115 調查局特考三等 營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

115 年・調查局特考・三等・營繕工程組
試題代碼 結構分析（包括材料力學與結構學）

第 一 題25 分

如圖所示，abcabc 為剛性構件，並分別於 aa、bb、cc 點以鉸接方式連接三根水平桿件，桿件長度為 L=1 mL=1\,\mathrm{m}。

桿件 adad、bebe 及 cfcf 具有相同彈性模數 E=120 GPaE=120\,\mathrm{GPa}，以及相同截面積 A=500 mm2A=500\,\mathrm{mm}^2。

當外力 P=720 kNP=720\,\mathrm{kN} 時，求 bb 點與 cc 點的水平位移，以及 adad 與 bebe 桿件的內力。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示幾何資料：aa、bb、cc 三點位於剛性構件上；aa 至 bb 的垂直距離為 1 m1\,\mathrm{m}，bb 至外力 PP 作用線的垂直距離為 0.6 m0.6\,\mathrm{m}，外力 PP 作用線至 cc 點的垂直距離為 0.4 m0.4\,\mathrm{m}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查：

  1. 剛性構件的平面運動：各點水平位移沿高度呈線性分布。
  2. 軸向桿件之虎克定律： N=EAL δN=\frac{EA}{L}\,\delta
  3. 剛性構件的靜力平衡： ∑Fx=0,∑Ma=0\sum F_x=0,\qquad \sum M_a=0

三根水平桿件材料與截面相同，因此軸向勁度均為

k=EAL=(120×109)(500×10−6)1=60×106 N/m=60,000 kN/mk=\frac{EA}{L} =\frac{(120\times10^9)(500\times10^{-6})}{1} =60\times10^6\ \mathrm{N/m} =60{,}000\ \mathrm{kN/m}

圖中各高度為：

  • aa 點：y=0y=0
  • bb 點：y=1 my=1\,\mathrm{m}
  • PP 作用線：y=1.6 my=1.6\,\mathrm{m}
  • cc 點：y=2.0 my=2.0\,\mathrm{m}

解題方法

設剛性構件上 aa 點的水平位移為 uau_a，剛性構件轉角為 θ\theta，則

ub=ua+θ(1)u_b=u_a+\theta(1) uc=ua+θ(2)u_c=u_a+\theta(2)

由於左側牆面固定，桿件右端向右位移即為桿件伸長量，因此三根桿件皆受拉，其軸力分別為

Nad=kua,Nbe=kub,Ncf=kucN_{ad}=ku_a,\qquad N_{be}=ku_b,\qquad N_{cf}=ku_c

由水平力平衡

對剛性構件取水平方向平衡：

Nad+Nbe+Ncf=PN_{ad}+N_{be}+N_{cf}=P

代入桿件勁度：

k(ua+ub+uc)=720k(u_a+u_b+u_c)=720

因此

ua+ub+uc=72060,000=0.012 mu_a+u_b+u_c =\frac{720}{60{,}000} =0.012\ \mathrm{m}

又因為

ua+ub+uc=ua+(ua+θ)+(ua+2θ)=3ua+3θu_a+u_b+u_c =u_a+(u_a+\theta)+(u_a+2\theta) =3u_a+3\theta

所以

ua+θ=0.004 mu_a+\theta=0.004\ \mathrm{m}

即

ub=0.004 m\boxed{u_b=0.004\ \mathrm{m}}

由對 aa 點取力矩平衡

外力 PP 對 aa 點的力矩為

P(1.6)P(1.6)

桿件 bebe、cfcf 的軸力對 aa 點產生抵抗力矩，故

Nbe(1)+Ncf(2)=P(1.6)N_{be}(1)+N_{cf}(2)=P(1.6)

代入 N=kuN=ku：

k(ub+2uc)=720(1.6)k(u_b+2u_c)=720(1.6)

因此

ub+2uc=115260,000=0.0192 mu_b+2u_c =\frac{1152}{60{,}000} =0.0192\ \mathrm{m}
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第 二 題25 分

如圖（A）所示梁桿件，aa 點為滾支承，cc 點為鉸支承。

bcbc 桿件之斷面形狀如圖（B）所示，為寬 b=45 mmb=45\,\mathrm{mm}、高 h=200 mmh=200\,\mathrm{mm} 之矩形斷面。

求 bcbc 桿件內之最大正應力 σxx\sigma_{xx} 與最大剪應力 τxy\tau_{xy}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖（A）幾何與載重資料：aa 點至 bb 點水平距離為 1.5 m1.5\,\mathrm{m}，bb 點至 cc 點垂直投影之水平距離為 1.5 m1.5\,\mathrm{m}，bb 點至 cc 點垂直距離為 2 m2\,\mathrm{m}；bb 點受向下 60 kN60\,\mathrm{kN} 集中力作用。

