107 地方特考四等 電子工程 電子儀表概要 考古題詳解

核心觀念

1. $RC$ 積分器之步階響應與上升時間： 一階 $RC$ 低通濾波電路（積分器）在理想步階脈波信號 $v_s(t)$ 輸入下，電容兩端電壓 $v_1(t)$ 的暫態響應為： $v_1(t) = V_m \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ 其中時間常數 $\tau = RC$。 上升時間（Rise time, $t_r$）之標準定義為輸出信號由穩態值的 $10\%$ 上升至 $90\%$ 所需的時間： $t_r = \tau \ln\left(\frac{1-0.1}{1-0.9}\right) = \tau \ln 9 \approx 2.1972 \tau \approx 2.2 RC$

2. 示波器顯示信號之總上升時間（RSS 法則）： 當信號輸入示波器時，示波器內部的放大器與偏轉電路本身具有有限的上升時間 $t_{rs}$。依據多級高斯響應系統之級聯特性，示波器螢幕上顯示的上升時間 $t_{r2}$（觀測值）與被測信號實際上升時間 $t_{r1}$ 滿足平方和開根號（Root-Sum-Squares, RSS）關係： $t_{r2} = \sqrt{t_{r1}^2 + t_{rs}^2} \implies t_{r2}^2 = t_{r1}^2 + t_{rs}^2$

3. 示波器頻寬與上升時間之關係及頻寬選用準則：

• 典型單極點或高斯型響應系統中，頻寬（Bandwidth, $BW$）與上升時間 $t_r$ 的經驗轉換關係為： $BW \times t_r \approx 0.35 \implies BW = \frac{0.35}{t_r}$
• 為使觀測信號 $v_2(t)$ 的上升時間能忠實呈現、逼近真實輸入信號 $v_1(t)$，量測工程與考題規範中常採用「5 倍法則」（量測誤差 $< 2\%$）或「3 倍法則」（量測誤差 $< 5\%$），要求示波器本身的上升時間 $t_{rs}$ 需遠小於輸入信號上升時間 $t_{r1}$。

解題方法

（一）求電容 $C$ 上之信號 $v_1(t)$ 的上升時間 $t_{r1}$

1. 計算 $RC$ 電路的時間常數 $\tau$： $\tau = R \times C = 2\ \Omega \times 0.68 \times 10^{-9}\ \mathrm{F} = 1.36 \times 10^{-9}\ \mathrm{s} = 1.36\ \mathrm{ns}$

2. 依據上升時間定義推導公式：

• 當電壓上升至穩態值的 $10\%$ 時（$t = t_{10\%}$）： $0.1 = 1 - e^{-t_{10\%}/\tau} \implies t_{10\%} = -\tau \ln(0.9) \approx 0.1054 \tau$
• 當電壓上升至穩態值的 $90\%$ 時（$t = t_{90\%}$）： $0.9 = 1 - e^{-t_{90\%}/\tau} \implies t_{90\%} = -\tau \ln(0.1) \approx 2.3026 \tau$
• 兩者相減即為上升時間 $t_{r1}$： $t_{r1} = t_{90\%} - t_{10\%} = \tau \ln\left(\frac{0.9}{0.1}\right) = \tau \ln 9 \approx 2.1972 \tau \approx 2.2 RC$

3. 代入數值計算： $t_{r1} = 2.2 \times 1.36\ \mathrm{ns} = 2.992\ \mathrm{ns} = 2.992 \times 10^{-9}\ \mathrm{s}$ （若以精確值 $\ln 9$ 計算：$t_{r1} = 2.1972 \times 1.36\ \mathrm{ns} \approx 2.988\ \mathrm{ns} \approx 3.0\ \mathrm{ns}$；國家考試與工程計算通常以 $2.2 RC = 2.992\ \mathrm{ns}$ 定案）。

（二）求此示波器本身的上升時間 $t_{rs}$

1. 由總上升時間與各部件上升時間的平方和公式： $t_{r2} = \sqrt{t_{r1}^2 + t_{rs}^2} \implies t_{rs} = \sqrt{t_{r2}^2 - t_{r1}^2}$

2. 將題目已知之觀測上升時間 $t_{r2} = 3.08\ \mathrm{ns}$ 及第（一）小題所得之 $t_{r1} = 2.992\ \mathrm{ns}$ 代入： $t_{rs} = \sqrt{(3.08)^2 - (2.992)^2} = \sqrt{9.4864 - 8.9521} = \sqrt{0.5343} \approx 0.731\ \mathrm{ns} = 7.31 \times 10^{-10}\ \mathrm{s}$

