107 調查局特考三等 營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查靜定桁架結構在溫度變化下的節點位移分析，涉及以下關鍵觀念與公式：

1. 靜定結構的熱變形特性： 二桿桁架由固定鉸支承 $C$、$B$ 與自由節點 $A$ 組成，為外靜定且內靜定結構。在無外力且僅受均勻溫度變化作用下，結構內部不產生任何內力與溫度應力（即桿件軸力 $N_{AC} = 0$、$N_{AB} = 0$），桿件僅發生不受約束的自由熱膨脹。
2. 桿件自由熱膨脹公式： $\Delta L = \alpha \cdot \Delta T \cdot L$ 其中 $\alpha$ 為線熱膨脹係數，$\Delta T$ 為溫度變化量，$L$ 為桿件原長。
3. 節點位移求解方法：

• 虛功法（單位力法，Unit Load Method）：在待求位移方向施加虛擬單位力，利用能量平衡式 $1 \cdot \Delta = \sum n_i \Delta L_i$ 求解。
• 幾何相合變形法（位移協調法）：依據小變形假設，桿件伸長量等於節點位移向量在桿軸方向的正投影，聯立幾何相合方程式求解。

解題方法

一、幾何尺寸與桿件原長計算

建立卡氏座標系，以節點 $A$ 為原點 $(0, 0)$。由題意及原卷圖示，支承 $C$ 與 $B$ 位於上方同一水平基準線（水平支承面，如天花板），節點 $A$ 懸吊於下方：

• 支承 $C$ 座標：$(-300\ \mathrm{cm},\ 300\ \mathrm{cm})$
• 支承 $B$ 座標：$(400\ \mathrm{cm},\ 300\ \mathrm{cm})$

計算各桿幾何長度與方向餘弦：

1. $AC$ 桿件：

• 水平跨距 $\Delta x_{AC} = 300\ \mathrm{cm}$，垂直跨距 $\Delta y_{AC} = 300\ \mathrm{cm}$
• 桿長： $L_{AC} = \sqrt{300^2 + 300^2} = 300\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
• 桿件與水平線夾角為 $45^\circ$，$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

2. $AB$ 桿件：

• 水平跨距 $\Delta x_{AB} = 400\ \mathrm{cm}$，垂直跨距 $\Delta y_{AB} = 300\ \mathrm{cm}$
• 桿長（典型 3-4-5 直角三角形）： $L_{AB} = \sqrt{400^2 + 300^2} = 500\ \mathrm{cm}$
• 桿件與水平線夾角設為 $\theta$，則 $\cos\theta = \frac{400}{500} = 0.8$，$\sin\theta = \frac{300}{500} = 0.6$。

二、桿件之熱膨脹伸長量計算

已知材料熱膨脹係數 $\alpha = 1.0 \times 10^{-5}/^\circ\mathrm{C}$：

1. $AC$ 桿件伸長量（$\Delta T_{AC} = +400^\circ\mathrm{C}$）： $\Delta L_{AC} = \alpha \cdot \Delta T_{AC} \cdot L_{AC} = (1.0 \times 10^{-5}) \times 400 \times (300\sqrt{2}) = 1.2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$

2. $AB$ 桿件伸長量（$\Delta T_{AB} = +800^\circ\mathrm{C}$）： $\Delta L_{AB} = \alpha \cdot \Delta T_{AB} \cdot L_{AB} = (1.0 \times 10^{-5}) \times 800 \times 500 = 4.0\ \mathrm{cm}$

三、求解 $A$ 點之位移量

採用**單位力法（虛功法）**求解最為精準迅速；亦可採用幾何變形相合法互為驗證。

設 $u_A$ 為 $A$ 點之水平位移（向右為正），$v_A$ 為 $A$ 點之垂直位移（向上為正）。

【解法一：單位力法（虛功法）】

在節點 $A$ 施加虛擬外力 $(P_x, P_y)$，分析節點 $A$ 之平衡。設桿端拉力為正，拉力沿桿件斜向上指向支承：

• $\sum F_x = 0 \implies n_{AB} \cos\theta - n_{AC} \cos 45^\circ + P_x = 0 \implies 0.8 n_{AB} - \frac{1}{\sqrt{2}} n_{AC} = -P_x$
• $\sum F_y = 0 \implies n_{AB} \sin\theta + n_{AC} \sin 45^\circ + P_y = 0 \implies 0.6 n_{AB} + \frac{1}{\sqrt{2}} n_{AC} = -P_y$

