108 地方特考三等 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

核心觀念

本題考查 $\bar{X}$-$S$ 管制圖的管制界限、以樣本標準差估計製程標準差，以及製程能力指標 $C_p$、$C_{pk}$。

樣本數 $n=10$ 時，$\bar{X}$ 管制圖的界限使用因子 $A_3$：

以 $\bar{S}$ 估計製程標準差時，使用 $c_4$ 修正：

製程能力指標為：

解題方法

先由 20 組樣本的總和求出總平均與平均樣本標準差：

（一）代入 $A_3=0.975$：

核心觀念

本題評量驗收抽樣（Acceptance Sampling）中「計數值單次抽樣計畫」（Single Sampling Plan for Attributes）之操作特性（Operating Characteristic, OC）曲線分析與風險評估，涉及以下關鍵核心概念：

1. 單次抽樣計畫之判定規則： 抽樣參數記為 $(n, c, r)$，其中 $n$ 為樣本數、$c$ 為允收數（Acceptance Number）、$r$ 為拒收數（Rejection Number）。 當自批量 $N$ 中隨機抽出 $n$ 件檢驗，若發現的不良品數 $d \le c$，則「允收」該批；若 $d \ge r$（在單次抽樣中 $r = c + 1$），則「拒收」該批。

2. 允收機率（$P_a$）之計算： 依題意指示採卜瓦松分配（Poisson distribution）近似計算。給定不良率 $p$，其平均不良數 $\lambda = n \cdot p$。不良品個數 $d$ 服從參數為 $\lambda$ 的卜瓦松分配，允收機率為： $P_a = P(d \le c) = \sum_{d=0}^{c} \frac{e^{-\lambda} \lambda^d}{d!} = e^{-\lambda} \left( 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \cdots + \frac{\lambda^c}{c!} \right)$

3. 抽樣風險之定義：

• 生產者風險（Producer's Risk, $\alpha$）：當進料或送驗批品質良好，不良率達到製造商所期望的允收水準（$p = \text{AQL}$）時，該批卻因抽樣誤差而被拒收的機率（型一錯誤，Type I Error）： $\alpha = 1 - P_a(\text{AQL})$
• 消費者風險（Consumer's Risk, $\beta$）：當進料或送驗批品質不良，不良率惡化至顧客無法忍受的拒收水準（$p = \text{LTPD}$）時，該批卻因抽樣誤差而被允收的機率（型二錯誤，Type II Error）： $\beta = P_a(\text{LTPD})$

4. 抽樣計畫的管理驗收準則： 工業界設計抽樣計畫的慣用基準，通常設定生產者風險 $\alpha \le 0.05$（$5\%$），消費者風險 $\beta \le 0.10$（$10\%$）。若實際風險大幅偏離此範圍，該抽樣計畫即失去保護特定一方的合理性。

解題方法

（一）計算不良率為 AQL 時的允收機率 $P_a$

已知條件：$n = 90$、$c = 3$、$\text{AQL} = p_1 = 1.5\% = 0.015$。

1. 計算卜瓦松參數 $\lambda_1$： $\lambda_1 = n \times p_1 = 90 \times 0.015 = 1.35$

2. 展開卜瓦松累積機率多項式： 允收條件為不良數 $d \le 3$： $P_a(p = 0.015) = \sum_{d=0}^{3} \frac{e^{-1.35} (1.35)^d}{d!} = e^{-1.35} \left( 1 + 1.35 + \frac{1.35^2}{2} + \frac{1.35^3}{6} \right)$

3. 各項數值計算：

• $e^{-1.35} \approx 0.259240$
• $1 + 1.35 = 2.35$
• $\frac{1.35^2}{2} = \frac{1.8225}{2} = 0.91125$
• $\frac{1.35^3}{6} = \frac{2.460375}{6} = 0.410063$
• 括號內總和 $= 1 + 1.35 + 0.91125 + 0.410063 = 3.671313$

4. 求得允收機率： $P_a = 0.259240 \times 3.671313 \approx 0.95177 \approx 0.9518\text{（或 } 95.18\% \text{）}$

