108 地方特考四等 水利工程 土壤力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題為典型的「土壤力學概要」基礎申論題，評分重點在於考生對土壤體積變化機制的物理直覺，以及對古典力學模型假設與數學架構的掌握程度：

1. 土壤壓密（Soil Consolidation）的定義與物理本質：

• 飽和細粒土（黏性土）受靜荷重作用，孔隙水因透水性低無法瞬間排出，造成超額孔隙水壓（$\Delta u$）上升。
• 隨著時間推移，超額孔隙水壓逐漸消散、孔隙水緩慢排出，外力轉移至土壤骨架，使有效應力（$\sigma'$）增加、孔隙比（$e$）減少，最終導致土體體積縮小與地表沈陷。
• 需清楚釐清「壓實（Compaction）」與「壓密（Consolidation）」之差異，以及「初級壓密」與「次級壓密」之界定。

2. Terzaghi 單向度壓密理論（Terzaghi's One-Dimensional Consolidation Theory）：

• 基本假設：涵蓋飽和度、土顆粒與水之不可壓縮性、達西定律（Darcy's Law）、單向流與單向變形、微小應變、線性應力—應變關係等。
• 統御方程式（Governing Equation）：利用連續方程式與達西定律推導出的單向度擴散型偏微分方程式： $\frac{\partial u}{\partial t} = C_v \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$
• 關鍵參數：壓密係數 $C_v$、時間因數 $T_v$、最大排水路徑 $H_{dr}$、平均壓密度 $U$。

解題方法

本題配分共 25 分（10 分 + 15 分），屬於「名詞定義與機制闡述」結合「古典理論完整架構」的標準題型。答題架構應劃分為兩大區塊：

1. 第一部分：土壤壓密之定義與機制（10 分）

• 定義：明確寫出「飽和黏性土」、「靜荷重」、「超額孔隙水壓消散」、「孔隙水排出」、「有效應力增加」等評分關鍵字。
• 力學原理與比擬：引進 Terzaghi 有效應力原理（$\Delta \sigma = \Delta \sigma' + \Delta u$），輔以「彈簧活塞比擬模型（Spring-Piston Analogy）」說明 $t=0$、$0<t<\infty$ 與 $t=\infty$ 時應力轉移過程。
• 分類補充：區分初級壓密（流體力學消散）與次級壓密（土壤骨架之蠕變塑性調整），展現作答深度。

2. 第二部分：Terzaghi 單向度壓密理論（15 分）

• 基本假設（條列 6~7 項）：閱卷給分的主要採分點，必須條理分明、用詞精準。
• 統御微分方程式：列出方程式並定義各項物理意義，特別寫出壓密係數 $C_v$ 之組成公式： $C_v = \frac{k}{\gamma_w m_v} = \frac{k(1+e_0)}{\gamma_w a_v}$
• 邊界條件與解析解概念：說明單向/雙向排水條件、時間因數 $T_v$ 與平均壓密度 $U$ 之無因次關係，使答案完整具備工程實務意義。

選項分析

本題為申論題型，無選項分析。

解題技巧

1. 採分關鍵字精準命中：

• 壓密定義切忌只寫「土體變緊實」。必須出現「飽和」、「超額孔隙水壓消散」、「孔隙水排出」、「有效應力隨時間增加」四大核心要素。
• 基本假設需背誦標準工整的條列句型，漏寫「單向滲流與單向壓縮」或「小應變」常被扣 2～3 分。

2. 常見陷阱與扣分盲點：

• 混淆 $a_v$（壓縮係數）與 $m_v$（體積壓縮係數）：$m_v = \frac{a_v}{1+e_0}$，因次為應力的倒數（$L^2/F$），推導 $C_v$ 時不可漏掉 $1+e_0$。
• 最大排水路徑 $H_{dr}$ 混淆：雙向排水時 $H_{dr} = H/2$；單向排水時 $H_{dr} = H$。

3. 版面配置技巧：

• 採用條列式與粗體標題編排，適度分段，方便閱卷老師在 30 秒內快速抓取評分點。

【答案】

一、土壤壓密之定義與機制（10 分）

1. 定義 土壤壓密（Consolidation）係指完全飽和的低透水性細粒土壤（如黏土），在承受外加靜載重作用下，孔隙水因無法瞬間排出而產生超額孔隙水壓（Excess Pore Water Pressure, $\Delta u$）；隨著時間流逝，孔隙水向邊界緩慢排出，超額孔隙水壓逐漸消散，外加載重逐漸轉移至土壤骨架，使有效應力（Effective Stress, $\sigma'$）逐步增加、孔隙比（$e$）縮小，進而導致土體體積隨時間產生收縮與沈陷的連續物理歷程。

