113 調查局特考三等 財經實務組 經濟學 考古題詳解

113 年・調查局特考・三等・財經實務組
試題代碼 經濟學

第 一 題25 分

假設當某消費者消費 xx 單位的 XX 物品及 yy 單位的 YY 物品時，所得到的滿足程度為

U(x,y)=xαyβ,α,β∈(0,1),0<α+β<1。U(x,y)=x^\alpha y^\beta,\qquad \alpha,\beta\in(0,1),\quad 0<\alpha+\beta<1。

另外，此消費者的所得為 I>0I>0，XX 物品的單位價格為 pX>0p_X>0，且 YY 物品的單位價格為 pY>0p_Y>0。根據以上設定回答下列問題：

(一) 假設此消費者追求效用最大。求導出此消費者購買正值的 XX 物品及正值的 YY 物品的 Marshallian demands，以及其所對應的間接效用函數（indirect utility function）。（9 分）

(二) 給定最低效用滿足程度 u>0u>0，假設此消費者追求購買兩種物品的總支出最小。求導出此消費者購買 XX 及 YY 物品的 Hicksian demands，以及其所對應的支出函數（expenditure function）。（9 分）

(三) 根據(一)及(二)的答案，以 XX 物品為例，證明 Marshallian demands 及 Hicksian demands 滿足對偶定理（duality theorem）。（7 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考 Cobb–Douglas 效用函數 U(x,y)=xαyβU(x,y)=x^\alpha y^\beta 的消費者選擇，以及 Marshallian demands（效用最大化需求）、Hicksian demands（支出最小化需求）與間接效用函數、支出函數。兩個需求系統須符合對偶關係：把 Marshallian 需求代入 Hicksian 需求時，價格與效用須分別取自支出函數及間接效用函數。

令 γ=α+β\gamma=\alpha+\beta，題設給定 0<γ<10<\gamma<1。

（一）Marshallian demands 與間接效用函數

消費者的效用最大化問題為

max⁡x,y≥0xαyβsubject topXx+pYy=I.\max_{x,y\geq 0} x^\alpha y^\beta \quad\text{subject to}\quad p_Xx+p_Yy=I.

因 α,β>0\alpha,\beta>0，效用隨兩種商品的消費量增加，最適選擇會用盡所得。取效用的對數，最大化 αln⁡x+βln⁡y\alpha\ln x+\beta\ln y，建立拉格朗日函數：

L=αln⁡x+βln⁡y+λ(I−pXx−pYy).\mathcal{L}=\alpha\ln x+\beta\ln y +\lambda(I-p_Xx-p_Yy).

一階條件為

αx=λpX,βy=λpY,pXx+pYy=I.\frac{\alpha}{x}=\lambda p_X,\qquad \frac{\beta}{y}=\lambda p_Y,\qquad p_Xx+p_Yy=I.

前兩式可得

αpXxβpYy=1,αpXx=βpYy.\frac{\alpha p_Xx}{\beta p_Yy}=1, \qquad \alpha p_Xx=\beta p_Yy.

搭配預算限制，得到支出分配為

pXx=αα+βI,pYy=βα+βI.p_Xx=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}I, \qquad p_Yy=\frac{\beta}{\alpha+\beta}I.

因此 Marshallian demands 為

xM(pX,pY,I)=αα+βIpX,yM(pX,pY,I)=βα+βIpY.x^M(p_X,p_Y,I) =\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_X}, \qquad y^M(p_X,p_Y,I) =\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_Y}.

由於 I,pX,pY,α,βI,p_X,p_Y,\alpha,\beta 均為正，兩種商品的需求皆為正。將需求代入效用函數，間接效用函數為

v(pX,pY,I)=(αI(α+β)pX)α(βI(α+β)pY)β.v(p_X,p_Y,I) = \left( \frac{\alpha I}{(\alpha+\beta)p_X} \right)^\alpha \left( \frac{\beta I}{(\alpha+\beta)p_Y} \right)^\beta.

亦可寫成

v(pX,pY,I)=ααββ(α+β)α+βIα+βpXαpYβ.v(p_X,p_Y,I) = \frac{\alpha^\alpha\beta^\beta}{(\alpha+\beta)^{\alpha+\beta}} \frac{I^{\alpha+\beta}}{p_X^\alpha p_Y^\beta}.

