108 地方特考三等 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

方案平衡值（Project Balance）是將前一期的平衡值按利率累積，再加上當期現金流量：

$B_t=B_{t-1}(1+i)+C_t$

其中 $B_t$ 為第 $t$ 年的方案平衡值，$C_t$ 為第 $t$ 年的現金流量。平衡值為負，表示累積後仍未回收的投資金額；平衡值為零，表示方案在該期恰好達到平衡。

解題方法

（一）求利率 $i$

第 0 年平衡值為 $-500$，第 1 年現金流量為 $100$，第 1 年平衡值為 $-450$。代入平衡值遞推式：

$-450=(-500)(1+i)+100$

$-550=-500(1+i)$

$1+i=1.1,\qquad i=0.1=10\%$

（二）求 $X$

核心觀念

本題為工程經濟學中整合「通貨膨脹（Inflation）」、「名目利率與有效利率（Nominal vs. Effective Interest Rate）」以及「先付年金終值（Future Value of Annuity Due）」的綜合經典計算題。核心觀念包含以下三項：

1. 實質購買力與當時幣值之轉換： 題目要求退休時提取「等同於今天的 $200$ 萬元」，此為實質購買力（Constant Dollars）。在年通貨膨脹率為 $f$ 的環境下，經過 $N$ 年後所需的名目金額（Actual Dollars，當時幣值）為： $F = P_0 (1 + f)^N$

2. 付款期間大於計息期間的有效利率換算（$PP > CP$）： 存款週期為每半年一次（付款期間 $PP = 6\text{ 個月}$），而銀行利率為年利率 $r = 8\%$ 按月複利（計息期間 $CP = 1\text{ 個月}$）。由於計息頻率高於付款頻率，必須先求出每個月的月利率 $i_{\text{月}} = \frac{r}{12}$，再換算為每半年的有效半年度利率（Effective Semi-annual Interest Rate）$i$： $i = (1 + i_{\text{月}})^6 - 1 = \left(1 + \frac{r}{12}\right)^6 - 1$

3. 年金型態與存款期數判定（先付年金 / 期初年金）： 林先生於「現在（$t = 0$）」存入第 1 筆，之後每半年存入一筆，直到「退休日前半年（$t = 19.5\text{ 年}$）」存入最後一筆，並於「退休日當天（$t = 20\text{ 年}$）」提領。

• 總存款期數：從 $t = 0$ 到 $t = 19.5$ 年，每半年一期，共有 $40$ 筆存款。
• 款項累積：每筆存款在存入後至 $t = 20$ 年皆會多計息半期，最後一筆存款（$t = 19.5$ 年）亦計息半期，屬於標準的先付年金（Annuity Due）。其終值公式為： $F = A \cdot (F/A, i, n) \cdot (1 + i) = A \left[ \frac{(1 + i)^n - 1}{i} \right] (1 + i)$

解題方法

步驟一：計算退休日當天所需的實際名目金額（$F$）

林先生在 $20$ 年後退休，要求實質購買力等同於今日的 $200$ 萬元。年通貨膨脹率 $f = 3\%$，經 $20$ 年複利累積後，退休日當天需一次提取的名目金額 $F$ 為： $F = 2,000,000 \times (1 + 0.03)^{20}$

計算複利因子： $(1.03)^{20} \approx 1.806111$

因此，退休日需提取的名目金額為： $F = 2,000,000 \times 1.806111 = 3,612,222\text{ 元}$

步驟二：計算每半年的有效利率（$i$）

年名目利率 $r = 8\%$，按月複利： $i_{\text{月}} = \frac{8\%}{12} = \frac{2}{3}\% \approx 0.0066667$

每半年包含 $6$ 個月，其有效半年度利率 $i$ 為： $i = \left(1 + \frac{0.08}{12}\right)^6 - 1 = \left(1 + \frac{1}{150}\right)^6 - 1$

核心觀念

本題屬於工程經濟學中典型的公共工程/特許經營 BOT 招商模式之損益兩平分析（Break-Even Analysis），核心在於處理多期非對稱現金流與不同計息週期之折現配合。主要運用之觀念與公式如下：