兩式相加消去 $n_{AC}$： $1.4 n_{AB} = -(P_x + P_y) \implies n_{AB} = -\frac{5}{7}(P_x + P_y)$ 代回求得 $n_{AC}$： $\frac{1}{\sqrt{2}} n_{AC} = -P_y - 0.6 n_{AB} = \frac{3}{7} P_x - \frac{4}{7} P_y \implies n_{AC} = \sqrt{2}\left(\frac{3}{7} P_x - \frac{4}{7} P_y\right)$

1. 求水平位移 $u_A$（施加單位虛力 $P_x = 1$，令 $P_y = 0$）：

• $n_{AB}^{(x)} = -\frac{5}{7}$

核心觀念

本題考查材料力學之軸向與彎曲變形諧和（Statically Indeterminate Compatibility），以及工程實務中後張法預力構件分批施力引致之「彈性縮減損失（Elastic Shortening Loss）」。

1. 斷面幾何性質（總斷面特性）：

• 梁全截面積：$A_g = bh$
• 梁對形心軸（中性軸）之慣性矩：$I_g = \frac{1}{12}bh^3$

2. 偏心軸力引致之正應力與正應變： 當偏心壓力 $P$ 作用於距形心軸 $y_p$ 處時，依材料力學疊加原理，梁內任意纖維座標 $y$（以形心軸為原點，向上為正）之正應力為： $\sigma(y) = -\frac{P}{A_g} - \frac{(P y_p) y}{I_g} = -P\left( \frac{1}{A_g} + \frac{y_p y}{I_g} \right)$
3. 變形諧和條件（Compatibility Condition）： 鋼棒 1 於第一階段已張拉至 $T_1 = 50{,}000\ \mathrm{kgf}$ 並以螺帽錨定。當第二階段置入鋼棒 2 並施加 $T_2 = 50{,}000\ \mathrm{kgf}$ 鎖緊時，鋼棒 2 對梁兩端施加偏心壓力，使梁在鋼棒 1 所在高度產生軸向壓應變與縮短量。由於鋼棒 1 兩端已鎖固且與材料間無相對滑動，鋼棒 1 之伸長量減少值（即縮短量）必等於梁在該高度處之淨縮短量，進而使鋼棒 1 之拉力產生鬆弛（減少）。

解題方法

一、斷面性質與幾何座標計算

依題目尺寸與提示：

• 梁長 $L = 500\ \mathrm{cm}$，寬 $b = 20\ \mathrm{cm}$，高 $h = 80\ \mathrm{cm}$
• 梁斷面積： $A_g = 20 \times 80 = 1{,}600\ \mathrm{cm^2}$
• 梁斷面慣性矩： $I_g = \frac{1}{12} \times 20 \times 80^3 = \frac{2{,}560{,}000}{3} \approx 853{,}333.33\ \mathrm{cm^4}$
• 鋼棒與梁之幾何配置（依原卷附圖標註，兩鋼棒對稱配置於梁截面中性軸上下各 $20\ \mathrm{cm}$ 處）：
• 鋼棒 1 位於中性軸下方 $20\ \mathrm{cm}$ 處，座標 $y_1 = -20\ \mathrm{cm}$
• 鋼棒 2 位於中性軸上方 $20\ \mathrm{cm}$ 處，座標 $y_2 = +20\ \mathrm{cm}$

