110 調查局特考三等 營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 簡支梁支承反力與最大剪力。
2. 非矩形斷面的剪應力公式 $\tau_{xy}=\frac{VQ}{Ib}$
3. H 型斷面的形心軸慣性矩 $I$、面積一次矩 $Q$ 與有效寬度 $b$。
4. 剪應力在翼板與腹板交界處可能大於腹板中性軸處，必須比較全斷面的最大值。

依圖判讀，H 型斷面由兩個厚度為 $t$、高度 $80\ \mathrm{mm}$ 的直立板，以及中央厚度為 $t$、兩直立板內側淨距為 $15\ \mathrm{mm}$ 的水平板組成。

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一、由 C、D 點剪應力相等求 $t$

斷面高度為

$$20+40+20=80\ \mathrm{mm}$$

因此中性軸通過 D 點。C 點距中性軸為 $20\ \mathrm{mm}$。

C 點

C 點以上為兩個高度 $20\ \mathrm{mm}$ 的翼板：

$$Q_C=2(20t)(30)=1200t\ \mathrm{mm^3}$$

C 點所在水平線只穿過兩個翼板，因此

$$b_C=2t$$

故

$$\frac{Q_C}{b_C} =\frac{1200t}{2t} =600\ \mathrm{mm^2}$$

D 點

D 點以上為兩個高度 $40\ \mathrm{mm}$ 的翼板，其形心距中性軸 $20\ \mathrm{mm}$：

$$Q_D=2(40t)(20)=1600t\ \mathrm{mm^3}$$

D 點位於中央水平板，該處有效寬度為

$$b_D=15+2t$$

由 $\tau_C=\tau_D$，且兩點的 $V$、$I$ 相同：

$$\frac{Q_C}{b_C}=\frac{Q_D}{b_D}$$ $$600=\frac{1600t}{15+2t}$$

解得

$$600(15+2t)=1600t$$ $$9000+1200t=1600t$$ $$\boxed{t=22.5\ \mathrm{mm}}$$

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二、計算斷面慣性矩 $I$

以中性軸為基準：

兩個直立板

$$I_{\text{翼板}} =2\left(\frac{t(80)^3}{12}\right)$$

中央水平板

其寬度為 $15+2t$，但扣除與兩側直立板重疊部分後，可取中央淨段 $15\ \mathrm{mm}$：

$$I_{\text{腹板}} =\frac{15t^3}{12}$$

因此

$$I=2\left(\frac{t(80)^3}{12}\right)+\frac{15t^3}{12}$$

代入 $t=22.5\ \mathrm{mm}$：

$$I =2\left(\frac{22.5(80)^3}{12}\right) +\frac{15(22.5)^3}{12}$$ $$\boxed{I=2.06238\times10^5\ \mathrm{mm^4}}$$

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三、判定最大剪應力位置

翼板內的剪應力會隨著靠近中性軸而增加，因此翼板的最大值發生在翼板與中央水平板交界處，即 $y=t/2$ 附近。

核心觀念

本題考查：

1. 平面應力元素之應力轉換公式。
2. 平面應力下的廣義虎克定律。
3. 剪應力與工程剪應變之關係：

$$\tau_{xy}=G\gamma_{xy},\qquad G=\frac{E}{2(1+\nu)}$$

依圖示箭頭方向，$+x$ 面上的剪應力向下，因此

$$\tau_{xy}=-150\ \text{MPa}$$

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解題方法

一、求 $\sigma_x$ 與 $\sigma_y$

令

$$A=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\qquad B=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}$$

應力轉換公式為

$$\sigma_{x1}=A+B\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$$

當 $\theta=30^\circ$：

$$-255=A+\frac{B}{2}-150\sin60^\circ$$

當 $\theta=60^\circ$：

$$-105=A-\frac{B}{2}-150\sin60^\circ$$

因為

$$150\sin60^\circ=129.90\ \text{MPa}$$

所以

$$A+\frac{B}{2}=-125.10$$ $$A-\frac{B}{2}=24.90$$

相加、相減得

$$A=-50.10\ \text{MPa},\qquad B=-150\ \text{MPa}$$

因此

$$\sigma_x=A+B=-200.10\ \text{MPa}$$ $$\sigma_y=A-B=99.90\ \text{MPa}$$

考試答案取整數可寫為

$$\boxed{\sigma_x\approx -200\ \text{MPa}},\qquad \boxed{\sigma_y\approx 100\ \text{MPa}}$$

題目中的 $-255$ MPa 與 $-105$ MPa 為四捨五入後數值，故應力取 $-200$ MPa 與 $100$ MPa 為合理標準答案。

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二、求楊氏係數 $E$ 與柏松比 $\nu$

平面應力下：

$$\varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E}$$ $$\varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}$$

代入

$$\sigma_x=-200\ \text{MPa},\quad \sigma_y=100\ \text{MPa}$$

核心觀念

本題為平面桁架分析，使用：

1. 整體平衡方程式 $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

2. 節點法求各桿件軸力。桿件僅承受軸力，張力為正、壓力為負。

3. **虛功法（單位荷重法）**求 $A$ 點垂直位移： $\delta_A=\sum_i\frac{N_i n_i L_i}{EA}$ 其中：

• $N_i$：原荷重作用下之桿件軸力；
• $n_i$：在 $A$ 點施加單位荷重時之桿件軸力；
• $L_i$：桿件長度。

依圖中尺寸，取：

$$A(-a,0),\quad C(0,0),\quad B(0,a),\quad D(a,a),$$ $$F(2a,0),\quad E(2a,a),\quad G(3a,0)$$