圖（B）為矩形斷面，寬度方向標示為 bb，高度方向標示為 hh，並標示 yy、zz 軸。

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核心觀念

本題考查：

  1. 整體結構靜力平衡，求支承反力。
  2. 斜桿 bcbc 的內力分解為：
  • 軸力 NN；
  • 橫向剪力 VyV_y；
  • 彎矩 MzM_z。
  1. 矩形斷面的軸力應力、彎曲應力與剪應力公式。

取斜桿 bcbc 的局部座標：

  • xx 軸沿 b→cb\to c；
  • yy 軸垂直於桿件；
  • zz 軸垂直紙面。

一、求支承反力

設 aa 點滾支承反力為 AyA_y，cc 點鉸支承反力為 Cx,CyC_x,C_y。

由水平方向力平衡：

∑Fx=0⇒Cx=0\sum F_x=0 \quad\Rightarrow\quad C_x=0

以 aa 點取力矩：

∑Ma=0\sum M_a=0 Cy(3)−60(1.5)=0C_y(3)-60(1.5)=0

因此：

Cy=30 kNC_y=30\ \text{kN}

再由鉛直方向力平衡：

Ay+Cy−60=0A_y+C_y-60=0 Ay=30 kNA_y=30\ \text{kN}

所以 cc 點作用於桿件的反力為鉛直向上 30 kN30\ \text{kN}。

二、求桿件 bcbc 的內力

桿件 bcbc 的幾何長度為：

L=1.52+22=2.5 mL=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \text{m}

故其方向餘弦為：

cos⁡θ=1.52.5=0.6,sin⁡θ=22.5=0.8\cos\theta=\frac{1.5}{2.5}=0.6, \qquad \sin\theta=\frac{2}{2.5}=0.8

將 cc 點的鉛直反力 30 kN30\ \text{kN} 分解至斜桿局部座標：

軸力

N=30(0.8)=24 kNN=30(0.8)=24\ \text{kN}

桿件受壓，因此取：

N=−24 kNN=-24\ \text{kN}

橫向剪力

Vy=30(0.6)=18 kNV_y=30(0.6)=18\ \text{kN}

彎矩

在 cc 點為鉸支承，因此：

Mc=0M_c=0

在 bb 點，cc 點反力對 bb 點的力矩為：

Mb=30(1.5)=45 kN⋅mM_b=30(1.5)=45\ \text{kN}\cdot\text{m}

因此桿件內最大彎矩發生於 bb 點：

Mmax⁡=45 kN⋅mM_{\max}=45\ \text{kN}\cdot\text{m}

三、矩形斷面性質

已知：

b=45 mm,h=200 mmb=45\ \text{mm}, \qquad h=200\ \text{mm}

斷面面積：

A=bh=(45)(200)=9000 mm2A=bh=(45)(200)=9000\ \text{mm}^2

對 zz 軸的慣性矩：

Iz=bh312=(45)(200)312=30.0×106 mm4I_z=\frac{bh^3}{12} =\frac{(45)(200)^3}{12} =30.0\times10^6\ \text{mm}^4

外緣距離：

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第 三 題25 分

如圖所示梁桿件，aa 點為鉸支承，cc 點為固定端，bb 點為鉸接。

桿件 abab 及 bcbc 具有相同彈性模數 EE；桿件 abab 慣性矩為 II，而桿件 bcbc 慣性矩為 2I2I。已知 EI=30000 kN⋅m2EI=30000\,\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^2。

求此梁桿件的最大位移及其發生位置。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示幾何與載重資料：abab 長度為 6 m6\,\mathrm{m}，bcbc 長度為 2 m2\,\mathrm{m}；距離 aa 點 4 m4\,\mathrm{m}處施加向下 50 kN50\,\mathrm{kN} 集中力，aa 點施加 100 kN⋅m100\,\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} 彎矩，方向如圖示。

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核心觀念

本題考查：

  1. 內鉸 bb 的力學特性：bb 點彎矩為零，但可傳遞剪力。
  2. 固定端—內鉸桿件 bcbc 的受力與變形。
  3. 分段彎矩方程式及梁的撓曲微分方程：
EI v′′(x)=−M(x)EI\,v''(x)=-M(x)

其中 vv 取向下為正。

由於桿件 bcbc 無外力作用，且 cc 點固定、bb 點為內鉸，對桿件 bcbc 單獨取自由體圖可知其端部反力及端彎矩皆為零。因此桿件 bcbc 不產生彎曲變形，bb 點的垂直位移為零。故桿件 abab 可視為兩端支承於 a、ba、b 的簡支梁，bcbc 的 2EI2EI 不影響本題垂直撓度計算。

解題方法

令 xx 自 aa 點向右量，0≤x≤60\le x\le 6。圖示 aa 點施加順時針彎矩 100 kN⋅m100\,\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}。

