108 地方特考三等 化學工程 輸送現象與單元操作 考古題詳解

核心觀念

1. 皮托管（Pitot Tube）與皮托靜壓管（Pitot-Static Tube）之量測本質：

• 皮托管量測的是流場中特定單一點的局部流速（local velocity / point velocity, $u$），而非全截面的平均流速（average velocity, $\bar{u}$）​或體積流率（volumetric flow rate, $Q$）。

2. 白努力方程式（Bernoulli's Equation）與停滯壓（Stagnation Pressure）：

• 沿著流線（streamline），流體動能轉化為壓力能： $\text{總壓（停滯壓 } P_0 \text{）} = \text{靜壓（} P \text{）} + \text{動壓（} \frac{1}{2}\rho u^2 \text{）}$

3. 連續方程式與面積積分：

• 體積流率為局部流速對管截面積的積分： $Q = \int_A u \, dA = \bar{u} A$
• 欲求得 $Q$，必須已知截面積 $A$ 以及將局部流速 $u$ 轉化為平均流速 $\bar{u}$ 的方法。

解題方法

一、是否可以直接測量體積流率？

否，皮托管不能直接測量流體之體積流率。

• 原因：皮托管的作用原理是將開口正對迎風流線，使開口處流體流速降為零（停滯點），測得該點的「停滯壓」；配合測量未受擾動處的「靜壓」，兩者相減得到該幾何位置的「動壓」，進而計算出該點的局部點流速 $u$。由於管流內部存在邊界層與剪應力，截面上各處流速不相等（存在速度分佈 Profile），單一皮托管測得的單點流速無法直接代表整個斷面的總流通體積，因此無法「直接」測出體積流率。

二、如何以皮托管間接求得體積流率？

間接求得體積流率需經過兩大步驟：先求局部點流速，再將局部流速轉換為截面體積流率。

步驟 1：利用皮托管原理測量局部流速 $u$

選定管路內某一徑向位置 $r$ 置入皮托管：

1. 設流體密度為 $\rho$。迎流開口處為停滯點（流速 $u_0 = 0$，壓力為停滯壓 $P_0$），側邊或管壁處量測靜壓 $P$。
2. 忽略位能差，沿水平流線列出理想不可壓縮流之白努力方程式： $P + \frac{1}{2}\rho u^2 = P_0$
3. 解出理論局部流速： $u = \sqrt{\frac{2(P_0 - P)}{\rho}} = \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}}$
4. 考慮儀器形狀阻抗，引入皮托管校正係數 $C_p$（通常 $C_p \approx 0.98 \sim 1.00$）： $u = C_p \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}}$ 若連接 U 型差壓計（指示液密度為 $\rho_m$，液柱高度差為 $\Delta h$），則 $\Delta P = (\rho_m - \rho)g\Delta h$，代入得： $u = C_p \sqrt{\frac{2(\rho_m - \rho)g\Delta h}{\rho}}$

步驟 2：由局部流速求體積流率 $Q$（兩種工程路徑）

• 路徑 A：截面多點取樣平均法（Traverse Method，工程推薦之標準方法）

1. 將直徑為 $D$、截面積為 $A = \frac{\pi D^2}{4}$ 的圓管斷面劃分為數個（如 $n$ 個）等面積同心同圓環。
2. 將皮托管依標準規範（如 Log-Chebyshev 或等面積同心圓取樣位置）移動至各環的幾何中心代表半徑處，分別測量各點局部流速 $u_1, u_2, \dots, u_n$。
3. 取其算術平均值作為全斷面的平均流速 $\bar{u}$： $\bar{u} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n u_i$
4. 體積流率 $Q$ 即為： $Q = \bar{u} A = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n u_i\right) \left(\frac{\pi D^2}{4}\right)$

核心觀念

本題為流體力學與輸送現象中極為經典的非恆定態動量傳遞問題（又稱 Stokes 第一問題 或 Rayleigh 問題）。核心在於透過「變數結合法」（Method of Combination of Variables）將二階拋物型偏微分方程式（PDE）降階轉換為二階常微分方程式（ODE）以求得相似解（Similarity Solution）。

