112 調查局特考三等 營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查簡支梁在集中載重作用下：

1. 支承反力
2. 剪力 $V$ 與彎矩 $M$
3. 矩形斷面的彎曲正應力
4. 矩形斷面的剪應力分布
5. 平面應力狀態下的最大主應力

以圖中位置判讀：

• $A$ 點位於梁底緣，距中性軸 $d/2$
• $B$ 點位於中性軸下方 $d/4$
• $C$ 點位於中性軸上

梁跨距為

兩集中載重對稱，且各為

解題方法

1. 求支承反力

由對稱性，左右支承反力相等：

$A、B、C$ 所在截面距左支承 $25\ \text{cm}$，且尚未遇到第一個集中載重，因此該截面的內力為

2. 求截面性質

矩形斷面：

斷面面積：

對中性軸的慣性矩：

3. 彎曲正應力

距中性軸 $y$ 處的彎曲應力為

梁底部受拉，因此以下計算取正應力大小。

$A$ 點

$A$ 點距中性軸：

$B$ 點

$B$ 點距中性軸：

$C$ 點

$C$ 點位於中性軸，因此

4. 矩形斷面剪應力

矩形斷面距中性軸 $y$ 處之剪應力為

其中中性軸處剪應力最大：

核心觀念

本題考查「分段柱挫屈」與有效長度係數的定義。

AB 段具有有限彎曲剛度 $EI$，為主要挫屈段；BC 段為剛性構件，故不發生彎曲變形，但可隨 AB 段端部轉動。C 點滾支承限制水平位移，但不限制轉動。

有效長度係數 $K$ 定義為

其中 $L$ 為 AB 段長度。

解題方法

取 AB 段長度方向為 $x$ 軸，令橫向挫屈位移為 $v(x)$，其中

AB 段受軸壓力 $P$ 時，其挫屈微分方程為

令

則通解為

1. A 點鉸支承條件

A 點鉸支承具有

且彎矩為零：

代入通解後，可得

2. B、C 之間剛性段的邊界條件

BC 段為剛性構件，C 點滾支承限制水平位移。BC 段雖可轉動，但其兩端幾何關係使 B 點位移與 B 點轉角相互制約。

對剛性 BC 段取 C 點力矩平衡。由於外力 $P$ 通過 C 點，對 C 點不產生力矩，因此 B 端的彎矩與剪力形成力矩平衡：

這就是 B 點的等效邊界條件。

將

代入：

因此

核心觀念

本題考查：

1. 忽略軸向變形時，利用桿件軸向不可伸長條件建立結點位移關係。
2. 彎矩分配法中的斜率－位移關係。
3. 桿件端彎矩公式：

其中：

• $l$：桿件長度
• $\theta_i,\theta_j$：兩端結點轉角
• $\psi_{ij}$：桿件弦線轉角
• 端彎矩以各桿件端順時針為正

圖中三支桿件的水平、垂直投影皆為 $L$，故：

解題方法

一、建立結點位移關係

令 $C$ 點垂直向上位移為 $v$。

因各桿件軸向變形忽略，桿件沿自身軸線方向的相對位移為零。

由圖形幾何關係可得：

• $B$、$C$ 兩點垂直位移相同；
• $B$、$C$ 兩點水平位移方向相反；
• $BC$ 桿件兩端相對位移為零，因此其弦線轉角為零。

令 $s=v/L$，則：

固定端 $A,D$ 的轉角為零，設：

二、列結點 $B$、$C$ 的彎矩平衡式

$B$ 點

桿件 $AB$ 在 $B$ 端的彎矩為：

桿件 $BC$ 在 $B$ 端的彎矩為：

由 $B$ 點無外加結點彎矩：

整理得：

$C$ 點

桿件 $BC$ 在 $C$ 端的彎矩為：

桿件 $CD$ 在 $C$ 端的彎矩為：

由 $C$ 點無外加結點彎矩：

整理得：

由式 $(1)$、$(2)$：

因此：

三、利用 $C$ 點垂直力平衡求位移

先求 $C$ 點兩側桿件所提供的垂直反力。

桿件端彎矩為：

核心觀念

本題考查：

1. 傾角變位法中鉸接端的彎矩條件： $B$、$C$ 為鉸接，因此各相連桿件在鉸接端之端彎矩均為零。

2. 忽略軸向變形的幾何相容條件： $AB$ 為水平桿，故 $B$ 點僅有垂直位移；$CD$ 為垂直桿，故 $C$ 點僅有水平位移。

3. 鉸—鉸桿件為兩力桿： $BC$ 兩端均為鉸接，且無橫向荷載，因此不承受彎矩，只提供沿 $BC$ 軸線方向的約束。

4. 固定端—鉸端梁的側向勁度：

固定端彎矩大小為：

其中 $\delta$ 為鉸端相對於固定端的垂直於桿軸位移。

解題方法

設 $B$ 點向下位移為 $\Delta_B$，$C$ 點向右位移為 $u_C$。

一、位移相容條件

由圖形幾何：

• $BC$ 水平投影為 $2L$
• $BC$ 垂直投影為 $1.5L$

由於忽略軸向變形，$BC$ 長度不變，因此：

故：

二、$AB$ 桿件關係

$AB$ 長度為 $2L$，彎曲剛度為 $2EI$，$B$ 端為鉸接。

其固定端—鉸端側向勁度為：

因此 $A$ 端彎矩大小為：

三、$CD$ 桿件關係

$CD$ 長度為 $3L$，彎曲剛度為 $3EI$，$C$ 端為鉸接。

其固定端—鉸端側向勁度為：

因此 $D$ 端彎矩大小為：

代入 $u_C=\frac34\Delta_B$：

四、利用外力作功求 $\Delta_B$

結構的彎曲應變能為：

由 $u_C=\frac34\Delta_B$：