核心觀念

本題考查交流電橋中的海氏電橋（Hay’s Bridge）​之平衡條件推導、待測電感參數求解與電感品質因數（Quality Factor, $Q$）的計算。

1. 交流電橋平衡條件： 若四個臂的複數阻抗分別為 $Z_1$、$Z_2$、$Z_3$、$Z_4$，且 $Z_1$ 與 $Z_4$ 為相對臂、$Z_2$ 與 $Z_3$ 為相對臂，則電橋平衡（檢流計或偵測器無電流）的充要條件為相對臂阻抗乘積相等： $Z_1 Z_4 = Z_2 Z_3$ 當滿足平衡時，其實部與虛部必須同時獨立相等。
2. 待測電感模型： 實體電感以串聯等效電路表示，阻抗為 $Z_1 = R_1 + j\omega L_1$。
3. 海氏電橋之標準臂特徵： 標準臂採用電阻 $R_4$ 與標準電容 $C_4$ 串聯，其阻抗為 $Z_4 = R_4 + \frac{1}{j\omega C_4} = R_4 - j\frac{1}{\omega C_4}$。
4. 品質因數定義： 線圈在角頻率 $\omega$ 下的品質因數定義為感抗與內電阻之比： $Q = \frac{\omega L_1}{R_1}$

解題方法

步驟一：列出各臂複數阻抗

• 待測臂（第 1 臂）：$Z_1 = R_1 + j\omega L_1$
• 固定電阻臂（第 2 臂）：$Z_2 = R_2$
• 固定電阻臂（第 3 臂）：$Z_3 = R_3$
• 標準電阻電容串聯臂（第 4 臂）：$Z_4 = R_4 + \frac{1}{j\omega C_4} = R_4 - j\frac{1}{\omega C_4}$

步驟二：建立平衡方程式

依據對臂阻抗乘積相等的平衡條件： $Z_1 Z_4 = Z_2 Z_3$

代入各臂阻抗： $(R_1 + j\omega L_1)\left(R_4 - j\frac{1}{\omega C_4}\right) = R_2 R_3$

展開左式： $\left(R_1 R_4 + \frac{L_1}{C_4}\right) + j\left(\omega L_1 R_4 - \frac{R_1}{\omega C_4}\right) = R_2 R_3 + j0$

步驟三：實部與虛部分離

右式為純實數，令實部與虛部各自相等：

• 實部方程式： $R_1 R_4 + \frac{L_1}{C_4} = R_2 R_3 \quad \cdots\cdots (1)$
• 虛部方程式： $\omega L_1 R_4 - \frac{R_1}{\omega C_4} = 0 \quad \cdots\cdots (2)$

（一）求電感 $L_1$

由虛部方程式 (2) 可得 $R_1$ 與 $L_1$ 的關係式： $\omega L_1 R_4 = \frac{R_1}{\omega C_4} \implies R_1 = \omega^2 L_1 R_4 C_4 \quad \cdots\cdots (3)$

將式 (3) 代入實部方程式 (1)： $(\omega^2 L_1 R_4 C_4) R_4 + \frac{L_1}{C_4} = R_2 R_3$

提出公因式 $L_1$： $L_1 \left(\omega^2 R_4^2 C_4 + \frac{1}{C_4}\right) = R_2 R_3$ $L_1 \left(\frac{1 + \omega^2 R_4^2 C_4^2}{C_4}\right) = R_2 R_3$

解得待測電感 $L_1$ 為： $L_1 = \frac{R_2 R_3 C_4}{1 + \omega^2 R_4^2 C_4^2}$

核心觀念

本題評量示波器在 X-Y 模式下應用理查瑟圖形（Lissajous Diagram）​量測兩同頻正弦信號之「相角差」的分析能力。

1. 信號與軌跡方程式： 輸入水平端信號 $x(t) = A\cos\omega t$ 與垂直端信號 $y(t) = B\cos(\omega t+\theta)$，消去時間參數 $t$ 後，合成之軌跡方程式為標準橢圓： $\frac{x^2}{A^2} - \frac{2xy}{AB}\cos\theta + \frac{y^2}{B^2} = \sin^2\theta$
2. 截距比值法（$\sin\theta = y_0/B$）： 當光點穿過垂直軸時（$x = 0$），代入軌跡方程式得 $\frac{y^2}{B^2} = \sin^2\theta$，因此垂直正截距 $y_0 = B|\sin\theta|$，即： $\sin\theta = \frac{y_0}{B}$ 式中 $B$ 為垂直方向的最大偏轉振幅（$y_{\max}$）。
3. 長軸傾斜方向與相角象限關係：