2. 力學機制（有效應力原理與彈簧比擬） 根據 Terzaghi 有效應力原理：$\Delta \sigma = \Delta \sigma' + \Delta u$

• 受載瞬間（$t = 0$）：孔隙水不可壓縮且黏土透水性極低，孔隙水無法立即排出，此時土壤骨架應變為零，外加載重完全由孔隙水承擔，即 $\Delta u = \Delta \sigma$、$\Delta \sigma' = 0$。

核心觀念

本題考查土木與水利工程土壤力學中二維穩定滲流（Two-Dimensional Steady Seepage）的流線網理論（Flow Net Theory）。核心概念涵蓋：

1. 拉普拉斯方程式（Laplace Equation）：在均質（Homogeneous）、等向性（Isotropic）、不可壓縮之土體中，二維穩態滲流滿足 $\nabla^2 h = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial z^2} = 0$。其解由互相正交的流線族（$\psi$）與等勢能線族（$\phi$）構成。
2. 達西定律（Darcy's Law）：滲流流速與水力坡降成正比，即 $v = k \cdot i$；流量公式為 $q = v \cdot A = k \cdot i \cdot A$。
3. 流線網組成特性：

• 流線（Flow Line）：水分子流動的路徑，相鄰兩流線所夾之通道稱為「流槽」（Flow Channel）。
• 等勢能線（Equipotential Line）：總水頭（Total Head）相等的點連成的線。
• 曲邊正方形（Curvilinear Square）：相鄰流線與等勢能線互相垂直交會，理想流線網繪製時將各網格視為曲邊正方形，邊長寬長比滿足 $\frac{b}{l} \approx 1$。

解題方法

1. 基本假設

• 土壤為均質且等向性（即水平與垂直滲透係數相等：$k_x = k_z = k$）。
• 土體及孔隙水皆為不可壓縮，水流處於二維層流穩態滲流。
• 取垂直於斷面方向之單位厚度（Unit Thickness, $B = 1$）進行推導。

2. 單一網格單元之滲流分析

在流線網中取任意一微小網格單元：

• 設沿水流方向之長度為 $l$。
• 設垂直水流方向之寬度為 $b$。
• 垂直紙面方向取單位厚度 $1$。

由總水頭差 $H$ 及總等勢能間格數 $N_q$ 可知，相鄰兩條等勢能線之間的水頭降落量（Head Loss） $\Delta h$ 為均等分配： $\Delta h = \frac{H}{N_q}$

該網格之**水力坡降（Hydraulic Gradient, $i$）**為： $i = \frac{\Delta h}{l}$

3. 單一流槽的滲流量推導

通過此單一網格單元的斷面面積為 $A = b \times 1 = b$。 根據達西定律，通過單一流槽的滲流量 $\Delta q$ 為：

核心觀念

本題考查土壤三相組成與基本物理性質。土壤由固體、水及空氣組成；孔隙由水與空氣占據。圖中 $V$ 為土體總體積，$W$ 為土體總重量。空氣重量通常忽略，因此 $W=W_s+W_w$。

解題方法

先依圖辨認各部分的體積與重量：

其中 $V_v$ 為孔隙體積。再依各名詞的定義，以對應的體積或重量作分子、分母：

（一）孔隙率 $n$：孔隙體積占土體總體積的比例。

（二）孔隙比 $e$：孔隙體積與固體體積的比值。

（三）含水量 $\omega$：水的重量與固體重量的比值。

核心觀念

本題考查總應力、孔隙水壓與有效應力的關係：

$\sigma_v=\sigma'_v+u,\qquad \sigma'_v=\sigma_v-u$

其中，$\sigma_v$ 為總垂直應力，$\sigma'_v$ 為有效垂直應力，$u$ 為孔隙水壓。地下水位以下以浮重度計算有效應力的增加量：

$\gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w$

以下採用 $\gamma_w=1.0\,t/m^3$，應力單位為 $t/m^2$。作圖時橫軸為應力、縱軸為深度，深度向下增加。

解題方法與初始地下水位狀態

令地表深度 $z=0$，地下水位在 $z=1\,m$，點 A 在 $z=4\,m$，第二層底部在 $z=6\,m$。

初始狀態各應力與深度的關係如下：

繪圖時，總應力線的斜率依序為 $1.8、2.0、1.7$；水壓線在地下水位以上為零，以下斜率為 $1.0$；有效應力線在地下水位以下的斜率依序為 $1.0、0.7$。

地下水位升至地表並達長時間穩定後

依圖示，地表至點 A 的砂土視為第一層砂土，完全飽和後採用 $\gamma_{sat}=2.0\,t/m^3$。地下水位升至地表後，水壓以地表為零水壓基準：

升至地表後的全深度關係為：