1. 求支承反力

對整體梁作靜力平衡：

Ra+Rb=50R_a+R_b=50

以 aa 點取力矩：

6Rb−50(4)−100=06R_b-50(4)-100=0

因此

Rb=50 kN,Ra=0R_b=50\,\mathrm{kN},\qquad R_a=0

2. 建立彎矩方程式

桿件 abab 的彎矩為

當 0≤x≤40\le x\le 4：

M1(x)=100M_1(x)=100

當 4≤x≤64\le x\le 6：

M2(x)=100−50(x−4)=300−50xM_2(x)=100-50(x-4)=300-50x

且

EI=30000 kN⋅m2EI=30000\,\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^2

3. 分段積分求撓度

取向下位移為正，使用

EI v′′(x)=−M(x)EI\,v''(x)=-M(x)

區段一：0≤x≤40\le x\le 4

v1′′=−10030000=−1300v_1''=-\frac{100}{30000}=-\frac{1}{300}

積分得

v1′=C1−x300v_1' = C_1-\frac{x}{300} v1=C1x−x2600v_1=C_1x-\frac{x^2}{600}

區段二：4≤x≤64\le x\le 6

v2′′=−300−50x30000=−1100+x600v_2''=-\frac{300-50x}{30000} =-\frac{1}{100}+\frac{x}{600}

積分得

v2′=C2−x100+x21200v_2'=C_2-\frac{x}{100}+\frac{x^2}{1200}
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第 四 題25 分

如圖所示剛架結構，不考慮桿件的軸向變形。aa 點及 dd 點為鉸支承，各桿件有相同彈性模數 EE，其中 abab 及 cdcd 桿件慣性矩為 II，而 bcbc 及 adad 桿件慣性矩為 2I2I，且 EI=20000 kN⋅m2EI=20000\,\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^2。

已知 aa、bb、cc、dd 四個節點之轉角皆相同，求 aa 點轉角、bb 點水平位移，以及 aa 點斷面彎矩。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示幾何與載重資料：剛架寬度為 6 m6\,\mathrm{m}、高度為 4 m4\,\mathrm{m}；bb 點受向右 60 kN60\,\mathrm{kN} 集中力作用。

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核心觀念

本題考查無軸向變形剛架之斜率－位移法（Slope-Deflection Method）。採用：

  • 桿件長度：Lab=Lcd=4 mL_{ab}=L_{cd}=4\,\mathrm{m}，Lad=Lbc=6 mL_{ad}=L_{bc}=6\,\mathrm{m}
  • ab、cdab、cd：彎曲剛度為 EIEI
  • ad、bcad、bc：彎曲剛度為 2EI2EI
  • EI=20000 kN⋅m2EI=20000\,\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^2
  • 因不考慮軸向變形，b、cb、c 兩點水平位移相同，設為 Δ\Delta。

圖示所稱四個節點轉角相同，係指轉角量值相同；若以全域逆時針為正，左右兩側節點的代數符號相反，故設

θa=θd=−θ,θb=θc=θ.\theta_a=\theta_d=-\theta,\qquad \theta_b=\theta_c=\theta .

解題方法：斜率－位移法

斜率－位移公式為

Mij=2EIL(2θi+θj−3ψ),M_{ij} = \frac{2EI}{L} \left( 2\theta_i+\theta_j-3\psi \right),

其中 ψ\psi 為桿件弦線轉角。

1. 垂直桿件 ab、cdab、cd

對桿件 abab，頂端水平位移為 Δ\Delta，故弦線轉角為

ψab=Δ4.\psi_{ab}=\frac{\Delta}{4}.

在 aa 端：

Mab=2EI4[2(−θ)+θ−3(−Δ4)]M_{ab} = \frac{2EI}{4} \left[ 2(-\theta)+\theta-3\left(-\frac{\Delta}{4}\right) \right] Mab=EI(−θ2+3Δ8).M_{ab} = EI\left( -\frac{\theta}{2} +\frac{3\Delta}{8} \right).

2. 水平桿件 adad

桿件 adad 兩端無相對垂直位移，故 ψad=0\psi_{ad}=0，且其彎曲剛度為 2EI2EI：

Mad=2(2EI)6[2(−θ)+(−θ)]=−EIθ.M_{ad} = \frac{2(2EI)}{6} \left[ 2(-\theta)+(-\theta) \right] = -EI\theta .

3. aa 節點彎矩平衡

aa 點無外加節點彎矩，因此

Mab+Mad=0.M_{ab}+M_{ad}=0.

代入得

EI(−θ2+3Δ8)−EIθ=0,EI\left( -\frac{\theta}{2} +\frac{3\Delta}{8} \right)-EI\theta=0, 3Δ8=3θ2,\frac{3\Delta}{8} = \frac{3\theta}{2},

因此

Δ=4θ.\boxed{\Delta=4\theta}.

利用水平力求轉角

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