• 橢圓長軸傾斜於第一、三象限（正斜率）：$\cos\theta > 0$，相角 $\theta$ 落在第一象限（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）或第四象限（$270^\circ < \theta < 360^\circ$）。
• 橢圓長軸傾斜於第二、四象限（負斜率）：$\cos\theta < 0$，相角 $\theta$ 落在第二象限（$90^\circ < \theta < 180^\circ$）或第三象限（$180^\circ < \theta < 270^\circ$）。
• 圖形對稱於坐標軸（正立橢圓或正圓）：$\cos\theta = 0$，$\theta = 90^\circ$ 或 $270^\circ$。
• 圖形退化為直線：$\sin\theta = 0$，正斜率直線為 $\theta = 0^\circ$（同相），負斜率直線為 $\theta = 180^\circ$（反相）。

解題方法

軌跡方程式推導

由水平信號得： $\cos\omega t = \frac{x}{A}, \quad \sin\omega t = \pm\sqrt{1 - \left(\frac{x}{A}\right)^2}$ 將其展開代入垂直信號： $y = B\cos(\omega t + \theta) = B(\cos\omega t\cos\theta - \sin\omega t\sin\theta)$ $\frac{y}{B} - \frac{x}{A}\cos\theta = \mp\sin\theta\sqrt{1 - \left(\frac{x}{A}\right)^2}$ 兩邊平方並整理同類項： $\frac{x^2}{A^2} - \frac{2xy}{AB}\cos\theta + \frac{y^2}{B^2} = \sin^2\theta$

依此通式逐一分析四種狀態：

（一）圖三(a)之相角差分析

• 圖形特徵：長軸位於第一、三象限（向右上方傾斜）之橢圓，垂直截距為 $y_0$，最大垂直幅值為 $B$。
• 推導： 因長軸傾斜於第一、三象限，交叉項係數需為負以滿足 $x, y$ 同號區域，故 $\cos\theta > 0$。由題目定義之關係式 $\sin\theta = y_0/B$，相角 $\theta$ 位於第一象限或第四象限： $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{y_0}{B}\right) \quad \text{或} \quad 360^\circ - \sin^{-1}\left(\frac{y_0}{B}\right)$ 即相角差介於 $0^\circ < \theta < 90^\circ$ 或 $270^\circ < \theta < 360^\circ$。

核心觀念

本題結合了直流電路分析與儀表量測誤差傳遞（Error Propagation）​兩大核心觀念：

1. 直流電路基本定律：

• 等效電阻：並聯電阻 $R_p = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$；總電阻 $R_T = R_s + R_p$。
• 歐姆定律與分流定理：總電流 $I_s = \frac{V_s}{R_T}$；分路電流 $I_1 = I_s \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$、$I_2 = I_s \times \frac{R_1}{R_1 + R_2}$。
• 電源提供功率：$P_s = V_s \times I_s$。

2. 儀表誤差與極限誤差傳遞：

• 單一儀表之絕對誤差：當標稱值為 $X$，相對誤差為 $\pm \epsilon\%$ 時，絕對誤差範圍為 $\Delta X = X \times \epsilon\%$，量測值表示為 $X \pm \Delta X$。
• 和差運算之誤差傳遞（克希荷夫電流定律加總）：若 $I_s = I_1 + I_2$，在國家考試儀表評分慣例中，採用極限誤差（Limiting Error，最劣情況 Worst-case），總絕對誤差為各項絕對誤差之和： $\Delta I_s = \Delta I_1 + \Delta I_2$ 其合成相對誤差為 $\frac{\Delta I_s}{I_s} \times 100\%$。 （若採統計學獨立變數之方均根誤差（Root-Sum-Square, RSS），則為 $\Delta I_{s,\mathrm{RSS}} = \sqrt{(\Delta I_1)^2 + (\Delta I_2)^2}$，本題以極限誤差為主並並列 RSS 供參）。
• 常數乘積之誤差傳遞：$P_s = V_s \times I_s$，其中電源電壓 $V_s$ 為已知確定值（無誤差，$\Delta V_s = 0$），功率的相對誤差即等於總電流之相對誤差，絕對誤差為 $\Delta P_s = V_s \times \Delta I_s$。

解題方法

步驟一：求各電氣量之理論值（標稱值）

依題意，電路為電源 $V_s$ 與串聯電阻 $R_s$ 後，連接兩條分別由安培計 $A_1$ 串聯 $R_1$、安培計 $A_2$ 串聯 $R_2$ 的並聯支路（安培計視為理想，內阻為 $0\ \Omega$）：

