108 年地方特考四等統計考古題與詳解

Question 1

某社區 50 歲以上居民共 1,000 人，以 65 歲為切點，其年齡及性別分布如下表：

	年齡 $<65$	年齡 $\geq 65$	合計
男	320	160	480
女	320	200	520
合計	640	360	1,000

為了解這 1,000 人的健康狀態，採隨機抽出 100 人作為一組代表性樣本。

試求：

(一) 請設計一個分層抽樣法（stratified sampling）選出所需之 100 人。

(二) 請設計一個系統抽樣法（systematic sampling）選出這 100 人，且性別與年齡的比例結構要符合上表的比例。

(三) 請設計一個群集抽樣法（cluster sampling）選出這 100 人，且性別與年齡的比例結構要符合上表的比例。

Accepted Answer

核心觀念

本題考驗分層抽樣、系統抽樣與群集抽樣的設計，以及如何讓樣本保有母體的性別與年齡比例結構。

四個「性別 × 年齡」交叉組合的人數比例為：

層別	人數 $N_h$	母體比例	抽取 100 人時的名額
男、未滿 65 歲	320	32%	32
男、65 歲以上	160	16%	16
女、未滿 65 歲	320	32%	32
女、65 歲以上	200	20%	20
合計	1,000	100%	100

樣本名額依比例配置的公式為：

n_h=n\frac{N_h}{N}

其中 $N_h$ 是第 $h$ 組的母體人數， $N=1,000$ 是母體總人數， $n=100$ 是樣本總數。

（一）分層抽樣

**解題方法：**先依性別與年齡切成四個互斥且完整的層，再在各層內分別隨機抽樣。依比例配置：

n_h=100\frac{N_h}{1,000}

因此，男、未滿 65 歲抽 $32$ 人；男、65 歲以上抽 $16$ 人；女、未滿 65 歲抽 $32$ 人；女、65 歲以上抽 $20$ 人。各層內採簡單隨機抽樣，合計抽出 $32+16+32+20=100$ 人。

分層抽樣的關鍵是每一層都要有樣本，且各層抽取比例相同；本題各層抽樣率均為 $100/1,000=10\%$ 。

（二）系統抽樣

**解題方法：**系統抽樣須先排列完整抽樣名冊，再依固定間隔抽人。若只對 1,000 人直接使用間隔 $k=10$ ，雖可抽到 100 人，卻不能保證四個性別年齡組合都恰好符合指定比例。因此採用分組排列後的系統抽樣。

將名冊依四個性別年齡組合分段排列，並在每段內隨機排列：

男、未滿 65 歲：320 人，需抽 32 人，間隔 $k=320/32=10$ 。
男、65 歲以上：160 人，需抽 16 人，間隔 $k=160/16=10$ 。
女、未滿 65 歲：320 人，需抽 32 人，間隔 $k=320/32=10$ 。

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Question 2

新聞報導臺灣近年大腸癌發生率是第一名、肺癌則是死亡率第一名。試問：

(一) 如何定義癌症的發生率和死亡率？（8 分）

(二) 大腸癌發生率第一但肺癌是死亡率第一，這是否有矛盾？請解釋之。（7 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考「發生率」與「死亡率」的統計意義，以及如何辨別不同指標的分子、分母與解讀範圍。兩者都用來描述疾病在特定人口中的狀況，但衡量的事件不同：發生率衡量新發病例，死亡率衡量死亡事件。

解題方法

作答時先分別定義兩個指標，再比較其衡量對象。發生率排名與死亡率排名描述不同面向，不能直接視為相互矛盾。

（一）癌症發生率與死亡率的定義

癌症發生率：在特定期間內，特定人口中新診斷出的某種癌症病例數，相對於該人口規模的比率。常以每十萬人口表示：

\text{癌症發生率} = \frac{\text{特定期間內新診斷的該癌症病例數}} {\text{該期間的觀察人口數或人口年}} \times 100{,}000

若以人口年為分母，指標表示每十萬人年中的新發病例數；實務上也須注意年齡標準化等計算方式，以利不同人口結構間比較。

癌症死亡率：在特定期間內，因某種癌症死亡的人數，相對於該人口規模的比率。常以每十萬人口表示：

\text{癌症死亡率} = \frac{\text{特定期間內死於該癌症的人數}} {\text{該期間的觀察人口數或人口年}} \times 100{,}000

Question 3

某政府單位統計部門想委託民意機構調查民眾對新施政的滿意度。設滿意的百分比為 $p$ ，今欲進行一個調查，希望在 95% 的信心水準下將抽樣誤差控制在 3% 左右。