（二）Hicksian demands 與支出函數

支出最小化問題為

min⁡x,y≥0pXx+pYysubject toxαyβ≥u.\min_{x,y\geq 0} p_Xx+p_Yy \quad\text{subject to}\quad x^\alpha y^\beta\geq u.

在最低成本的最適點，效用限制會緊束，即 xαyβ=ux^\alpha y^\beta=u。以對數形式建立拉格朗日函數：

L=pXx+pYy+μ(ln⁡u−αln⁡x−βln⁡y).\mathcal{L}=p_Xx+p_Yy +\mu\bigl(\ln u-\alpha\ln x-\beta\ln y\bigr).

一階條件為

pX=μαx,pY=μβy.p_X=\frac{\mu\alpha}{x}, \qquad p_Y=\frac{\mu\beta}{y}.

所以

pXx=μα,pYy=μβ,p_Xx=\mu\alpha,\qquad p_Yy=\mu\beta,

進而得到 Hicksian demands 的比例關係：

pXxpYy=αβ.\frac{p_Xx}{p_Yy}=\frac{\alpha}{\beta}.

令 s=α+βs=\alpha+\beta。將 pXx=μαp_Xx=\mu\alpha、pYy=μβp_Yy=\mu\beta 代入效用限制：

u=(μαpX)α(μβpY)β.u = \left(\frac{\mu\alpha}{p_X}\right)^\alpha \left(\frac{\mu\beta}{p_Y}\right)^\beta.

解得

μ=(u pXαpYβααββ)1/s.\mu = \left( \frac{u\,p_X^\alpha p_Y^\beta} {\alpha^\alpha\beta^\beta} \right)^{1/s}.

故 Hicksian demands 為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

假設一個追求利潤最大的廠商擁有以下生產函數

f(x1,x2)=(x1x2)14,f(x_1,x_2)=(x_1x_2)^{\frac{1}{4}},

其中 xix_i 代表第 ii 個生產要素的投入量，且其價格為 wiw_i，i=1,2i=1,2。根據以上設定，回答下列問題：

(一) 給定最低產出量為 q>0q>0 時，求導出此廠商的兩種生產要素的最適投入量以及所對應的長期成本函數（long-run cost function）。（9 分）

(二) 假設此廠商面對完全競爭的產出市場，其中產品價格為 p>0p>0。求出此廠商的長期供給曲線。並在同一個圖形中，畫此廠商的長期平均總成本、長期邊際成本及其長期供給曲線。（7 分）

(三) 假設此廠商在產出市場獨占，且面對市場需求曲線

p=2−q。p=2-q。

請求出此獨占廠商的最適供給量及市場均衡價格。（9 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查：

  1. 生產者的成本最小化與要素需求。
  2. 長期成本函數、長期平均成本與長期邊際成本。
  3. 完全競爭廠商的利潤最大化與長期供給曲線。
  4. 獨占廠商的邊際收益定價原則：MR=MCMR=MC。

令

s=w1w2>0。s=\sqrt{w_1w_2}>0。

生產函數為

q=(x1x2)1/4⟺x1x2=q4。q=(x_1x_2)^{1/4} \quad\Longleftrightarrow\quad x_1x_2=q^4。

（一）最適投入量與長期成本函數

解題方法

給定產出量 qq，廠商欲使生產成本最小：

min⁡x1,x2w1x1+w2x2\min_{x_1,x_2}w_1x_1+w_2x_2

並受限於

x1x2=q4。x_1x_2=q^4。

由限制式得

x2=q4x1。x_2=\frac{q^4}{x_1}。

因此成本函數可寫為

C=w1x1+w2q4x1.C=w_1x_1+w_2\frac{q^4}{x_1}.

對 x1x_1 微分並令其等於零：

dCdx1=w1−w2q4x12=0。\frac{dC}{dx_1} =w_1-\frac{w_2q^4}{x_1^2}=0。

故

x12=w2w1q4,x_1^2=\frac{w_2}{w_1}q^4,

因投入量為正，得到

x1∗=q2w2w1。x_1^*=q^2\sqrt{\frac{w_2}{w_1}}。

代回 x1x2=q4x_1x_2=q^4：

x2∗=q2w1w2。x_2^*=q^2\sqrt{\frac{w_1}{w_2}}。

兩種要素的支出相等：

w1x1∗=w2x2∗=q2w1w2.w_1x_1^*=w_2x_2^*=q^2\sqrt{w_1w_2}.

