107 地方特考三等 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

1. 經濟等值（Economic Equivalence）： 在考慮貨幣時間價值（Time Value of Money）及指定折現率（年利率 $i$）下，不同時間點發生的現金流量若在某一共同時間基準點（如第 0 期的現值 $PW$、或第 $n$ 期的終值 $FW$）具有相同的數值，則兩組現金流量在經濟上具有等值關係。
2. 現值法（Present Worth, PW）公式：

• 單筆付款現值因子（Single Payment Present Worth Factor）： $(P/F, i, n) = (1 + i)^{-n}$ 將第 $n$ 期之單筆未來值 $F$ 折現至第 0 期現值 $P = F(P/F, i, n)$。
• 均等年金現值因子（Uniform Series Present Worth Factor）： $(P/A, i, n) = \frac{(1 + i)^n - 1}{i(1 + i)^n} = \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$ 將自第 1 期至第 $n$ 期每期期末之等額年金 $A$ 折現至第 0 期現值 $P = A(P/A, i, n)$。

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解題方法

本題為求解未知現金流量 $X$ 之等值計算題。切入點為選定「第 0 年（現值基準點）」建立兩組現金流量之現值等式：$PW_A = PW_B$。

步驟一：建立兩方案之現值方程式

• 方案 A（原現金流量）： 各年度金額折現至第 0 年： $PW_A = -5{,}000 + 3{,}750(P/F, 6\%, 1) + X(P/F, 6\%, 2) + X(P/F, 6\%, 3) + 3{,}850(P/F, 6\%, 4) + X(P/F, 6\%, 5) + 2{,}000(P/F, 6\%, 6)$ 整理同類項（將包含未知數 $X$ 的項次合併）： $PW_A = -5{,}000 + 3{,}750(P/F, 6\%, 1) + 3{,}850(P/F, 6\%, 4) + 2{,}000(P/F, 6\%, 6) + X \left[ (P/F, 6\%, 2) + (P/F, 6\%, 3) + (P/F, 6\%, 5) \right]$

• 方案 B（對照組現金流量）： 第 1 年至第 6 年每年收入 $2{,}000$，構成 $n=6, A=2{,}000$ 的均等年金： $PW_B = 2{,}000(P/A, 6\%, 6)$

步驟二：計算各折現因子

利率 $i = 6\%$ 時的各期現值因子如下：

• $(P/F, 6\%, 1) = (1.06)^{-1} \approx 0.943396$（四位小數查表值為 $0.9434$）
• $(P/F, 6\%, 2) = (1.06)^{-2} \approx 0.889996$（四位小數查表值為 $0.8900$）
• $(P/F, 6\%, 3) = (1.06)^{-3} \approx 0.839619$（四位小數查表值為 $0.8396$）
• $(P/F, 6\%, 4) = (1.06)^{-4} \approx 0.792094$（四位小數查表值為 $0.7921$）
• $(P/F, 6\%, 5) = (1.06)^{-5} \approx 0.747258$（四位小數查表值為 $0.7473$）
• $(P/F, 6\%, 6) = (1.06)^{-6} \approx 0.704961$（四位小數查表值為 $0.7050$）
• $(P/A, 6\%, 6) = \frac{1 - (1.06)^{-6}}{0.06} \approx 4.917324$（四位小數查表值為 $4.9173$）

步驟三：代入數值求解 $X$

【精確計算（電子計算機精算法）】

1. 計算 $PW_B$： $PW_B = 2{,}000 \times 4.917324 = 9{,}834.65$

核心觀念

本題評量工程經濟學中通貨膨脹（Inflation）、物價指數（CPI）​與定值貨幣（Constant Dollars）／實際貨幣（Actual Dollars）​的換算與預測，涵蓋三大核心觀念：

1. 實際貨幣（Actual Dollars, $A_t$）與定值貨幣（Constant Dollars, $C_t$）的轉換： 實際貨幣為各年度當下實際收付之名目金額；定值貨幣（實質金額）則是扣除物價波動後、以某一特定基準年（Base Year, $b$）之購買力為標準的金額。兩者透過消費者物價指數（CPI）進行平減換算： $C_t = A_t \times \left(\frac{\text{CPI}_b}{\text{CPI}_t}\right)$

2. 平均漲幅與複合年成長率（Compound Annual Growth Rate, CAGR）： 在跨多期的離散時序資料中，評估「平均年增長率（或漲幅）」於工程經濟學複利架構下，首選幾何平均法（幾何成長率）；亦有部分解題慣用算術平均法。為使答案周全，詳解應以標準幾何平均為主，並並列算術平均數值：

• 幾何平均成長率 $\bar{g}$： $(1 + \bar{g})^n = \frac{S_{t+n}}{S_t} \implies \bar{g} = \left(\frac{S_{t+n}}{S_t}\right)^{1/n} - 1$ （其中 $n$ 為期間經歷的期數，非資料點個數）
• 算術平均成長率 $\bar{g}_{\text{arith}}$： $\bar{g}_{\text{arith}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} g_i$

