111 調查局特考三等 營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查梁的靜力平衡與柱的 Euler 挫屈。梁桿件 $be$ 在 $b$ 點透過銷接連到桿件 $ab$；由於 $ab$ 兩端皆為鉸接，且梁端反力沿桿件軸線作用，$ab$ 可視為兩端鉸支的受壓柱。

桿件 $ab$ 不發生挫屈的條件為：

其中兩端鉸接的有效長度係數 $K=1$。

解題方法

先對梁 $be$ 作靜力分析，求出 $b$ 點傳給桿件 $ab$ 的軸力，再令此壓力不超過 Euler 臨界挫屈荷重。

以 $b$ 點為原點，梁上 $c,d,e$ 的位置依序為 $x=4,8,12\ \mathrm{m}$。$de$ 段的均布載重合力為

作用位置在 $de$ 段中央，即距 $b$ 點 $10\ \mathrm{m}$。令 $R_b$、$R_d$ 為梁在 $b,d$ 點的垂直反力。取逆時針為正，對 $b$ 點取矩：

因此

再由垂直力平衡：

得

當 $P>2\ \mathrm{kN}$ 時，$R_b$ 為向上的梁反力；梁對桿件 $ab$ 的作用力方向相反，因此桿件 $ab$ 承受的壓力為

核心觀念

本題考查平面剛架的支承反力、斜梁的局部剪力與彎矩，以及彎曲應力公式。全結構有三個外部反力分量，配合三個平面平衡方程即可求解；楊氏係數 $E$ 不影響本題的內力與彎曲應力。

梁 $bd$ 的軸線由 $b$ 向 $d$ 傾斜，剪力應取垂直於梁軸線的分量。斷面最大撓曲應力由

求得，其中 $I$ 為斷面二次矩，$c$ 為中性軸至最外纖維的距離。

解題方法

先對整個結構取平衡。令 $a=(0,0)$、$d=(8,0)$，集中載重作用位置 $c$ 的水平座標為 $4\ \mathrm{m}$。由整體力矩平衡：

因此

再由垂直力平衡與水平力平衡：

柱 $ab$ 沒有外加荷載，且 $a$ 為鉸支承。對柱取 $a$ 點力矩平衡，可知其在 $b$ 點傳遞的端彎矩為零，因此梁 $bd$ 在 $b$ 點的端彎矩亦為零。梁的兩端彎矩為零，且 $d$ 點為滾支承。

梁的幾何長度與方向單位向量為

其中 $\mathbf{t}$ 沿梁軸線，$\mathbf{n}$ 垂直梁軸線。由圖中尺寸，$c$ 位於梁的中點，故

將垂直反力與集中載重投影至垂直梁軸線方向：

因此，梁 $bd$ 的剪力圖為：

• $b$ 至 $c$：$V=+22.36\ \mathrm{kN}$
• 通過 $c$ 點：剪力向下跳 $44.72\ \mathrm{kN}$

核心觀念

此題利用 $b$ 點內鉸將梁分成左右兩部分。內鉸可傳遞剪力與軸力，但不傳遞彎矩；先對右側梁段作靜力平衡，求出 $b$ 點的鉸接力，再把該力視為左側懸臂梁的端點荷載，計算 $b$ 點垂直變位。

解題方法

取向上為正，先分析右側 $b$ 至 $d$ 梁段。由 $b$ 至 $c$ 長 $3\ \mathrm{m}$，由 $b$ 至 $d$ 長 $3+2=5\ \mathrm{m}$。令滾支承 $c$ 的反力為 $R_c$，$b$ 點作用在右側梁段的鉸接力為 $B$。

對 $b$ 點取矩：

垂直力平衡為：

因此，$b$ 點對右側梁段施加向下 $20\ \mathrm{kN}$；依作用與反作用，右側梁段對左側梁段施加向上 $20\ \mathrm{kN}$。

核心觀念

本題考剛構架的傾角變位法，需列出各桿件端彎矩方程，並用節點力矩平衡、支承條件與水平力平衡解出未知轉角及側移。圖中 $a$ 點固定、$d$ 點鉸支承，故 $M_{ab}$ 及 $M_{dc}$ 分別不受額外端部條件限制，而 $M_{dc}=0$。

以下採一般剛架分析假設：各桿件軸向變形及剪切變形忽略；各桿件長度均為 $4\ \mathrm{m}$，且 $EI$ 相同。正彎矩及端部轉角均以逆時針為正，$u$ 為 $b、c$ 點向右的側移。

解題方法

令

梁 $bc$ 受全跨均布載重 $w=3\ \mathrm{kN/m}$，固定端彎矩大小為

依逆時針為正的端彎矩符號，梁端彎矩為

左柱 $ab$ 底端固定，並考慮側移 $u$，傾角變位式為

右柱 $cd$ 底端在 $d$ 點鉸接，故

在 $b、c$ 節點列力矩平衡，並使用 $d$ 點鉸支承條件：

整理得