二、單位力引致之柔度係數

1. 鋼棒 2 施加端部偏心力對鋼棒 1 高度處產生之應力係數： $\frac{1}{A_g} + \frac{y_1 y_2}{I_g} = \frac{1}{1{,}600} + \frac{(-20)(+20)}{\frac{2{,}560{,}000}{3}} = \frac{1}{1{,}600} - \frac{1{,}200}{2{,}560{,}000} = \frac{4}{6{,}400} - \frac{3}{6{,}400} = \frac{1}{6{,}400}\ \mathrm{cm^{-2}}$
2. 鋼棒 1 拉力釋放對自身高度處梁體產生之反彈應力係數： $\frac{1}{A_g} + \frac{y_1^2}{I_g} = \frac{1}{1{,}600} + \frac{(-20)^2}{\frac{2{,}560{,}000}{3}} = \frac{4}{6{,}400} + \frac{3}{6{,}400} = \frac{7}{6{,}400}\ \mathrm{cm^{-2}}$

三、計算推導

本題依題意有兩種分析切入視角，以下分別詳解：

【解法一：材料力學精確變形諧和法（超靜定雙向耦合解，推薦標準解法）】

設鋼棒 2 張拉至 $T_2 = 50{,}000\ \mathrm{kgf}$ 後，鋼棒 1 所受之拉力降為 $T_1'$，拉力減少量為 $\Delta T_1$（即 $T_1' = T_1 - \Delta T_1$）。

1. 鋼棒 1 之軸向縮短量 $\delta_{s1}$： $\delta_{s1} = \frac{\Delta T_1 L}{E_s A_s}$
2. 梁在鋼棒 1 高度處之軸向淨縮短量 $\delta_{e1}$： 梁之縮短係由「$T_2$ 施加之偏心壓力」減去「鋼棒 1 因回彈釋放之拉力 $\Delta T_1$」所構成： $\delta_{e1} = \frac{T_2 L}{E_e} \left( \frac{1}{A_g} + \frac{y_1 y_2}{I_g} \right) - \frac{\Delta T_1 L}{E_e} \left( \frac{1}{A_g} + \frac{y_1^2}{I_g} \right)$
3. 建立變形諧和方程式： 由 $\delta_{s1} = \delta_{e1}$，兩端消去長度 $L$： $\frac{\Delta T_1}{E_s A_s} = \frac{T_2}{E_e} \left( \frac{1}{A_g} + \frac{y_1 y_2}{I_g} \right) - \frac{\Delta T_1}{E_e} \left( \frac{1}{A_g} + \frac{y_1^2}{I_g} \right)$ 移項整理得： $\Delta T_1 \left[ \frac{1}{E_s A_s} + \frac{1}{E_e} \left( \frac{1}{A_g} + \frac{y_1^2}{I_g} \right) \right] = \frac{T_2}{E_e} \left( \frac{1}{A_g} + \frac{y_1 y_2}{I_g} \right)$
4. 代入數值計算：

• 鋼棒軸向勁度項：

核心觀念

本題屬於剛體機構之小變位分析（Kinematic and Virtual Work Analysis of Rigid Body Mechanisms with Elastic Restraints），為公職國考《結構學與材料力學》之經典題型。涉及的核心力學觀念與公式包括：

1. 剛體小變位運動學（Kinematics of Rigid Bodies）：

• 桿件之軸向剛度 $EA = \infty$（無軸向變形，長度保持不變）且撓曲剛度 $EI = \infty$（無彎曲變形，保持為直線），桿件僅能繞旋轉中心作微小剛體轉動。
• 構造系統邊界條件：$A$ 點為固定鉸支承（Hinge），$B$ 點為水平滾支承（Roller），頂端 $C$ 點為連結桿件 $AC$ 與 $BC$ 之內部鉸接點（Internal Hinge）。
• 幾何尺寸：桿件與水平線之夾角為 $\alpha$，由 $\tan\alpha = \frac{600}{450} = \frac{4}{3}$ 可知為標準 $3:4:5$ 直角三角形，$\cos\alpha = 0.6$，$\sin\alpha = 0.8$。

2. 虛功原理（Principle of Virtual Work）：

• 對於處於平衡狀態之單自由度彈性結構系統，外力所作之虛功等於系統內部彈簧儲存之虛應變能： $\delta W_e = \delta U$ 其中 $\delta W_e = Q \cdot \delta \Delta_{Cv}$，$\delta U = F_1 \cdot \delta(\delta_1) + F_2 \cdot \delta(\delta_2)$。