因此長期成本函數為

C(q;w1,w2)=w1x1∗+w2x2∗=2q2w1w2.C(q;w_1,w_2) =w_1x_1^*+w_2x_2^* =2q^2\sqrt{w_1w_2}.

結果

x1∗=q2w2w1\boxed{x_1^*=q^2\sqrt{\frac{w_2}{w_1}}} x2∗=q2w1w2\boxed{x_2^*=q^2\sqrt{\frac{w_1}{w_2}}} C(q)=2q2w1w2=2sq2\boxed{C(q)=2q^2\sqrt{w_1w_2}=2sq^2}

（二）長期供給曲線與成本曲線

長期平均成本與長期邊際成本

由長期成本函數

C(q)=2sq2C(q)=2sq^2

可得長期平均總成本：

LRAC(q)=C(q)q=2sq=2qw1w2.LRAC(q)=\frac{C(q)}{q} =2sq =2q\sqrt{w_1w_2}.

長期邊際成本為

LRMC(q)=dCdq=4sq=4qw1w2.LRMC(q)=\frac{dC}{dq} =4sq =4q\sqrt{w_1w_2}.

因此：

LRAC=2sq\boxed{LRAC=2sq} LRMC=4sq\boxed{LRMC=4sq}

且對所有 q>0q>0：

LRMC(q)=2LRAC(q)>LRAC(q)。LRMC(q)=2LRAC(q)>LRAC(q)。

完全競爭下的長期供給曲線

完全競爭廠商以價格 pp 為既定，利潤為

π(q)=pq−C(q)=pq−2sq2。\pi(q)=pq-C(q) =pq-2sq^2。

利潤最大化的一階條件為

dπdq=p−4sq=0。\frac{d\pi}{dq} =p-4sq=0。

故

q∗=p4s=p4w1w2。q^*=\frac{p}{4s} =\frac{p}{4\sqrt{w_1w_2}}。

由於

d2πdq2=−4s<0,\frac{d^2\pi}{dq^2}=-4s<0,

故此為利潤極大值。

因此廠商的長期供給曲線為

qs(p)=p4w1w2(p>0)\boxed{q^s(p)=\frac{p}{4\sqrt{w_1w_2}}} \qquad (p>0)

或以反函數表示：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

由於一些國人選擇移居海外，加上少子化因素，促使臺灣的人口減少。其他條件不變下，請以 IS-LM 及 AD-AS 模型分析人口減少在短期對臺灣均衡平均物價、均衡實質總產出及均衡實質利率的影響。

假設臺灣原先處於短期及長期均衡，必須以圖形及簡單的文字說明，否則不計分。

（25 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考察人口減少所造成的總需求與貨幣市場效果，並以 IS-LM 及 AD-AS 模型分析短期均衡變化。

主要關係式如下：

Y=C(Y−T)+I(r)+G+NXY=C(Y-T)+I(r)+G+NX MP=L(Y,r)\frac{M}{P}=L(Y,r)

其中，YY 為實質總產出，rr 為實質利率，PP 為平均物價，M/PM/P 為實質貨幣供給。

短期內假設工資及物價具有黏性，資本存量及有效勞動供給暫視為固定；人口減少首先透過消費需求下降影響經濟。

一、IS-LM 模型分析

人口減少使國內消費人口減少，在其他條件不變下，消費支出下降。因此，在每一個利率水準下，總支出均降低，IS 曲線向左移動。

C↓⇒AE↓⇒IS 左移C\downarrow \Rightarrow AE\downarrow \Rightarrow IS\text{ 左移}

短期內貨幣供給 MM 不變，且物價尚未充分調整，因此實質貨幣供給 M/PM/P 暫時不變，LM 曲線不移動。

實質利率 r
 │
 │ LM
 │ /
 r₀ │────● E₀
 │ / \
 r₁ │──● E₁ \ IS₀
 │ / \
 │ / IS₁
 └──────────────── 實質產出 Y
 Y₁ Y₀

