107 地方特考三等 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

核心觀念

本題考查以規格值（基準值）為基準的單因子變異數分析（ANOVA with Reference to Specification/Target Value，常見於品質工程與田口方法之變異數分析架構）。

1. 數據轉換與平方和分解： 設規格值（基準值）為 $m_0 = 25$。令 $x_{ij} = y_{ij} - m_0 = y_{ij} - 25$ 為觀測值相對於規格值的離差。 總平方和（Total Sum of Squares, $SST$）定義為數據相對於固定基準值 $m_0$ 的總變異，其自由度為總樣本數 $N$（因未扣除樣本平均數，故不損失自由度）。 總平方和可分解為三個互相獨立的成分： $SST = SSM + SSA + SSE$

• $SSM$（全體平均平方和，Mean Sum of Squares）：衡量整體數據之總平均與規格值 $m_0$ 之間的偏離程度，自由度 $\nu_m = 1$。
• $SSA$（組間平方和，Treatment Sum of Squares）：衡量不同產品（來源）水準之間的強度差異，自由度 $\nu_A = k - 1$。
• $SSE$（誤差平方和，Error Sum of Squares）：組內隨機波動引起的誤差變異，自由度 $\nu_e = N - k$。

2. 自由度恆等式： $\nu_T = \nu_m + \nu_A + \nu_e \implies N = 1 + (k - 1) + (N - k)$

3. 假說檢定與 $F$ 統計量：

• 檢定一（強度與規格是否有差異）： $H_{0m}: \mu = m_0 \quad \text{vs} \quad H_{1m}: \mu \neq m_0$ 檢定統計量： $F_0(m) = \frac{MSM}{MSE} = \frac{SSM / \nu_m}{SSE / \nu_e}$ 臨界值為 $F_m = F_{\alpha}(1, \nu_e)$。若 $F_0(m) > F_m$，則拒絕 $H_{0m}$，代表整體平均強度與規格值存在顯著差異。
• 檢定二（各產品強度間是否有差異）： $H_{0A}: \tau_1 = \tau_2 = \cdots = \tau_k = 0 \quad \text{vs} \quad H_{1A}: \text{至少有一種產品之平均強度不同}$ 檢定統計量： $F_0(a) = \frac{MSA}{MSE} = \frac{SSA / \nu_A}{SSE / \nu_e}$ 臨界值為 $F_a = F_{\alpha}(k-1, \nu_e)$。若 $F_0(a) > F_a$，則拒絕 $H_{0A}$，代表各產品間強度存在顯著差異。

解題方法

步驟一：統計量與樣本數整理

• 產品種類數（組數）：$k = 4$（A1、A2、A3、A4）。
• 各組樣本數：
• A1：$n_1 = 6$
• A2：$n_2 = 5$
• A3：$n_3 = 6$
• A4：$n_4 = 6$
• 總樣本數：$N = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 6 + 5 + 6 + 6 = 23$。
• 題目已知條件：
• 規格值 $m_0 = 25$
• $SSM = 201$
• $SST = 282$
• $SSA = 46$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$ 時之臨界值：$F_m = 4.38$、$F_a = 3.13$

步驟二：計算各項自由度與誤差平方和

1. 各項自由度：

• 總平均項自由度：$\nu_m = 1$
• 產品間（處理組）自由度：$\nu_A = k - 1 = 4 - 1 = 3$
• 總自由度：$\nu_T = N = 23$
• 誤差自由度：$\nu_e = N - k = 23 - 4 = 19$ （亦可由 $\nu_e = \nu_T - \nu_m - \nu_A = 23 - 1 - 3 = 19$ 驗證）

2. 誤差平方和（$SSE$）： $SSE = SST - SSM - SSA = 282 - 201 - 46 = 35$

步驟三：計算均方（Mean Square, $MS$）

• $MSM = \frac{SSM}{\nu_m} = \frac{201}{1} = 201$
• $MSA = \frac{SSA}{\nu_A} = \frac{46}{3} \approx 15.33$
• $MSE = \frac{SSE}{\nu_e} = \frac{35}{19} \approx 1.84$