1. 實質月利率（Effective Monthly Rate）： 題目給定最低吸引投資報酬率（MARR）為名目年利率 $r = 6\%$，按月複利（compounded monthly）。依定義，計息週期與月租金收費週期相同，每月實質利率為： $i_m = \frac{r}{12} = \frac{6\%}{12} = 0.5\% = 0.005$ 有效年利率（Effective Annual Rate, EAR）則為： $i_a = (1 + i_m)^{12} - 1 = (1.005)^{12} - 1 \approx 6.1678\%$

2. 有效營收車位計算： 停車場總車位共 $300$ 格，年平均出租率為 $90\%$，故每月實際產生租金之車位數為： $\text{有效出租車位數} = 300 \times 90\% = 270\text{ 格}$ 設每一車位之月租金至少為 $X$ 元，則每月總營業收入為 $270X$ 元。

3. 淨現值平衡方程式（Net Present Worth Criterion, NPW）： 在特許經營期 $5$ 年（$N = 60$ 個月）內，為達成廠商要求之 MARR，總收入之折現值必須大於或等於初期投資、營運維護費用與期末設備殘值折現後之總成本淨現值： $NPW = PW(\text{租金總收入}) - PW(\text{初期總投資}) - PW(\text{年營運費用}) + PW(\text{設備殘值}) = 0$

4. 常用複利因子定義：

• 一次支付現值因子：$(P/F, i, n) = (1 + i)^{-n}$
• 等額系列現值因子：$(P/A, i, n) = \frac{(1 + i)^n - 1}{i(1 + i)^n}$
• 資本回收因子：$(A/P, i, n) = \frac{i(1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}$
• 償債基金因子：$(A/F, i, n) = \frac{i}{(1 + i)^n - 1}$

解題方法

本題營運期為 $5$ 年（$60$ 個月），月租金為按月收取之均等系列，年營業費用則為年度支出。解題切入點採用現值法（Present Worth Method），將所有現金流量折算至經營開始前一日（$t = 0$）。

步驟一：整理各項現金流量

• 初期投資總額（$t = 0$）： 包含得標金 $1{,}000$ 萬元及整建費用 $500$ 萬元： $P_0 = 10{,}000{,}000 + 5{,}000{,}000 = 15{,}000{,}000\text{ 元}$
• 經營期滿殘值（$t = 60$ 個月末）： $S = 300{,}000\text{ 元}$
• 每年營業維護等費用（每年總計）： $C_{\text{annual}} = 2{,}500{,}000\text{ 元}$
• 每月租金收入（共 $60$ 期）： $R_m = 270X\text{ 元}$

步驟二：計算相關複利因子

• 折現率：$i_m = 0.5\%$，$n = 60$ $(1 + 0.005)^{60} = [(1.005)^{12}]^5 \approx (1.061678)^5 \approx 1.348850$
• 殘值之現值因子： $(P/F, 0.5\%, 60) = (1.005)^{-60} = \frac{1}{1.348850} \approx 0.741372$
• 月租金收入之等額現值因子： $(P/A, 0.5\%, 60) = \frac{1.348850 - 1}{0.005 \times 1.348850} \approx 51.7256$
• 年費用之等額現值因子（配合年有效利率 $i_a = 6.1678\%$，$n = 5$ 年）：

核心觀念

本題考查等額年值比較法與現值法。兩種機器都要滿足 20 年的工作需求，因此可將各方案 20 年內的成本折算到同一基準日比較。選擇機器 B 的條件是：B 的總成本現值低於 A 的總成本現值。

折現公式為：

解題方法

以 $t=0$ 為基準日，年利率 $i=10\%$，假設每年營運成本在年末支付。

機器 A 的初始建置成本為 $2{,}400{,}000$，每年營運成本為 $100{,}000$，第 20 年取得 $80{,}000$ 殘值。因此：

機器 B 在第 10 年出售舊機取得 $65{,}000$ 殘值，並花 $1{,}600{,}000$ 重新建置，因此第 10 年的淨支出為 $1{,}535{,}000$。第二部機器在第 20 年取得 $65{,}000$ 殘值。