均衡由 E0E_0 移至 E1E_1：

  • 均衡實質總產出由 Y0Y_0 降至 Y1Y_1。
  • 均衡實質利率由 r0r_0 降至 r1r_1。
  • 物價在短期內具有黏性，暫時維持原水準。

利率下降可部分刺激投資與利率敏感性消費，但不足以抵銷人口減少造成的消費需求下降，因此實質產出仍然下降。

二、AD-AS 模型分析

IS 曲線左移，使每一個物價水準下的均衡產出均降低，因此 AD 曲線向左移動。

平均物價 P
 │
 P₀ │────● E₀
 │ \
 P₁ │──● E₁ \ AD₀
 │ \ \
 │ \ AD₁
 │ /
 │ / SRAS
 └──────────────── 實質總產出 Y
 Y₁ Y₀

AD 曲線左移的結果為：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

考慮 A 國為一個開放經濟體系（open economy），且採浮動匯率制度（floating exchange rate）。在同時考慮 A 國國內可貸資金市場及外匯市場的模型下，分析下列事件對 A 國的均衡實質利率、均衡實質匯率及淨出口金額所造成的影響。必須以圖形及簡單的文字說明，否則不計分。

(一) 其他條件不變下，A 國可能爆發戰爭，外國資金因而撤離。（6 分）

(二) 其他條件不變下，通貨膨脹使得 A 國國民的儲蓄減少。（6 分）

(三) 其他條件不變下，A 國貨幣大幅貶值使得 A 國出口增加，但同時推升國內物價使得 A 國國民的儲蓄減少。（13 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題使用開放經濟體系的兩個市場：

  1. 可貸資金市場
S=I+NCOS=I+NCO

其中：

  • SS：國民儲蓄
  • II：國內投資
  • NCONCO：淨資本外流

均衡實質利率由可貸資金市場決定。

  1. 外匯市場
NCO=NXNCO=NX

其中：

  • NXNX：淨出口
  • 實質匯率上升代表實質升值，會使 NXNX 減少
  • 實質匯率下降代表實質貶值，會使 NXNX 增加

以下以「縱軸為實質利率 rr、橫軸為可貸資金數量」表示可貸資金市場；外匯市場則以「縱軸為實質匯率、橫軸為外匯交易量」表示。

（一）戰爭造成外國資金撤離

可貸資金市場

外國資金撤離表示 A 國的淨資本外流增加，因此 I+NCOI+NCO 需求曲線右移。

實質利率 r
 │ S
 r₁ │ ／
 │ ／
 r₀ │ ●───／
 │ ／ \ I+NCO₁
 │ ／ \ ／
 │/ \ ／ I+NCO₀
 └──────────────── 可貸資金

結果為：

  • 淨資本外流增加，使可貸資金需求增加
  • 均衡實質利率上升
  • 實質利率上升使部分國內投資減少，但資金撤離的直接效果使 NCONCO 增加

外匯市場

NCONCO 增加，表示外匯市場上本國貨幣供給增加，NCONCO 曲線右移。

實質匯率
 │\
 q₀ │ \ NX
 │ \
 q₁ │ \ 
 │ \ 
 │ │ NCO₀
 │ │ NCO₁
 └──────────────── 外匯交易量
 →

本國貨幣供給增加造成實質貶值，並提高淨出口。

結果

  • 均衡實質利率：上升
  • 均衡實質匯率：下降，實質貶值
  • 淨出口：增加

（二）通貨膨脹使國民儲蓄減少

可貸資金市場

國民儲蓄減少，使儲蓄供給曲線左移。

實質利率 r
 │ S₁ S₀
 │ ／ ／
 r₁ │ ●─────
 │ ╲ ／
 r₀ │ ● ／
 │ ╲
 │ ╲ I+NCO
 └──────────────── 可貸資金

結果為：

  • 儲蓄減少造成可貸資金供給減少
  • 均衡實質利率上升
  • 實質利率上升使國內投資減少
  • 由於 SS 減少且 II 下降的幅度不足以抵銷儲蓄減少，NCO=S−INCO=S-I 減少

外匯市場

NCONCO 減少，使本國貨幣在外匯市場的供給減少，NCONCO 曲線左移。

實質匯率
 │\
 q₁ │ \ 
 │ \ NX
 q₀ │ \
 │ │ NCO₁
 │ │
 │ │ NCO₀
 └──────────────── 外匯交易量
 ←

本國貨幣供給減少造成實質升值，淨出口減少。

結果

  • 均衡實質利率：上升
  • 均衡實質匯率：上升，實質升值
  • 淨出口：減少
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

財經實務組《經濟學》其他年度

115114112111110109