步驟四：計算 $F$ 檢定統計量

1. 強度與規格差異之檢定統計量： $F_0(m) = \frac{MSM}{MSE} = \frac{201}{35/19} = \frac{3819}{35} \approx 109.11$

2. 各產品間差異之檢定統計量： $F_0(a) = \frac{MSA}{MSE} = \frac{46/3}{35/19} = \frac{874}{105} \approx 8.32$

步驟五：建立變異數分析表

核心觀念

本題旨在評量考生對六標準差（Six Sigma）管理哲學、製程能力分析（Process Capability）​以及長期製程中心漂移（$1.5\sigma$ Shift）​之數理基礎與實務重要性的掌握程度。

1. 查表機率值定義： 題幹所給數值為標準常態分配 $Z \sim N(0, 1)$ 之單邊中心累積機率，即： $P(0 \le Z \le z)$ 因此，單尾超出規格界限之機率（單邊不良率）為： $p = 0.5 - P(0 \le Z \le z)$

2. 規格界限與製程能力指標（$C_p$）：

• 傳統 $3\sigma$ 品質水準：規格寬度為公差範圍 $\text{USL} - \text{LSL} = 6\sigma$，$C_p = \frac{\text{USL}-\text{LSL}}{6\sigma} = 1.0$。
• 六標準差（$6\sigma$）品質水準：規格寬度為公差範圍 $\text{USL} - \text{LSL} = 12\sigma$，$C_p = \frac{\text{USL}-\text{LSL}}{6\sigma} = 2.0$。

3. 長期製程中心漂移（$1.5\sigma$ Shift）： 摩托羅拉（Motorola）實務研究指出，長期生產過程中，受機台磨損、原料批次變異、作業員與環境溫濕度等不可避免之雜音影響，製程平均數長期而言通常會發生約 $\pm 1.5\sigma$ 的隨機偏移。

4. 系統串聯可靠度／滾動產出率（Rolled Throughput Yield, RTY）： 若一項產品由 $m$ 個獨立之關鍵零件或製程步驟組成，系統總良率為各步驟良率之連乘積： $Y_{\text{system}} = \prod_{i=1}^m Y_i$ 當零組件複雜度提高時，微小的單件不良率將被指數級放大。

解題方法

本題要求以「圖形」及「數字」說明推動六標準差計畫的重要性，解題必須從量化數據比較與常態分配幾何圖形雙管齊下。

一、 數字推導與量化效益

1. 傳統 $3\sigma$ 製程水準的致命缺陷

• 短期（無漂移）：製程平均值 $\mu$ 置中於規格中心，距離規格界限為 $3\sigma$。 雙尾不良率為： $2 \times [0.5 - P(0 \le Z \le 3)] = 2 \times (0.5 - 0.4989) = 0.0022 = 2,200 \text{ ppm}$ （相當於理論常態值 $2,700 \text{ ppm}$，良率為 $99.73\%$）。
• 長期（考慮 $1.5\sigma$ 漂移）：製程平均值偏移至 $\mu \pm 1.5\sigma$，距較近規格界限僅剩： $Z = 3.0 - 1.5 = 1.5$ 查題給數據：$z = 1.5$ 時累積值為 $0.4394$。 單邊不良率為： $p = 0.5 - 0.4394 = 0.0606 = 60,600 \text{ ppm}\ (6.06\%)$ （理論精確值約為 $66,807 \text{ ppm}$）。 此時製程良率驟降至約 $93.94\%$，每百件產品就有逾 6 件不良，產生龐大的劣質成本（COPQ）。

2. 題目所給數值展現品質提升的躍進效應

題目給予 $z = 1.5, 2.5, 3.5, 4.0$，恰好對應製程容許 $1.5\sigma$ 漂移下，不同 $\sigma$ 等級至最近規格界限的有效距離：