3. 靜力平衡法（Static Equilibrium）：

• 亦可利用剛體各構件之自由體圖（FBD），對分離節點取力矩平衡，直接求解彈簧內力與位移。

解題方法

一、構造幾何與小變位運動學關係

設桿件 $AC$ 與 $BC$ 受到頂端向下集中載重 $Q$ 作用後，兩剛性桿對稱向外張開微小角度 $\theta$（弧度）：

1. $C$ 點變位分析：

• 桿件 $AC$ 繞 $A$ 點順時針微轉 $\theta$。以 $A$ 點為原點，向量 $\vec{r}_{AC} = (450,\, 600)\ \mathrm{cm}$。
• $C$ 點之位移為： $\Delta_{Cv} = 450\,\theta\quad (\text{垂直向下})$ $\Delta_{Ch} = 600\,\theta\quad (\text{水平向右})$

2. $B$ 點變位分析：

• 因 $B$ 點受水平滾支承拘束，垂直變位 $\Delta_{Bv} = 0$。
• 桿件 $BC$ 長度不變（$EA = \infty$），由微小變位之幾何相容條件： $(x_C - x_B)(\Delta x_C - \Delta x_B) + (y_C - y_B)(\Delta y_C - \Delta y_B) = 0$ 代入初始坐標差 $x_C - x_B = -450\ \mathrm{cm}$、$y_C - y_B = 600\ \mathrm{cm}$： $-450(600\theta - \Delta_{Bh}) + 600(-450\theta - 0) = 0$ $450 \Delta_{Bh} = 450 \times 600\theta + 600 \times 450\theta = 540{,}000\theta$ $\Delta_{Bh} = 1{,}200\,\theta\quad (\text{水平向右})$

3. 彈簧伸長量分析：

• 彈簧 1 位於垂直高度 $y = 200\ \mathrm{cm}$ 處，彈簧 2 位於 $y = 400\ \mathrm{cm}$ 處。
• 兩桿在高度 $y$ 處的相對水平向外張開量（即彈簧伸長量）為： $\delta(y) = \Delta x_{BC}(y) - \Delta x_{AC}(y) = (1{,}200 - y)\theta - y\theta = 2(600 - y)\theta$
• 彈簧 1（$y = 200\ \mathrm{cm}$）之伸長量： $\delta_1 = 2(600 - 200)\theta = 800\,\theta\quad (\text{受拉})$
• 彈簧 2（$y = 400\ \mathrm{cm}$）之伸長量： $\delta_2 = 2(600 - 400)\theta = 400\,\theta\quad (\text{受拉})$

二、彈簧內力與系統平衡求解（虛功原理法）

1. 彈簧內力表示式：

• 彈簧 1 之拉力： $F_1 = k_1 \delta_1 = 1{,}000 \times (800\theta) = 800{,}000\,\theta\quad (\mathrm{kgf})$
• 彈簧 2 之拉力： $F_2 = k_2 \delta_2 = 1{,}200 \times (400\theta) = 480{,}000\,\theta\quad (\mathrm{kgf})$

2. 建立虛功方程式：

• 外力虛功：

核心觀念

本題考查靜不定梁的影響線（Influence Line）分析與移動載重所造成的極值彎矩計算，主要涉及以下核心力學理論與公式：

1. 穆勒–布雷斯勞定理（Müller-Breslau Principle）：靜不定結構某一反應（反力、剪力或彎矩）的影響線，其形狀在比例上等於解除該約束後、沿該反應正方向施加單位廣義位移時所產生的結構撓度曲線。求固定端彎矩 $M_A$ 的影響線時，需將 $A$ 點的旋轉約束解除（改為鉸支承），並施加單位轉角 $\theta_A = 1$。
2. 梁的撓度形狀函數（Hermite 形狀函數）：題目所附之兩道提示公式，即為等斷面梁元素（長度為 $L$）受兩端節點單位轉角作用下的精確撓度曲線：