（二）計算不良率為 LTPD 時的允收機率 $P_a$

已知條件：$n = 90$、$c = 3$、$\text{LTPD} = p_2 = 5\% = 0.05$。

1. 計算卜瓦松參數 $\lambda_2$： $\lambda_2 = n \times p_2 = 90 \times 0.05 = 4.5$

2. 展開卜瓦松累積機率多項式：

核心觀念

1. 大樣本母體平均數之單尾假設檢定： 當樣本數 $n \ge 30$（本題 $n = 100$），由中央極限定理（CLT），即使母體標準差 $\sigma$ 未知，仍可使用樣本標準差 $S$ 作為不偏估計量，檢定統計量漸近服從標準常態分配： $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$
2. 單尾檢定拒絕域（Rejection Region）： 探討平均產量是否「增加」，設立右尾檢定。在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，臨界值為 $z_{0.05} = 1.645$。拒絕域條件為 $Z > 1.645$ 或 $\bar{X} > \bar{X}_c$。
3. 型二誤差（Type II Error, $\beta$）與檢定力（Power, $1-\beta$）：

• 型二誤差 $\beta$：當對立假設成立（真實母體平均 $\mu = \mu_1$）時，樣本落入接受域（未拒絕 $H_0$）的機率： $\beta = P(\text{不拒絕 } H_0 \mid \mu = \mu_1) = P(\bar{X} \le \bar{X}_c \mid \mu = \mu_1)$
• 檢定力（Power）：當對立假設成立時，正確拒絕 $H_0$ 的機率： $\text{Power} = 1 - \beta = P(\bar{X} > \bar{X}_c \mid \mu = \mu_1)$

解題方法

整理題目已知條件

• 原始設定平均產量：$\mu_0 = 100$
• 抽樣樣本數：$n = 100$
• 樣本平均數：$\bar{X} = 104$
• 樣本標準差：$S = 20$
• 樣本平均數之標準誤（Standard Error）： $\sigma_{\bar{X}} \approx \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{100}} = \frac{20}{10} = 2$

（一）用單尾檢定探討該新任經理下平均產量是否增加（$\alpha = 5\%$）

1. 建立虛無假設與對立假設： 題目欲檢驗平均產量是否「增加」，故建立右尾檢定： $H_0: \mu \le 100 \quad (\text{或 } H_0: \mu = 100)$ $H_1: \mu > 100$

2. 計算檢定統計量（Test Statistic）： $Z^* = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} = \frac{104 - 100}{2} = 2.0$

3. 判定臨界值與決策：

• 題目給定顯著水準 $\alpha = 0.05$，對應右尾臨界值為 $z_{0.05} = 1.645$。
• 拒絕域為：$Z > 1.645$。
• 因檢定統計量 $Z^* = 2.0 > 1.645$，統計量落入拒絕域。

4. 結論： 在 $\alpha = 0.05$ 顯著水準下，拒絕虛無假設 $H_0$。統計上有充分證據顯示新任經理上任後，平均每小時產量確實顯著增加。

（二）當 $\mu = 105.29$ 台時，求型二誤差 $\beta$ 值與檢定力（Power）

核心觀念

本題評量統計學基礎中由心理學家史蒂文斯（S. S. Stevens, 1946）所提出的資料度量尺度理論（Levels of Measurement）。統計度量尺度依所含資訊量的多寡、數學特性及可執行的運算層級，由低階至高階依序劃分為四種：

1. 名目尺度（Nominal Scale）：僅具「分類」功能。
2. 順序尺度（Ordinal Scale）：具「分類」與「排序」功能。
3. 區間尺度（Interval Scale）：具「分類」、「排序」與「等距差值」功能，但無絕對零點。
4. 比例尺度（Ratio Scale）：具備最高階資訊，含「分類」、「排序」、「等距差值」與絕對零點。