• $3\sigma$ 水準（偏移後餘 $1.5\sigma$）：不良率 $= 0.5 - 0.4394 = 60,600 \text{ ppm}$
• $4\sigma$ 水準（偏移後餘 $2.5\sigma$）：不良率 $= 0.5 - 0.4946 = 5,400 \text{ ppm}$
• $5\sigma$ 水準（偏移後餘 $3.5\sigma$）：不良率 $= 0.5 - 0.49981 = 190 \text{ ppm}$
• $5.5\sigma$ 水準（偏移後餘 $4.0\sigma$）：不良率 $= 0.5 - 0.49996 = 40 \text{ ppm}$
• $6\sigma$ 水準（偏移後餘 $4.5\sigma$）： $Z = 6.0 - 1.5 = 4.5 \implies \text{不良率} = 3.4 \times 10^{-6} = 3.4 \text{ ppm}$ 良率高達 $99.99966\%$。不良率從 $3\sigma$ 的 $60,600 \text{ ppm}$ 驟降至 $6\sigma$ 的 $3.4 \text{ ppm}$，品質提升近 18,000 倍。

3. 複雜現代產品的滾動產出率（RTY）比較

設一精密設備（如智慧型手機、車載電子模組）由 $m = 100$ 個零件組成：

• 在長期 $3\sigma$ 水準下（單件良率 $Y = 1 - 0.0606 = 0.9394$）： $RTY_{3\sigma} = (0.9394)^{100} \approx 0.0018 = 0.18\%$ （產線幾乎完全無法產出合格總成，必須耗費天價返工與報廢成本）。
• 在長期 $6\sigma$ 水準下（單件良率 $Y = 1 - 3.4 \times 10^{-6}$）： $RTY_{6\sigma} = (1 - 3.4 \times 10^{-6})^{100} \approx 1 - (100 \times 3.4 \times 10^{-6}) = 99.966\%$ （產線幾乎無需重工即可順暢交貨）。

二、 圖形說明

考生於試卷上作答時，應以坐標軸繪製「傳統 $3\sigma$」與「六標準差 $6\sigma$」在常態曲線下的容差裕度與陰影不良面積對比圖：

核心觀念

1. 個別值管制圖（Individual Control Chart, I Chart）之結構與參數：

• 適用於單一觀測值（樣本數 $n=1$）之計量型資料監控。
• 中心線（Center Line, $CL$）：$CL = \bar{X} = 134.8$。
• 上下管制界限（$UCL, LCL$）：以三倍標準差（$3\sigma$）為基準，其對稱距為： $3\hat{\sigma} = UCL - \bar{X} = 152.34 - 134.8 = 17.54$ $\bar{X} - LCL = 134.8 - 117.26 = 17.54$ 可得流程標準差估計值： $\hat{\sigma} = \frac{17.54}{3} \approx 5.847$

2. 管制圖分區定義（Zone A, Zone B, Zone C）： 依據統計品質管制規範，將中心線至管制界限單側的 $3\sigma$ 寬度等分為三個區域（各寬 $1\sigma \approx 5.847$）：

• Zone C（中心線至 $1\sigma$ 範圍）：$[128.95, 140.65]$
• Zone B（$1\sigma$ 至 $2\sigma$ 範圍）：下側 $[123.11, 128.95)$、上側 $(140.65, 146.49]$
• Zone A（$2\sigma$ 至 $3\sigma$ 範圍）：下側 $[117.26, 123.11)$、上側 $(146.49, 152.34]$

3. 管制圖判讀原則（Western Electric Rules / Nelson Rules）： 製程處於統計管制狀態（In Control）必須滿足「所有點皆在管制界限內」且「點的排列呈現隨機分配」。常見非隨機異常檢定準則包括：

• 準則 1（界限外點）：任 1 點超出 $3\sigma$ 管制界限（$X > UCL$ 或 $X < LCL$）。
• 準則 2（連串 Run）：連續 9 點（Nelson 準則）或連續 8 點（Western Electric 準則）落在中心線之同一側。
• 準則 3（趨勢 Trend）：連續 6 點持續上升或持續下降。
• 準則 4（交替 Alternating）：連續 14 點上下交錯跳動。
• 準則 5（Zone A 聚集）：連續 3 點中有 2 點落在同側之 Zone A（或超出）。
• 準則 6（Zone B 聚集）：連續 5 點中有 4 點落在同側之 Zone B（或超出）。
• 準則 7（層別／過度集中）：連續 15 點落在中心線兩側之 Zone C 內。
• 準則 8（混合／雙峰）：連續 8 點落在中心線兩側，但無任何 1 點落在 Zone C 內。