本題涉及之關鍵公式與數學定義如下：

1. 控制方程式（一維非恆定態動量擴散方程式）： $\frac{\partial v_x}{\partial t}=\nu\frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2}$
2. 相似變數（題目指定）： $\eta=\frac{y}{\sqrt{4\nu t}}$
3. 高斯積分（Gaussian Integral）： $\int_0^\infty e^{-\xi^2}d\xi = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
4. 誤差函數（Error Function, $\text{erf}$）與互補誤差函數（Complementary Error Function, $\text{erfc}$）： $\text{erf}(\eta) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\eta e^{-\xi^2}d\xi$ $\text{erfc}(\eta) = 1 - \text{erf}(\eta) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_\eta^\infty e^{-\xi^2}d\xi$

解題方法

步驟一：無因次速度定義與微分項轉換

定義無因次速度分布為： $\phi(\eta) = \frac{v_x}{V}$ 此處 $v_x = V\phi(\eta)$。根據連鎖律（Chain Rule），分別計算時間與空間的偏導數：

1. 相似變數 $\eta$ 對各自變數的偏微分： $\frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{y}{2\sqrt{\nu}} t^{-1/2}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2\sqrt{\nu}} t^{-3/2} = -\frac{\eta}{2t}$ $\frac{\partial \eta}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{4\nu t}}$

2. 流場對時間的一階偏微分： $\frac{\partial v_x}{\partial t} = V \frac{d\phi}{d\eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = -V \frac{\eta}{2t} \frac{d\phi}{d\eta}$

3. 流場對空間的一階與二階偏微分： $\frac{\partial v_x}{\partial y} = V \frac{d\phi}{d\eta}\frac{\partial \eta}{\partial y} = \frac{V}{\sqrt{4\nu t}}\frac{d\phi}{d\eta}$ $\frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v_x}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{V}{\sqrt{4\nu t}}\frac{d\phi}{d\eta}\right)\frac{\partial \eta}{\partial y} = \frac{V}{4\nu t}\frac{d^2\phi}{d\eta^2}$

步驟二：將偏微分方程式轉為常微分方程式

將上述偏微分項代入原控制方程式 $\frac{\partial v_x}{\partial t}=\nu\frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2}$： $-V \frac{\eta}{2t} \frac{d\phi}{d\eta} = \nu \left(\frac{V}{4\nu t}\frac{d^2\phi}{d\eta^2}\right)$

兩邊同除以 $\frac{V}{4t}$（其中 $V \neq 0, t > 0$）： $-2\eta \frac{d\phi}{d\eta} = \frac{d^2\phi}{d\eta^2}$

整理得標準二階線性常微分方程式： $\frac{d^2\phi}{d\eta^2} + 2\eta\frac{d\phi}{d\eta} = 0$

步驟三：邊界條件與初始條件的整合轉換

檢驗自變數轉換後條件是否一致（相似解成立之充要條件）：

1. 在 $y=0$（$t>0$）處： $\eta = \frac{0}{\sqrt{4\nu t}} = 0 \implies \phi(0) = \frac{V}{V} = 1$
2. 在 $y=\infty$（$t>0$）處： $\eta \to \infty \implies \phi(\infty) = 0$
3. 在 $t=0$（$y>0$）處： $\eta = \lim_{t\to 0^+}\frac{y}{\sqrt{4\nu t}} = \infty \implies \phi(\infty) = 0$

初始條件與外邊界條件成功整合為單一條件 $\phi(\infty) = 0$。

步驟四：求解常微分方程式

令 $w(\eta) = \frac{d\phi}{d\eta}$，則原式降階為一階 ODE：

核心觀念

本題旨在考驗圓柱座標系下的穩態複合層熱傳導與對流熱傳分析，核心為熱阻串聯概念（Thermal Resistance Concept）​及總熱傳係數（Overall Heat Transfer Coefficient）​的定義：