3. 平均年通貨膨脹率（Annual Inflation Rate, $\bar{f}$）： 物價由第 $1$ 年 $\text{CPI}_1$ 變動至第 $5$ 年 $\text{CPI}_5$，共歷經 $n = 4$ 個年度間距，平均年通膨率 $\bar{f}$ 依複利累積關係定義： $\text{CPI}_5 = \text{CPI}_1 \times (1 + \bar{f})^4 \implies \bar{f} = \left(\frac{\text{CPI}_5}{\text{CPI}_1}\right)^{1/4} - 1$

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解題方法

(一) 以 5 年薪水平均漲幅預估第 6 年薪水（Actual Dollars）

從第 1 年到第 5 年，薪資資料共有 5 筆，期間跨越 $n = 5 - 1 = 4$ 期：

• 第 1 年薪資 $S_1 = \text{\char36}600{,}000$
• 第 5 年薪資 $S_5 = \text{\char36}800{,}000$

方法一：幾何平均法（工程經濟學標準複利模型） 設年薪之幾何平均年增率為 $\bar{g}$： $S_5 = S_1 \times (1 + \bar{g})^4 \implies 800{,}000 = 600{,}000 \times (1 + \bar{g})^4$ $(1 + \bar{g})^4 = \frac{800{,}000}{600{,}000} = \frac{4}{3} \approx 1.333333$ $1 + \bar{g} = \left(\frac{4}{3}\right)^{1/4} \approx 1.07457 \implies \bar{g} \approx 7.457\%$

預估第 6 年實際薪資 $S_6$： $S_6 = S_5 \times (1 + \bar{g}) = 800{,}000 \times 1.07457 \approx 859{,}656 \text{ 元}$

方法二：算術平均法（逐年漲幅之算術平均） 計算各年度薪資漲幅 $g_t = \frac{S_{t+1} - S_t}{S_t}$：

• $g_1 = \frac{660{,}000 - 600{,}000}{600{,}000} = 10.0000\%$
• $g_2 = \frac{700{,}000 - 660{,}000}{660{,}000} = \frac{2}{33} \approx 6.0606\%$
• $g_3 = \frac{780{,}000 - 700{,}000}{700{,}000} = \frac{4}{35} \approx 11.4286\%$
• $g_4 = \frac{800{,}000 - 780{,}000}{780{,}000} = \frac{1}{39} \approx 2.5641\%$

算術平均漲幅 $\bar{g}_{\text{arith}}$： $\bar{g}_{\text{arith}} = \frac{10.0000\% + 6.0606\% + 11.4286\% + 2.5641\%}{4} = \frac{30.0533\%}{4} \approx 7.5133\%$

預估第 6 年薪資： $S_6 = S_5 \times (1 + \bar{g}_{\text{arith}}) = 800{,}000 \times (1 + 0.075133) \approx 860{,}107 \text{ 元}$

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(二) 以 5 年平均年通膨率調整第 6 年薪水

第 1 年 $\text{CPI}_1 = 202$，第 5 年 $\text{CPI}_5 = 218$，歷時 4 個期間。

核心觀念

本題旨在評量永久性投資（Permanent Investment / Perpetuity）​之內部報酬率（Internal Rate of Return, IRR / Rate of Return, ROR）​計算，核心概念與公式如下：

1. 投資報酬率（$i$）之定義： 使該投資案「未來現金流入之現值總和（$PW_{\text{流入}}$）」等於「初始投資成本現值（$PW_{\text{流出}}$）」之折現率，即淨現值方程式： $PW = -5{,}000{,}000 + PW_{\text{流入}} = 0$

2. 週期性現金流量與實質利率轉換： 現金流入每 2 年發生一次，若設年投資報酬率為 $i$，則每 2 年期之實質有效報酬率（Effective 2-Year Interest Rate）$i_2$ 為： $i_2 = (1 + i)^2 - 1$

3. 延遲永續年金現值公式（Present Worth of a Deferred Perpetuity）： 自第 $t = 4$ 年開始，每 2 年獲得金額 $A = 500{,}000$ 直至永遠。 此永續年金在第一筆給付前一期（即第 $t = 2$ 年）的資本化價值為： $PW_2 = \frac{A}{i_2} = \frac{500{,}000}{(1 + i)^2 - 1}$ 再將 $PW_2$ 往前折現 2 年至第 0 年： $PW_{\text{流入}} = PW_2 \times (1 + i)^{-2} = \frac{500{,}000}{[(1 + i)^2 - 1](1 + i)^2}$

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解題方法

步驟一：列出等額現金流量現值方程式

根據題意，第 0 年流出 $\text{\char36}5{,}000{,}000$，第 4、6、8、$\ldots$ 年各流入 $\text{\char36}500{,}000$。亦可直接以無窮等比級數展開推導： $PW_{\text{流入}} = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{500{,}000}{(1 + i)^{2k}} = \frac{500{,}000}{(1 + i)^4} \left[ 1 + \frac{1}{(1 + i)^2} + \frac{1}{(1 + i)^4} + \cdots \right]$