斜桿長度為 $a\sqrt{2}$，水平、垂直桿長度為 $a$。

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一、支承反力

取水平方向向右、鉛直方向向上為正。

整體受力：

$$\sum F_x=0$$

由於外力均為鉛直力，且桁架無水平外力，配合節點平衡可得：

$$C_x=P,\qquad F_x=-P$$

鉛直方向：

$$\sum F_y=0$$ $$C_y+F_y-P-2P-P=0$$

由荷重與結構左右對稱：

$$C_y=F_y$$

因此：

$$C_y=F_y=2P$$

所以：

$$\boxed{\boldsymbol{R}_C=(P,\,2P)}$$ $$\boxed{\boldsymbol{R}_F=(-P,\,2P)}$$

反力大小為：

$$R_C=R_F=\sqrt{P^2+(2P)^2}=\sqrt{5}P$$

方向：

• $C$ 點反力向右上方，與水平夾角 $\theta_C=\tan^{-1}2$
• $F$ 點反力向左上方，與水平夾角 $\theta_F=180^\circ-\tan^{-1}2$

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二、各桿件軸力

1. $A$、$G$ 點

$A$ 點沒有外力，且僅連接 $AB$、$AC$ 兩桿，兩桿不共線，因此：

$$N_{AB}=N_{AC}=0$$

同理，$G$ 點：

$$N_{EG}=N_{FG}=0$$

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2. $B$ 點

$B$ 點受鉛直向下集中力 $P$。

由鉛直方向平衡：

$$-N_{BC}-P=0$$

因此：

$$\boxed{N_{BC}=-P}$$

故 $BC$ 桿為壓力桿。

水平方向平衡得：

$$\boxed{N_{BD}=0}$$

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3. $E$ 點

與 $B$ 點對稱：

$$\boxed{N_{EF}=-P}$$ $$\boxed{N_{DE}=0}$$

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4. $C$、$D$、$F$ 點

在 $D$ 點，$CD$ 與 $DF$ 為 $45^\circ$ 斜桿，且 $BD$、$DE$ 軸力均為零。

由 $D$ 點水平方向平衡：

$$\frac{N_{DF}}{\sqrt{2}}-\frac{N_{CD}}{\sqrt{2}}=0$$

故：

$$N_{DF}=N_{CD}$$

由鉛直方向平衡：

$$-\frac{N_{CD}}{\sqrt{2}} -\frac{N_{DF}}{\sqrt{2}} -2P=0$$

代入 $N_{DF}=N_{CD}$：

$$-\sqrt{2}N_{CD}-2P=0$$ $$N_{CD}=-\sqrt{2}P$$

因此：

核心觀念

本題考查：

1. 連續梁與軸向桿件的變形相容。
2. 鉸支承、滾支承及固定端之反力判定。
3. 以虛功法或疊加法求梁在 $B、C$ 點的撓度。
4. 受壓桿件之 Euler 挫屈。

由結構及荷載皆左右對稱，可得

$$R_A=R_D,\qquad R_E=R_F,\qquad R_B=R_C$$

其中 $R_B、R_C$ 表示桿件對梁的向上作用力；桿件本身則承受壓力。

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解題方法

設每支桿件的壓力為 $N$，則桿件對梁在 $B、C$ 點施加向上的力 $N$。

梁 $AD$ 為長度 $3L$ 的簡支梁，於 $B、C$ 點分別受向下 $P$ 及向上 $N$。由對稱性，只需計算 $B$ 點撓度。

1. 求梁在 $B$ 點的撓度

由題目提示公式，長度為 $3L$ 的簡支梁在 $B$ 點受集中力 $P$ 時：

• $B$ 點自身集中力 $P$ 造成的撓度：

$$v_{BB} =-\frac{4PL^3}{9EI}$$

• $C$ 點集中力 $P$ 對 $B$ 點造成的撓度：

$$v_{BC} =-\frac{7PL^3}{18EI}$$

因此，兩個向下集中力造成的總撓度為

$$v_P =-\left(\frac{4}{9}+\frac{7}{18}\right)\frac{PL^3}{EI} =-\frac{5PL^3}{6EI}$$

同理，$B、C$ 點的向上力 $N$ 造成梁向上的撓度為

$$v_N=+\frac{5NL^3}{6EI}$$

故 $B$ 點梁的向下位移量為

$$\delta =\frac{5(P-N)L^3}{6EI}$$

2. 建立桿件變形相容

每支桿件長度為 $L$，截面積為 $A$，其壓縮量為

$$\delta=\frac{NL}{AE}$$

梁與桿件在接點 $B、C$ 必須具有相同的垂直位移，因此

$$\frac{NL}{AE} = \frac{5(P-N)L^3}{6EI}$$

整理得

$$N=\frac{5AL^2}{6I}(P-N)$$

令

$$\lambda=\frac{5AL^2}{6I}$$

則

$$N=\lambda(P-N)$$

所以

$$N=\frac{\lambda}{1+\lambda}P =\frac{5AL^2}{6I+5AL^2}P$$

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各支承反力

A、D 點反力

對整體結構作垂直力平衡：

$$R_A+R_D+2N=2P$$

又因左右對稱，

$$R_A=R_D=P-N$$

因此

$$\boxed{ R_A=R_D =\frac{6I}{6I+5AL^2}P }$$

方向均為向上。

A 點為鉸支承，但水平方向無外力，故

$$\boxed{R_{Ax}=0}$$

E、F 點反力

桿件受壓，梁對桿件施加向下的力，基礎對桿件施加向上的反力。因此