114 調查局特考三等 營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題考平面應力狀態的主應力與拉應力限制。主應力為應力矩陣的特徵值；依題目把拉應力記為負值，因此「拉應力不超過 $-40\ \mathrm{kgf/cm^2}$」表示較小的主應力不得小於 $-40\ \mathrm{kgf/cm^2}$。

解題方法

由圖可知，$x$ 方向正交應力為拉應力 $20\ \mathrm{kgf/cm^2}$，故依題目符號取 $\sigma_x=-20\ \mathrm{kgf/cm^2}$；剪應力大小為 $60\ \mathrm{kgf/cm^2}$。設 $y$ 方向正交應力為 $\sigma_y$，應力矩陣可寫為

為使較小的主應力不低於 $-40$，將 $40$ 加到矩陣的對角項後，矩陣須為半正定。其行列式須不小於零：

核心觀念

本題考查對稱剛架在均佈載重下的彎矩分配與位移相容。利用對稱性取左半架分析；因忽略桿件軸向變形，節點位移仍須符合桿件軸向長度不變的幾何條件。

取逆時針轉角、水平向右位移為正，令 $B$ 點水平位移為 $u_B$、轉角為 $\theta_B$。由對稱性，$C$ 點水平位移及轉角均為零。又因 $AB$ 不伸縮，$v_B=0$；$BC$ 桿的軸向變形為零，因此

圖示載重為垂直均佈載重 $w$。在斜桿 $BC$ 上，其垂直載重投影到桿件法向後為 $0.8w$；斜桿長度為 $5L$，故每支斜桿承受的總垂直載重為 $4wL$。

解題方法

對稱半架含 $AB$ 柱與 $BC$ 斜桿。以 $u_B,\theta_B$ 為廣義位移，利用桿件彎曲剛度及斜桿均佈載重的等效節點力，列出平衡方程。此為彎矩分配法處理對稱與側移效應時的等價剛度平衡式。

令

半架彎曲應變能所對應的剛度式，配合斜桿載重的廣義力，得到

解得

所以

負號表示 $B$ 點向左、逆時針為正時轉角為順時針。

端彎矩 $M_{AB}$

核心觀念

本題考查懸臂構件的截面內力，以及圓形實心斷面的軸力、彎矩與扭矩應力。先將 $C$ 點的外力移至固定端 $A$，再求圓形斷面 $o$ 點的縱向正應力與扭轉剪應力，最後用平面應力公式求主應力及最大平面剪應力。

圖示中 $AB$ 沿 $x$ 軸，$BC$ 沿 $+y$ 方向；$o$ 點位於截面 $+y$ 外緣，因此 $y=R,\ z=0$。

解題方法

由圖示力的方向，$F_1=-1\,\mathbf e_z\ \mathrm{tf}$，$F_2=1.5\,\mathbf e_x\ \mathrm{tf}$。由 $A$ 至 $C$ 的位置向量為

因此外力對 $A$ 點的力矩為

軸力為 $N=1.5\ \mathrm{tf}$；扭矩大小為 $T=80\ \mathrm{tf\cdot cm}$。彎矩分量為 $M_y=200\ \mathrm{tf\cdot cm}$、$M_z=-120\ \mathrm{tf\cdot cm}$。

圓截面直徑 $d=6\ \mathrm{cm}$、半徑 $R=3\ \mathrm{cm}$，故

在 $o$ 點，$y=3\ \mathrm{cm},\ z=0$。縱向正應力為軸力正應力加上 $M_z$ 所造成的彎曲正應力：

核心觀念

本題考查斜桿剛架的傾角變位法，關鍵有三項：

1. 忽略桿件軸向變形：各桿件軸線方向的相對位移為零，可用來建立剛架的水平側移與垂直位移關係。
2. 傾角變位法：桿端彎矩由桿端轉角及弦轉角決定。端點 $D$ 的向下載重，對 $C$ 點等效為順時針力矩 $Pa$。
3. 水平側移平衡：$C$ 點沒有水平外力，其水平位移須由 AB、BC 兩桿的彎曲變形共同滿足。

以下以逆時針為正，$\theta$ 表示逆時針桿端轉角，$\psi$ 表示逆時針弦轉角；彎矩符號表示作用於桿件端點的端彎矩。

解題方法與推導

設 $C$ 點水平位移為 $\Delta_C$，向右為正；$B$ 點位移為 $(u_B,v_B)$，$C$ 點垂直位移為零。

1. 由軸向不伸長建立位移關係

AB 桿方向為 $45^\circ$，BC 桿方向為 $-45^\circ$。由兩桿軸向相對位移為零：

因此

由幾何投影計算兩桿弦轉角：

令 $s=\dfrac{\Delta_C}{\sqrt{2}L}$，則 $\psi_{AB}=-s$、$\psi_{BC}=s$。

2. 寫出傾角變位式

$A$ 點固定，故 $\theta_A=0$。AB、BC 桿長均為 $L$，且端點 $D$ 的載重在 $C$ 點造成順時針力矩 $Pa$。各端彎矩式為

3. 建立平衡方程式

$B$ 點沒有外加力矩，因此