利用無窮等比級數求和公式 $S = \frac{a_1}{1 - r}$（公比 $r = (1+i)^{-2} < 1$）： $PW_{\text{流入}} = \frac{500{,}000}{(1 + i)^4} \times \frac{1}{1 - (1 + i)^{-2}} = \frac{500{,}000}{(1 + i)^2 [(1 + i)^2 - 1]}$

核心觀念

本題考查工程經濟學中​「通貨膨脹對營運資金（Working Capital, WC）之影響」​與​「專案現金流量估算（Project Cash Flow Estimation）」​之核心計算。

1. 營運資金（Working Capital）的現金流特性：

• 期初投入（Cash Outflow）：專案開始營運前（第 0 年），必須預先墊付資金用於應收帳款、存貨等週轉需求，在現金流量表上呈現為現金流出（負值）。
• 期末完全回收（Cash Inflow）：營運資金不同於折舊性固定資產，其本金在專案結束清算時，應收帳款收回、存貨變現且結清應付帳款，故可全數收回，呈現為現金流入（正值）。

2. 通貨膨脹（Inflation）下的營運資金調整機制：

• 若物價持續上漲（年通膨率為 $f$），維持相同實質營運規模所需的各項名目成本上升，因此各期末所需維持的營運資金名目餘額（Working Capital Requirement）必須按通膨率等比例向上調增： $WC_t = WC_{t-1} \times (1 + f) = WC_0 \times (1 + f)^t$
• 每年需注入之增額營運資金（Incremental Working Capital Investment）即為該年度造成的現金流出： $\Delta WC_t = WC_t - WC_{t-1} = WC_{t-1} \times f$
• 該年度與營運資金相關之淨現金流量（Net Cash Flow, NCF）​即為： $NCF_t = -\Delta WC_t$

3. 專案終結期（第 5 年）之現金流清算：

• 專案於第 5 年底結束，營運停止後不再需要為第 6 年儲備營運資金（$\Delta WC_5 = 0$）。
• 方案結束時完全回收先前所有已投入並滯留在專案中的營運資金總額。

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解題方法

給定條件：

• 專案壽命：$N = 5$ 年（涵蓋期數 $t = 0, 1, 2, 3, 4, 5$）
• 第 0 年初始營運資金：$WC_0 = \text{\char36}50{,}000$
• 年通膨率：$f = 3\% = 0.03$

步驟一：計算第 0 年淨現金流量

第 0 年為初始資金投入期，需全額支出初始營運資金： $NCF_0 = -WC_0 = -\$50{,}000$

步驟二：計算第 1 年至第 4 年各期營運資金餘額與追加投入（淨現金流出）

各年度為了因應當年度 $3\%$ 的通膨，維持同等實質週轉能力，必須於期末追加投入營運資金：

1. 第 1 年（$t = 1$）：

• 第 1 年底所需維持之營運資金總額： $WC_1 = 50{,}000 \times (1 + 0.03)^1 = \$51{,}500$
• 第 1 年需額外追加投入之資金（現金流出）： $\Delta WC_1 = WC_1 - WC_0 = 51{,}500 - 50{,}000 = \$1{,}500$
• 第 1 年淨現金流量： $NCF_1 = -\$1{,}500$

2. 第 2 年（$t = 2$）：

• 第 2 年底所需維持之營運資金總額： $WC_2 = 51{,}500 \times (1 + 0.03) = \$53{,}045$
• 第 2 年需額外追加投入之資金（現金流出）： $\Delta WC_2 = WC_2 - WC_1 = 53{,}045 - 51{,}500 = \$1{,}545$
• 第 2 年淨現金流量： $NCF_2 = -\$1{,}545$

3. 第 3 年（$t = 3$）：

• 第 3 年底所需維持之營運資金總額： $WC_3 = 53{,}045 \times (1 + 0.03) = \$54{,}636.35$
• 第 3 年需額外追加投入之資金（現金流出）： $\Delta WC_3 = WC_3 - WC_2 = 54{,}636.35 - 53{,}045 = \$1{,}591.35$
• 第 3 年淨現金流量： $NCF_3 = -\$1{,}591.35$

4. 第 4 年（$t = 4$）：

• 第 4 年底所需維持之營運資金總額： $WC_4 = 54{,}636.35 \times (1 + 0.03) = \$56{,}275.44$
• 第 4 年需額外追加投入之資金（現金流出）： $\Delta WC_4 = WC_4 - WC_3 = 56{,}275.44 - 54{,}636.35 = \$1{,}639.09$
• 第 4 年淨現金流量： $NCF_4 = -\$1{,}639.09$

步驟三：計算第 5 年淨現金流量（期末回收）

第 5 年方案結束，營運終止，不再需要為次年營運保留或追加資金。此時將先前累積在專案中的全部營運資金餘額（即至第 4 年底止累計投入維持第 5 年營運之總額 $WC_4$）全數變現回收： $NCF_5 = +WC_4 = +\$56{,}275.44$

*(註：若依字面將第 5 年當期物價調整與期末回收同時列計，即當期追加流出 $-\Delta WC_5 = -WC_4 \times 0.03 = -\text{\char36}1{,}688.26$，而期