1. 牛頓冷卻定律（Newton's Law of Cooling）： 流體與固體表面間之對流傳熱速率為 $Q = h A \Delta T$，對流熱阻表示為： $R_{conv} = \frac{1}{h A}$
2. 圓柱座標傅立葉導熱定律（Fourier's Law in Cylindrical Coordinates）： 長度為 $L$、內半徑 $r_{in}$、外半徑 $r_{out}$ 之圓管層，其徑向穩態熱傳導熱阻為： $R_{cond} = \frac{\ln(r_{out}/r_{in})}{2\pi k L}$
3. 總熱傳係數定義： 總傳熱速率可表示為 $Q = U A \Delta T_{total}$。選定之參考傳熱面積不同（如內表面積 $A_i$ 或外表面積 $A_o$），其對應之總熱傳係數（$U_i$ 或 $U_o$）數值亦不同，但乘積恆滿足： $U_i A_i = U_o A_o = \frac{1}{R_{total}}$

解題方法

設圓管及包覆層之長度均為 $L$。熱量由管內高溫流體經由管壁、各絕緣層傳遞至管外低溫流體（在此設 $T_a > T_b$；反之亦然，僅代表熱流方向不同）。

步驟一：列出各串聯熱阻

整個傳熱系統由五道熱阻串聯而成：

1. 管內流體之對流熱阻（$R_{conv,i}$）： 傳熱面積為管內表面積 $A_0 = 2\pi r_0 L$： $R_{conv,i} = \frac{1}{h_i A_0} = \frac{1}{2\pi r_0 L h_i}$

2. 圓管管壁之傳導熱阻（$R_{cond,0}$）： 內半徑 $r_0$、外半徑 $r_1$，熱傳導度為 $k_0$： $R_{cond,0} = \frac{\ln(r_1/r_0)}{2\pi k_0 L}$

3. 第一層熱絕緣層之傳導熱阻（$R_{cond,1}$）： 內半徑 $r_1$、外半徑 $r_2$，熱傳導度為 $k_1$： $R_{cond,1} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_1 L}$

4. 第二層熱絕緣層之傳導熱阻（$R_{cond,2}$）： 內半徑 $r_2$、外半徑 $r_3$，熱傳導度為 $k_2$： $R_{cond,2} = \frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_2 L}$

5. 管外流體之對流熱阻（$R_{conv,o}$）： 傳熱面積為最外層表面積 $A_o = A_3 = 2\pi r_3 L$： $R_{conv,o} = \frac{1}{h_o A_3} = \frac{1}{2\pi r_3 L h_o}$

步驟二：推導總熱阻與總熱傳量 $Q$

總熱阻為各層熱阻之代數和： $R_{total} = R_{conv,i} + R_{cond,0} + R_{cond,1} + R_{cond,2} + R_{conv,o}$

$R_{total} = \frac{1}{2\pi L} \left[ \frac{1}{h_i r_0} + \frac{\ln(r_1/r_0)}{k_0} + \frac{\ln(r_2/r_1)}{k_1} + \frac{\ln(r_3/r_2)}{k_2} + \frac{1}{h_o r_3} \right]$

系統之總熱傳量 $Q$ 由總驅動力（溫差）除以總熱阻求得： $Q = \frac{T_a - T_b}{R_{total}} = \frac{2\pi L (T_a - T_b)}{\displaystyle \frac{1}{h_i r_0} + \frac{\ln(r_1/r_0)}{k_0} + \frac{\ln(r_2/r_1)}{k_1} + \frac{\ln(r_3/r_2)}{k_2} + \frac{1}{h_o r_3}}$

步驟三：推導基於外管壁面積之總熱傳係數 $U_o$

依據題目要求，以最外層絕緣層之外表面積 $A_o = 2\pi r_3 L$ 為基準： $Q = U_o A_o (T_a - T_b)$

因此： $\frac{1}{U_o A_o} = R_{total}$

將 $A_o = 2\pi r_3 L$ 與 $R_{total}$ 代入：

核心觀念

本題探討填充吸收塔（Packed Absorption Tower）​在稀薄氣體吸收條件下的塔高設計，核心公式與理論架構包含：

1. 稀薄系統操作線（Operating Line）： 當溶質莫耳分率很低時（$x, y \ll 1$），氣體與液體的總莫耳流率 $V$ 與 $L$ 可視為常數，塔內操作線為直線： $\frac{L}{V} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$