解題方法

1. 建立檢驗基準線與分區數值： 由題目已知之 $CL=134.8$、$UCL=152.34$、$LCL=117.26$，計算出 $1\sigma=5.847$ 與 $2\sigma=11.693$，標定出 Zone A、Zone B、Zone C 之分界點。
2. 逐步檢驗非隨機型態：

• 極值檢驗：比對全數觀測點是否落於 $[117.26, 152.34]$ 區間內。
• 分佈與排列檢驗：依序檢視連續點落在中心線同側之點數（連串）、單調遞增/遞減點數（趨勢）、相鄰跳動狀況（交替），以及各分區之點數密度。

3. I-MR 系統關聯性考量： 題目僅提供 I Chart（個別值圖），未附 MR Chart（移動全距圖）。

核心觀念

本題屬於實驗設計（Design of Experiments, DOE）與品質管制中的直交表因子分析（$2^{4-1}$ 部分因子設計或 $L_8$ 直交表）​與主效應圖（Main Effects Plot，即因子圖）分析。

1. 各次序平均反應值（Run Mean）： 對每一實驗次序的重複試驗值取算術平均： $\bar{y}_i = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$ 其中 $m=3$ 為重複試驗次數。
2. 因子各水準之平均效應（Factor Level Mean）： 計算特定因子在特定水準下的所有實驗次序平均值之平均： $\bar{y}_{Fk} = \frac{1}{n_k} \sum_{i \in \{F=k\}} \bar{y}_i$ 其中 $F \in \{A, B, C, D\}$ 為因子，$k \in \{1, 2\}$ 為水準代號，$n_k = 4$ 為該水準出現的次數。
3. 因子主效應差異與重要度排序（Effect Delta & Ranking）： $\Delta_F = |\bar{y}_{F1} - \bar{y}_{F2}|$ $\Delta$ 值愈大者，代表該因子對反應值的影響愈顯著，重要性排名愈高。
4. 因子圖（主效應圖）： 以各因子水準為橫軸、平均反應值為縱軸繪製之折線圖。線條斜率愈陡，代表該因子效應愈顯著。
5. 最佳參數組合選定： 依品質特性之工程目標選取各因子的最佳水準：

• 望大特性（Larger-the-Better, LTBS）：選取各因子中反應平均值較大之水準。
• 望小特性（Smaller-the-Better, STBS）：選取各因子中反應平均值較小之水準。

解題方法

步驟一：計算各實驗次序之平均反應值 $\bar{y}_i$

各次序重複試驗 $n=3$ 次，計算各組平均值（計算至小數點後第四位）：

• 次序 1：$\bar{y}_1 = \frac{0.192 + 0.196 + 0.197}{3} = \frac{0.585}{3} = 0.1950$
• 次序 2：$\bar{y}_2 = \frac{0.206 + 0.210 + 0.211}{3} = \frac{0.627}{3} = 0.2090$
• 次序 3：$\bar{y}_3 = \frac{0.204 + 0.211 + 0.209}{3} = \frac{0.624}{3} = 0.2080$
• 次序 4：$\bar{y}_4 = \frac{0.175 + 0.170 + 0.164}{3} = \frac{0.509}{3} \approx 0.1697$
• 次序 5：$\bar{y}_5 = \frac{0.187 + 0.190 + 0.195}{3} = \frac{0.572}{3} \approx 0.1907$
• 次序 6：$\bar{y}_6 = \frac{0.182 + 0.177 + 0.180}{3} = \frac{0.539}{3} \approx 0.1797$
• 次序 7：$\bar{y}_7 = \frac{0.180 + 0.177 + 0.178}{3} = \frac{0.535}{3} \approx 0.1783$
• 次序 8：$\bar{y}_8 = \frac{0.181 + 0.176 + 0.177}{3} = \frac{0.534}{3} = 0.1780$

總平均值： $\bar{\bar{y}} = \frac{0.1950 + 0.2090 + 0.2080 + 0.1697 + 0.1907 + 0.1797 + 0.1783 + 0.1780}{8} \approx 0.1885$

