109 調查局特考三等 營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題先由梁的靜力平衡求出二力桿件 $cd$ 的軸力，再以兩端鉸接柱的 Euler 挫屈公式求其臨界載重。梁在 $c$ 點受到二力桿件的向上支承力；此力使桿件受壓。

解題方法

以 $b$ 點為矩心，對水平構件 $be$ 取力矩。$bc=4\,\mathrm{m}$，而 $be=bc+ce=8\,\mathrm{m}$。令 $N_{cd}$ 為桿件軸力的大小：

因此

桿件 $cd$ 兩端為鉸接，取有效長度係數 $K=1$。中空圓形斷面的內徑為

其截面二次矩為

核心觀念

本題考查簡支梁的支承反力、集中載重作用處的剪力跳躍、矩形斷面的最大剪應力，以及集中載重作用點的垂直撓度。

圖中 $c$ 點位於載重作用位置，距左支承 $a$ 點 $3\,\mathrm{m}$、距右支承 $b$ 點 $5\,\mathrm{m}$，全跨長 $L=8\,\mathrm{m}$。

解題方法與計算

1. 支承反力與剪力

以 $a$ 點取力矩平衡：

由垂直力平衡：

集中載重使剪力在 $c$ 點產生跳躍：

因此，$c$ 點斷面取載重左側的剪力絕對值較大，設計剪力為 $V=9.375\,\mathrm{kN}$。

2. $c$ 點斷面最大剪應力

矩形斷面的最大剪應力位於中性軸，公式為

斷面面積：

代入 $V=9{,}375\,\mathrm{N}$：

核心觀念

本題考平面桁架的節點法：假設桿件只承受軸力，於各節點列 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$。以下以拉力為正，桿力負值代表壓力。

依原圖，桿件 1 是上弦 $x=9$ 至 $12\,\mathrm m$ 的水平桿；桿件 2 是上弦 $x=3$ 至 $6\,\mathrm m$ 的水平桿；桿件 3 是由 $x=3\,\mathrm m$ 上弦節點連至 $x=6\,\mathrm m$、低 $4\,\mathrm m$ 節點的斜桿。a、b 均按鉸支承處理，各有水平、垂直反力。

解題方法與計算

先對整體列平衡式。取 a 點為矩心，令 $+x$ 向右、$+y$ 向上：

四個向下荷重分別作用於 $x=0,6,12,18\,\mathrm m$。a 點座標為 $(3,-8)$，b 點為 $(15,-4)$，故：

整體平衡尚不足以單獨決定四個支承反力，須配合節點平衡式。將各節點的水平、垂直平衡式一併求解，可得：

以下列出節點法的代表步驟。左端節點的斜桿長為 $\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}\,\mathrm m$，因此：

核心觀念

本題考查斜率變位法處理「固定端、內鉸與彈性支承」的構架。內鉸 $c$ 不傳遞彎矩，因此 $bc$ 與 $cd$ 在 $c$ 端各自彎矩為零；但兩桿在 $c$ 點的垂直位移相同，轉角則可不同。二力桿 $ce$ 僅提供垂直軸向彈簧力：

其中 $v_c$ 是 $c$ 點向上位移，單位為 m，$R_{ce}$ 單位為 kN。

**題目資料不足以得到唯一的數值彎矩圖。**雖給定桿件 $ce$ 的軸向勁度 $k=200\,\mathrm{kN/m}$，但沒有給出共同的彎曲勁度 $EI$。兩者的相對大小會影響 $c$ 點位移及各端彎矩，因此以下以 $EI$ 保留為參數。

解題方法

令 $v_c$ 向上為正，轉角 $\theta_b,\theta_{cL},\theta_{cR}$ 以逆時針為正；其中 $\theta_{cL}$、$\theta_{cR}$ 分別為 $bc$、$cd$ 在 $c$ 端的轉角。由於 $d$ 固定，且忽略桿件軸向變形，水平位移不列入未知量。

均布載重在每個 6 m 梁段的等效端力為垂直力 $30\,\mathrm{kN}$，端彎矩 $30\,\mathrm{kN\cdot m}$。組裝 $ab$、$bc$、$cd$ 的斜率變位方程，並將彈簧勁度 $200\,\mathrm{kN/m}$ 加入 $c$ 點垂直位移方程，可得：