2. 雙膜理論與整體傳遞單位高度（Overall Height of a Transfer Unit, HTU）： 依據雙膜阻力串聯原理，整體氣相傳遞單位高度 $H_{Oy}$ 與個別氣、液膜傳遞單位高度（$H_y$、$H_x$）之關係為： $H_{Oy} = H_y + \left(\frac{m V}{L}\right) H_x$ 其中 $m$ 為亨利定律（平衡線）斜率（$y_e = m x_e$）。

3. 整體氣相傳遞單位數（Overall Number of Transfer Units, NTU）： 在平衡線與操作線皆為直線時，整體氣相傳遞單位數 $N_{Oy}$ 可利用對數平均推動力法或 Colburn 公式計算： $N_{Oy} = \frac{y_1 - y_2}{\Delta y_{lm}}$ 其中兩端推動力為： $\Delta y_1 = y_1 - y_1^* = y_1 - m x_1$ $\Delta y_2 = y_2 - y_2^* = y_2 - m x_2$ 對數平均推動力 $\Delta y_{lm}$ 為： $\Delta y_{lm} = \frac{\Delta y_1 - \Delta y_2}{\ln\left(\frac{\Delta y_1}{\Delta y_2}\right)}$

4. 充填層總高度（Tower Height, $Z$）： $Z = H_{Oy} \times N_{Oy}$

解題方法

步驟一：定義塔頂與塔底狀態並求操作線斜率

吸收塔之質傳方向為溶質由氣相傳至液相，濃度自塔底向塔頂遞減。設定下標 $1$ 為塔底（高濃度端）、下標 $2$ 為塔頂（低濃度端）：

• 塔底（端點 1）：$x_1 = 0.08,\quad y_1 = 0.009$
• 塔頂（端點 2）：$x_2 = 0,\quad y_2 = 0.001$

由操作線物料平衡求液氣流率比（操作線斜率）： $\frac{L}{V} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{0.009 - 0.001}{0.08 - 0} = \frac{0.008}{0.08} = 0.1$

步驟二：計算整體氣相傳遞單位高度 $H_{Oy}$

平衡關係式為 $y_e = 0.06 x_e$，故 $m = 0.06$。 汽提因數（Stripping factor）$S = \frac{m V}{L}$： $\frac{m V}{L} = \frac{m}{L/V} = \frac{0.06}{0.1} = 0.6$

代入傳遞單位高度阻力串聯公式： $H_{Oy} = H_y + \left(\frac{m V}{L}\right) H_x$ $H_{Oy} = 0.36 + 0.6 \times 0.24 = 0.36 + 0.144 = 0.504\ \mathrm{m}$

步驟三：計算整體氣相傳遞單位數 $N_{Oy}$

計算塔底與塔頂的氣相推動力：

• 塔底推動力： $\Delta y_1 = y_1 - m x_1 = 0.009 - 0.06 \times 0.08 = 0.009 - 0.0048 = 0.0042$
• 塔頂推動力： $\Delta y_2 = y_2 - m x_2 = 0.001 - 0.06 \times 0 = 0.001$

核心觀念

本題考平行管路的流量分配。兩支並聯管的入口與出口相同，因此兩支管的摩擦壓降相等；但摩擦因子會隨雷諾數與相對粗糙度改變，所以須把管路壓降式與摩擦因子一起計算。

附圖使用的是 Fanning 摩擦因子。以下採用 Darcy–Weisbach 式表示；若改用 Fanning 摩擦因子，式中會多出共同的因數 $4$，在比較兩支管壓降時會抵消。

解題方法

令 $x$ 為流經 $2$ 英吋旁管的流量占總流量比例。管徑換算為

入口的 $8$ 英吋管平均流速為 $6\ \mathrm{ft/s}$，因此總流量為

由於 $A_8/A_2=(D_8/D_2)^2=16$，兩支下游管的流速分別為

兩管並聯、兩端壓差相同，故由 Darcy–Weisbach 式：

其中 $L_8=16\ \mathrm{ft}$，$L_2=22\ \mathrm{ft}$。代入管徑與流速：

整理得