步驟二：計算各因子在各水準下的平均效應值

1. 因子 A（壓力）：

• 水準一（次序 1, 2, 3, 4）： $\bar{y}_{A1} = \frac{\bar{y}_1 + \bar{y}_2 + \bar{y}_3 + \bar{y}_4}{4} = \frac{0.1950 + 0.2090 + 0.2080 + 0.1697}{4} = \frac{0.7817}{4} \approx 0.1954$
• 水準二（次序 5, 6, 7, 8）： $\bar{y}_{A2} = \frac{\bar{y}_5 + \bar{y}_6 + \bar{y}_7 + \bar{y}_8}{4} = \frac{0.1907 + 0.1797 + 0.1783 + 0.1780}{4} = \frac{0.7267}{4} \approx 0.1817$
• 差異：$\Delta_A = |0.1954 - 0.1817| = 0.0137$

2. 因子 B（速度）：

• 水準一（次序 1, 2, 5, 6）： $\bar{y}_{B1} = \frac{\bar{y}_1 + \bar{y}_2 + \bar{y}_5 + \bar{y}_6}{4} = \frac{0.1950 + 0.2090 + 0.1907 + 0.1797}{4} = \frac{0.7744}{4} = 0.1936$
• 水準二（次序 3, 4, 7, 8）： $\bar{y}_{B2} = \frac{\bar{y}_3 + \bar{y}_4 + \bar{y}_7 + \bar{y}_8}{4} = \frac{0.2080 + 0.1697 + 0.1783 + 0.1780}{4} = \frac{0.7340}{4} = 0.1835$
• 差異：$\Delta_B = |0.1936 - 0.1835| = 0.0101$

3. 因子 C（錫膏黏度）：

• 水準一（次序 1, 3, 5, 7）： $\bar{y}_{C1} = \frac{\bar{y}_1 + \bar{y}_3 + \bar{y}_5 + \bar{y}_7}{4} = \frac{0.1950 + 0.2080 + 0.1907 + 0.1783}{4} = \frac{0.7720}{4} = 0.1930$
• 水準二（次序 2, 4, 6, 8）： $\bar{y}_{C2} = \frac{\bar{y}_2 + \bar{y}_4 + \bar{y}_6 + \bar{y}_8}{4} = \frac{0.2090 + 0.1697 + 0.1797 + 0.1780}{4} = \frac{0.7364}{4} = 0.1841$

核心觀念

本題評量常態分配的基礎機率計算與標準化變換（Standardization）。涉及的主要觀念與公式如下：

1. 常態分配標準化（$Z$ 轉換）： 設隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$。透過標準化轉換式： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 可將一般常態隨機變數 $X$ 轉換為標準常態隨機變數 $Z \sim N(0, 1)$。

2. 標準常態機率表之型式解讀： 題目所給定之數值（例如 $z=0.5$ 時為 $0.1915$、$z=1$ 時為 $0.3413$），代表標準常態曲線下從中心平均值 $0$ 到特定正值 $z$ 之間的累積面積，即： $P(0 \le Z \le z)$

3. 常態分配之對稱性： 標準常態分配對稱於 $Z = 0$，故有： $P(-z \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le z)$

解題方法

1. 定義變數與設定已知條件： 設通訊產品之強度為隨機變數 $X$，$X \sim N(\mu = 75, \sigma^2 = 10^2)$。 欲求之比例即為機率 $P(70 \le X \le 90)$。

2. 端點標準化計算： 將區間端點 $X_1 = 70$ 與 $X_2 = 90$ 分別代入標準化公式：

• 下限 $X_1 = 70$ 對應的 $z$ 值： $z_1 = \frac{70 - 75}{10} = \frac{-5}{10} = -0.5$
• 上限 $X_2 = 90$ 對應的 $z$ 值： $z_2 = \frac{90 - 75}{10} = \frac{15}{10} = 1.5$

3. 機率區間拆解與計算： 所求機率可表示為： $P(70 \le X \le 90) = P(-0.5 \le Z \le 1.5)$

利用 $Z = 0$ 為對稱中心，將區間分割為左右兩部分：