}} =-14\ \mathrm{MPa}

負號表示 yy 方向受壓。

應變計 aa 沿 xx 方向，因此：

εx=εa=1000×10−6\varepsilon_x=\varepsilon_a=1000\times10^{-6}

應變轉換式為

εθ=εxcos⁡2θ+εysin⁡2θ+γxysin⁡θcos⁡θ\varepsilon_\theta =\varepsilon_x\cos^2\theta +\varepsilon_y\sin^2\theta +\gamma_{xy}\sin\theta\cos\theta

由於 τxy=0\tau_{xy}=0，故 γxy=0\gamma_{xy}=0。取 θ=45∘\theta=45^\circ：

εb=εx+εy2\varepsilon_b=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}

因此

εy=2εb−εx=2(244×10−6)−1000×10−6=−512×10−6\varepsilon_y=2\varepsilon_b-\varepsilon_x =2(244\times10^{-6})-1000\times10^{-6} =-512\times10^{-6}

平面應力狀態的虎克定律為

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第 四 題25 分

圖四（a）所示為一度靜不定對梁，右側支承以彈簧 KK 支撐。梁斷面之：

EI=8600 kN⋅m2EI=8600\ \mathrm{kN\cdot m^2}

圖四（b）為簡支外伸梁的已知公式，可參考使用。

（一）當 K=0K=0 時，求 DD 點位移。（方法不限，但須註明方法）（10 分）

（二）當 K=50 kN/mK=50\ \mathrm{kN/m} 時，求 DD 點位移。（本小題限用柔度法）（15 分）

圖四（a）、圖四（b）所示梁、支承、彈簧、荷重、尺寸及公式請參考原卷圖示。

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核心觀念

本題考查外伸梁的撓度，以及用柔度法處理彈簧支承。取向下位移為正，先將 DD 點彈簧移除，以 A、BA、B 為支承建立靜定基本梁，再計算：

  • 實際荷重造成的 DD 點位移 δ0\delta_0；
  • DD 點施加單位向下力造成的柔度 fDDf_{DD}。

彈簧力會抵抗梁的向下位移，因此有限彈簧剛度 KK 下有

δD=δ0−fDDRD,RD=KδD,\delta_D=\delta_0-f_{DD}R_D,\qquad R_D=K\delta_D,

其中 RDR_D 為彈簧對梁的向上支承力。

解題方法與計算

令 AA 點為 x=0x=0，則 B、C、DB、C、D 分別位於 x=5、9、12 mx=5、9、12\ \mathrm m。全題使用

EI=8600 kN⋅m2.EI=8600\ \mathrm{kN\cdot m^2}.

先移除 DD 點彈簧，對基本梁計算彎矩。實際 20 kN20\ \mathrm{kN} 集中力作用於 CC 點，支承反力為

RB(5)−20(9)=0⟹RB=36 kN,R_B(5)-20(9)=0 \quad\Longrightarrow\quad R_B=36\ \mathrm{kN}, RA+RB−20=0⟹RA=−16 kN.R_A+R_B-20=0 \quad\Longrightarrow\quad R_A=-16\ \mathrm{kN}.

RAR_A 為負，表示其方向向下。各區段彎矩為

M(x)={−16x,0≤x≤5,20x−180,5≤x≤9,0,9≤x≤12.M(x)= \begin{cases} -16x, & 0\le x\le5,\\ 20x-180, & 5\le x\le9,\\ 0, & 9\le x\le12. \end{cases}

在 DD 點施加 1 kN1\ \mathrm{kN} 向下單位力，所得彎矩圖為

m(x)={−75x,0≤x≤5,x−12,5≤x≤12.m(x)= \begin{cases} -\dfrac75x, & 0\le x\le5,\\ x-12, & 5\le x\le12. \end{cases}

（一）K=0K=0 時的 DD 點位移

此時彈簧不提供支承力，直接用單位荷重法：

δ0=1EI∫012M(x)m(x) dx.\delta_0=\frac1{EI}\int_0^{12}M(x)m(x)\,dx.

由於 9≤x≤129\le x\le12 的實際彎矩為零，故

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