• 近端（$x=0$）施加單位轉角 $\theta=1$、遠端（$x=L$）固定時的撓度曲線： $v_1(x) = x - \frac{2x^2}{L} + \frac{x^3}{L^2}$
• 遠端（$x=L$）施加單位轉角 $\theta=1$、近端（$x=0$）固定時的撓度曲線： $v_2(x) = -\frac{x^2}{L} + \frac{x^3}{L^2}$

3. 傾角撓度法（Slope-Deflection Method）：用於計算中間支承 $B$ 點在虛擬變形下的節點轉角 $\theta_B$。

解題方法

步驟一：利用穆勒–布雷斯勞定理建立虛擬結構與位移狀態

令梁向下為正撓度、向上為負（或令向下外力與向上變位同向對應）。欲求固定端 $A$ 承受逆時針彎矩 $M_A$（梁端受拉側在頂部，即負彎矩）之影響線：

1. 將 $A$ 點的旋轉約束解除，變為簡支承。
2. 於 $A$ 點施加單位逆時針轉角 $\theta_A = 1$。
3. 各支承點之垂直變位均為零：$v(A) = 0$、$v(B) = 0$、$v(C) = 0$。

步驟二：求節點 $B$ 與節點 $C$ 之轉角

在虛擬位移狀態下，跨度內無橫向荷載，由傾角撓度公式表達桿端力矩：

• $AB$ 跨（$L = 10\ \mathrm{m}$）： $M_{BA} = \frac{2EI}{L} (\theta_A + 2\theta_B) = \frac{2EI}{L} (1 + 2\theta_B)$
• $BC$ 跨（$L = 10\ \mathrm{m}$，端點 $C$ 為簡支承，$M_{CB} = 0$）： $M_{BC} = \frac{3EI}{L} \theta_B$

依節點 $B$ 之力矩平衡條件 $\sum M_B = 0$： $M_{BA} + M_{BC} = 0 \implies \frac{2EI}{L} (1 + 2\theta_B) + \frac{3EI}{L} \theta_B = 0$ $\frac{EI}{L} (2 + 7\theta_B) = 0 \implies \theta_B = -\frac{2}{7}$

由 $C$ 端力矩為零（$M_{CB} = \frac{2EI}{L}(\theta_B + 2\theta_C) = 0$），可得 $C$ 點轉角： $\theta_C = -\frac{1}{2}\theta_B = +\frac{1}{7}$

步驟三：寫出各跨撓度方程式（$M_A$ 影響線方程式）

利用題目提示之基本形狀函數疊加各跨位移曲線：

1. $AB$ 跨（$0 \le x \le L$，$x$ 自 $A$ 點算起）： 近端轉角 $\theta_A = 1$，遠端轉角 $\theta_B = -\frac{2}{7}$： $v_{AB}(x) = 1 \cdot v_1(x) + \theta_B \cdot v_2(x)$ $v_{AB}(x) = \left( x - \frac{2x^2}{L} + \frac{x^3}{L^2} \right) - \frac{2}{7} \left( -\frac{x^2}{L} + \frac{x^3}{L^2} \right) = x - \frac{12}{7L}x^2 + \frac{5}{7L^2}x^3$

2. $BC$ 跨（$0 \le x' \le L$，$x'$ 自 $B$ 點算起）： 近端轉角 $\theta_B = -\frac{2}{7}$，遠端轉角 $\theta_C = \frac{1}{7}$： $v_{BC}(x') = \theta_B \cdot v_1(x') + \theta_C \cdot v_2(x')$ $v_{BC}(x') = -\frac{2}{7}\left( x' - \frac{2{x'}^2}{L} + \frac{{x'}^3}{L^2} \right) + \frac{1}{7}\left( -\frac{{x'}^2}{L} + \frac{{x'}^3}{L^2} \right) = -\frac{2}{7}x' + \frac{3}{7L}{x'}^2 - \frac{1}{7L^2}{x'}^3$ 化簡得： $v_{BC}(x') = -\frac{x'(L - x')(2L - x')}{7L^2}$

步驟四：計算活載重 $Q=10\ \mathrm{tf}$ 作用下之彎矩極值

1. 載重於 $AB$ 跨時（產生負彎矩，梁頂受拉）： 尋找 $v_{AB}(x)$ 之極值位置，令一階導數為零：