高階尺度具備低階尺度的所有特性，且適用更廣泛、更精密的統計分析方法（由無母數統計進階至母數統計）。

解題方法

本題為典型之觀念申論題，作答時宜採用階梯式結構法：

1. 循序推進：由最低階的名目尺度逐步推展至最高階的比例尺度，層次分明。
2. 三面向解析：針對每一種尺度，皆固定以「定義意涵」、「數學/統計運算限制」、「工工/品管實例」三面向切入，確保論述完整。
3. 特徵矩陣整合：文末輔以「尺度特性比較表」，彙整分類、排序、加減、乘除與代表性統計量，利於閱卷委員快速掌握得分點。

解題技巧

1. 四步漏斗檢驗法（判斷竅門）：

• 是否僅能區分組別？ $\rightarrow$ 是：名目尺度。
• 是否能比較優劣或大小，但數值差距無實質計量意義？ $\rightarrow$ 是：順序尺度。
• 數值差距有實質意義，但數值「$0$」不代表「完全不存在」？ $\rightarrow$ 是：區間尺度。
• 數值「$0$」代表「完全沒有（無該物理量）」，且「倍數關係（乘除）」成立？ $\rightarrow$ 是：比例尺度。

2. 國家考試常見陷阱：

• 數字代碼陷阱：例如機台編號（$1$ 號機、$2$ 號機）、不良項目代碼（$01$ 代表刮痕、$02$ 代表毛邊），表面上為數字，本質上不能比大小亦不能運算，屬於名目尺度。
• 溫度陷阱：攝氏（$^\circ\text{C}$）或華氏（$^\circ\text{F}$）溫度因其 $0$ 度為人為定義（冰點），非熱能的絕對歸零，屬於區間尺度（$40^\circ\text{C}$ 並非 $20^\circ\text{C}$ 的兩倍熱）；但克氏絕對溫度（$\text{K}$）具有絕對零點，屬於比例尺度。
• 滿意度量表（Likert Scale）：問卷之「非常滿意（$5$ 分）」到「非常不滿意（$1$ 分）」嚴格屬於順序尺度，各分值間的心理距離並不相等。

3. 取材偏好：舉例時優先列舉「品質管制」、「製程工程」或「人因工程」之專門領域實例，較一般生活例子更能凸顯工業工程專業素養。

【答案】

常見之四種統計度量尺度由低階至高階說明如下：

一、名目尺度（Nominal Scale）

1. 定義：僅依事物的定性屬性進行分類或標籤化，數值或名稱僅代表不同群體，不具備大小順序與數量意涵。
2. 數學與統計特性：

• 僅具備等價性判斷（$=$ 或 $\neq$）。
• 運算限制：無法進行加、減、乘、除運算。
• 適用統計量：次數（Frequency）、百分比（Percentage）、眾數（Mode）、卡方檢定（$\chi^2$-test）。

3. 實例：

• 製程品質缺陷分類：不良品型態分為「表面刮傷」、「尺寸超差」、「裂紋」、「氣孔」。
• 產品合格狀態：檢驗結果區分為「合格品（Pass）」與「不良品（Fail）」。

二、順序尺度（Ordinal Scale）

1. 定義：資料除具備分類功能外，各類別間存在等級、優劣或高低的相對順序關係，但類別之間的差距（距離）並不均等且無法精確量化。
2. 數學與統計特性：

• 具備次序關係判斷（$>$ 或 $<$）。
• 運算限制：數值差無物理意義，不可進行加減運算。

核心觀念

本題考二因子 $2^2$ 因子實驗的變異數分析（ANOVA）。因子 $A$、$B$ 各有高、低兩個水準，四種水準組合各觀察三次，因此共有 $N=12$ 筆觀察值。可分解總平方和為 $A$ 主效果、$B$ 主效果、交互作用 $AB$ 與誤差平方和。

每個效果的自由度為 $1$；誤差自由度為 $4(3-1)=8$；總自由度為 $12-1=11$。各效果以誤差均方作為分母計算 $F$ 值：

解題方法

先計算四組實驗的觀察值總和：

總和 $G=149$，觀察值平方和為 $2051$。修正項為：

因此總平方和為：

依題目正負號計算各效果的對比：

每種水準組合有 $r=3$ 次觀察，故各效果平方和為「對比平方除以 $2^2r=12$」：