1. 並聯分路等效電阻： $R_p = R_1 \parallel R_2 = \frac{18 \times 6}{18 + 6} = \frac{108}{24} = 4.5\ \Omega$

2. 電路總等效電阻： $R_T = R_s + R_p = 7.5 + 4.5 = 12\ \Omega$

3. 由電源端流出之總電流理論值： $I_s = \frac{V_s}{R_T} = \frac{240}{12} = 20\ \mathrm{A}$

4. 並聯端電壓與各分路電流理論值： 並聯兩端電壓為 $V_p = I_s \times R_p = 20 \times 4.5 = 90\ \mathrm{V}$。

• 流經 $A_1$ 之電流： $I_1 = \frac{V_p}{R_1} = \frac{90}{18} = 5\ \mathrm{A}$
• 流經 $A_2$ 之電流： $I_2 = \frac{V_p}{R_2} = \frac{90}{6} = 15\ \mathrm{A}$

步驟二：各小題詳細計算（含誤差範圍）

（一）安培計 $A_1$ 量測到的電流

• 電流標稱值 $I_1 = 5\ \mathrm{A}$，儀表誤差為 $\pm 2\%$。
• 絕對誤差： $\Delta I_1 = 5\ \mathrm{A} \times (\pm 2\%) = \pm 0.1\ \mathrm{A}$
• 量測範圍： $I_1 = 5 \pm 0.1\ \mathrm{A}\quad (\text{即 } 4.9\ \mathrm{A} \sim 5.1\ \mathrm{A})$

（二）安培計 $A_2$ 量測到的電流

• 電流標稱值 $I_2 = 15\ \mathrm{A}$，儀表誤差為 $\pm 1\%$。
• 絕對誤差： $\Delta I_2 = 15\ \mathrm{A} \times (\pm 1\%) = \pm 0.15\ \mathrm{A}$
• 量測範圍： $I_2 = 15 \pm 0.15\ \mathrm{A}\quad (\text{即 } 14.85\ \mathrm{A} \sim 15.15\ \mathrm{A})$

核心觀念

數位電壓錶（DVM / DMM）的規格誤差通常由兩部分組成：

1. 讀數誤差（Percentage of Reading）：源於內部衰減電阻、放大器增益與基準電壓源（Reference Voltage）的比例漂移，此誤差大小與量測讀數成正比。
2. 位數誤差（Digits 或 Counts）：源於類比數位轉換器（ADC）的量化誤差（Quantization Error）、零點偏移（Offset Error）及比較器電路底噪。其中「$\text{digit}$」代表該檔位下顯示螢幕最低有效位數（Least Significant Digit, LSD）的最小跳動單位（即解析度 Resolution）。

主要計算公式

1. 絕對誤差（Absolute Error, $\Delta V$）： $\Delta V = \pm \left( \text{讀數} \times 0.2\% + 2 \times \text{LSD} \right)$
2. 誤差百分比（Percentage Error, $\% \text{Error}$）： $\text{誤差百分比} = \pm \frac{\Delta V}{\text{讀數}} \times 100\% = \pm \left( 0.2\% + \frac{2 \times \text{LSD}}{\text{讀數}} \times 100\% \right)$

解題方法

（一）電錶讀數為 $17000\ \mathrm{V}$ 時

1. 判斷最低有效位數（$\text{LSD}$）： 讀數顯示為 $17000\ \mathrm{V}$，末位數字落在個位數，因此 $1\text{ digit} = 1\ \mathrm{V}$。 $2\text{ digits} = 2 \times 1\ \mathrm{V} = 2\ \mathrm{V}$

2. 計算各項絕對誤差：

• 讀數產生的誤差量： $17000\ \mathrm{V} \times 0.2\% = 17000 \times 0.002 = 34\ \mathrm{V}$
• 位數產生的誤差量： $2\text{ digits} = 2\ \mathrm{V}$
• 總最大絕對誤差： $\Delta V_1 = \pm (34\ \mathrm{V} + 2\ \mathrm{V}) = \pm 36\ \mathrm{V}$

3. 計算誤差百分比： $\text{誤差百分比}_1 = \pm \frac{36\ \mathrm{V}}{17000\ \mathrm{V}} \times 100\% = \pm \frac{36}{170}\% = \pm \frac{18}{85}\% \approx \pm 0.2118\%$

（二）電錶讀數為 $0.6000\ \mathrm{V}$ 時