108 地方特考四等 水利工程 流體力學概要 考古題詳解

核心觀念

木塊沿斜坡等速滑動，表示沿斜坡方向合力為零。油膜產生黏滯剪力，可用牛頓黏滯定律計算：

其中 $\tau$ 為剪應力、$\mu$ 為動力黏度、$V$ 為木塊速度、$h$ 為油膜厚度。油膜對木塊的阻力為 $F_v=\tau A$，方向與滑動方向相反。

解題方法

先把油膜厚度換成公尺：

木塊底面為直徑 $0.600\ \mathrm{m}$ 的圓，接觸面積為：

油膜剪應力為：

因此黏滯阻力：

核心觀念

以鉸鏈 $B$ 為力矩中心，恰能開啟時，水閘剛要離開底部接觸點 $A$，各力對 $B$ 的力矩達到平衡。鉸鏈反力通過 $B$，對 $B$ 的力矩為零。

靜水壓力沿閘門深度線性增加，合力大小為 $F=\gamma A\bar h$；其對 $B$ 的力矩可由壓力分布積分求得。圖示的 $R$ 垂直於閘門，作用於 $A$。

解題方法

由圖可知，$B$ 在自由液面下 $4.00\ \mathrm{m}$，$A$ 在 $B$ 下方 $3.00\ \mathrm{m}$；閘門水平投影為 $4.00\ \mathrm{m}$，故閘門長度為

令 $s$ 為沿閘門自 $B$ 起算的距離，$0\le s\le5$。閘門寬度 $b=10.0\ \mathrm{m}$，水深沿閘門由 $4.00\ \mathrm{m}$ 增至 $7.00\ \mathrm{m}$，因此

取水的單位重 $\gamma=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$，水壓對 $B$ 的力矩為

核心觀念

本題使用定常流動的線動量方程式，求水流對噴嘴的水平作用力，再由接頭螺栓承受其反力。入口壓力會對控制體內的水流產生向右的壓力推力；噴嘴出口射流也帶走向右的動量。

取水的密度 $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$，並以大氣壓為零表壓。

解題方法

先由連續方程式求入口流速。入口、出口截面積分別為

定常不可壓縮流滿足 $A_1V_1=A_2V_2$，因此

流量與質量流率為

核心觀念

本題的核心考點為因次分析（Dimensional Analysis）​與白金漢 $\Pi$ 定理（Buckingham $\Pi$ Theorem）​在水力機械（泵）上的應用。

1. 白金漢 $\Pi$ 定理： 若一物理問題由 $n$ 個變數組成，且這 $n$ 個變數涵蓋 $m$ 個獨立基本因次（在流體力學中通常為質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$ 三個基本因次，即 $m = 3$），則此物理問題可化簡為由 $k = n - m$ 個獨立的無因次參數（$\Pi$ 群）所組成的函數關係。
2. 各物理量之因次（採用 $MLT$ 因次系統）：

• 泵功率 $P$：$[P] = \text{功}/\text{時間} = \frac{M L^2 T^{-2}}{T} = M L^2 T^{-3}$
• 流體密度 $\rho$：$[\rho] = M L^{-3}$
• 角速度 $\omega$：$[\omega] = T^{-1}$（弧度 $\text{rad}$ 為無因次）
• 葉輪直徑 $D$：$[D] = L$
• 體積流量 $Q$：$[Q] = L^3 T^{-1}$
• 動力黏度 $\mu$：$[\mu] = M L^{-1} T^{-1}$

3. 重複變數（Repeating Variables）選取準則： 題目已指定以 $\rho$、$\omega$、$D$ 為重複變數。這三個變數分別代表流體慣性性質（$\rho$）、流動運動學性質（$\omega$）與幾何幾何尺度（$D$），涵蓋 $M, L, T$ 三個基本因次且彼此互相獨立（無法單獨組成無因次群），符合定理要求。

解題方法

步驟一：確定變數總數與無因次群個數

• 系統變數總數 $n = 6$（分別為 $P, \rho, \omega, D, Q, \mu$）。
• 基本因次數 $m = 3$（$M, L, T$）。
• 無因次群個數 $k = n - m = 6 - 3 = 3$ 個。

步驟二：設立無因次項方程式

指定 $\rho$、$\omega$、$D$ 為重複變數，非重複變數為 $P$、$Q$、$\mu$，分別組合建立三個 $\Pi$ 項： $\Pi_1 = P \cdot \rho^a \omega^b D^c$ $\Pi_2 = Q \cdot \rho^d \omega^e D^f$ $\Pi_3 = \mu \cdot \rho^g \omega^h D^i$

步驟三：利用因次齊次性（Dimensional Homogeneity）解各項指數

1. 求 $\Pi_1$（功率項）： $[\Pi_1] = (M L^2 T^{-3})(M L^{-3})^a(T^{-1})^b(L)^c = M^0 L^0 T^0$ 展開各因次指數並令其等於零：

• $M: 1 + a = 0 \implies a = -1$
• $T: -3 - b = 0 \implies b = -3$
• $L: 2 - 3a + c = 0 \implies 2 - 3(-1) + c = 0 \implies c = -5$

代回得： $\Pi_1 = \frac{P}{\rho \omega^3 D^5}$

2. 求 $\Pi_2$（流量項）： $[\Pi_2] = (L^3 T^{-1})(M L^{-3})^d(T^{-1})^e(L)^f = M^0 L^0 T^0$ 展開各因次指數並令其等於零：

• $M: d = 0$
• $T: -1 - e = 0 \implies e = -1$
• $L: 3 - 3d + f = 0 \implies 3 - 0 + f = 0 \implies f = -3$

代回得： $\Pi_2 = \frac{Q}{\omega D^3}$

3. 求 $\Pi_3$（黏度項）： $[\Pi_3] = (M L^{-1} T^{-1})(M L^{-3})^g(T^{-1})^h(L)^i = M^0 L^0 T^0$ 展開各因次指數並令其等於零：

• $M: 1 + g = 0 \implies g = -1$
• $T: -1 - h = 0 \implies h = -1$
• $L: -1 - 3g + i = 0 \implies -1 - 3(-1) + i = 0 \implies i = -2$

代回得： $\Pi_3 = \frac{\mu}{\rho \omega D^2}$

核心觀念

本題考查泵浦的能量方程式。忽略能量損失與入口、出口高程差時，泵浦需提供的水頭為

其中油的密度由比重求得：

泵浦的最小輸出功率等於流體獲得的水力功率：

解題方法

先以連續方程式計算入口、出口流速：