假設每施測 100 份問卷平均只能回收 50 份，且每份問卷的施測成本是 200 元，則大約要編列多少預算？

已知標準常態分布的 2.5% 分位點為 $-1.96$ 、97.5% 分位點是 $1.96$ ；且根據一個較小型的前期調查， $p$ 約在 60% 上下。

Accepted Answer

核心觀念

這題考的是估計母體比例 $p$ 時，如何依指定的信心水準與抽樣誤差計算所需的有效樣本數，再把問卷回收率及施測成本納入預算。

在簡單隨機抽樣下，母體比例估計值的抽樣誤差上限為

E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},

其中 $E$ 是容許誤差、 $z_{\alpha/2}$ 是標準常態臨界值， $n$ 是有效回收樣本數。因此，所需有效樣本數為

n=\frac{z_{\alpha/2}^{\,2}p(1-p)}{E^2}.

解題方法

95% 信心水準對應 $z_{\alpha/2}=1.96$ ；抽樣誤差控制在 3% 左右，取 $E=0.03$ 。前期調查估計滿意比例 $p=0.60$ ，故 $1-p=0.40$ 。

代入公式，計算所需的有效回收問卷數：

Question 4

政府在實施關於政策滿意度或民眾意向、觀感、需求等調查時，不管是經由網路、電話訪問或者面訪等，都不免需要先作好問卷的設計與效度、信度之測試。

請舉出至少 2 種信度（reliability），並說明其意義。

Accepted Answer

核心觀念 本題考問卷測量的信度（reliability）：同一問卷在測量相同特質時，結果是否具有一致性與穩定性。信度高，表示測量結果較少受到隨機誤差影響；但信度高不代表測量內容一定正確，效度仍須另外檢驗。 解題方法 題目要求舉出至少兩種信度並說明意義。作答時可從「重複測量是否一致」及「題目彼此是否一致」等角度，列出信度種類並簡述其檢驗方式。 1. 再測信度（test-retest reliability） 對同一群受訪者，在相隔一段適當時間後施測同一份問卷，再比較兩次測量結果的一致程度。若相關程度高，表示問卷測量具有時間上的穩定性。兩次施測間隔應適當，避免太短而使受訪者記得前次答案，也避免太長而使受測特質本身已改變。 2. 內部一致性信度（internal consistency reliability） 檢驗同一量表中，測量同一概念的各題目是否具有一致性。例如，以 Cronbach’s $\alpha$ 評估多題量表的內部一致程度。$\alpha$ 越高，通常表示各題目的一致性越高；但若題目過多或內容重複，也可能使數值偏高，因此仍須配合題目內容判斷。

Question 5

根據過去數年的資料，某國家發現他們的國內生產毛額（GDP）變動率和失業率（UEM）之間有一個線性關係。

在此，我們定義第 $t$ 年的 GDP 變動率（簡記為 $\Delta GDP(t)$ ）如下，其中 $t=1,2,\ldots,8$ ：

\Delta GDP(t)=\frac{GDP(t)-GDP(t-1)}{GDP(t-1)}\times 100\%

以下是該國過去 8 年間的 GDP 變動率和失業率（ $UEM(t)$ ）數值：

$t$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\Delta GDP(t)$	-0.29	2.53	4.03	0.96	-1.68	3.43	2.85	1.76
$UEM(t)$	4.39	4.24	4.18	3.96	4.48	3.92	3.76	3.71

某人以 $\Delta GDP$ 當作自變數、以 $UEM$ 當作因變數，進行單變數之迴歸分析後得到下表的分析結果：

變數	自由度	參數估計（parameter estimation）	標準誤	$t$ 值	$p$ 值
截距項（intercept）	1	4.221	0.124	34.2	$<0.0001$
$\Delta GDP(t)$	1	-0.083	0.045	-1.66	0.021

試求相應於上表之迴歸分析模型，並根據此表結果解釋該國之國內生產毛額和失業率之關係。

Accepted Answer

核心觀念 本題考單一自變數線性迴歸的模型表示，以及迴歸係數的經濟意義與顯著性判讀。 令 $xt=\Delta GDP(t)$、$yt=UEM(t)$，簡單線性迴歸模型為 $$ yt=\beta0+\beta1xt+\varepsilont,\qquad t=1,\ldots,8, $$ 其中 $\beta0$ 為截距、$\beta1$ 為斜率，$\varepsilont$ 為隨機誤差。表中的參數估計是迴歸係數估計值；$t$ 檢定通常用來檢定斜率是否為零： $$ H0:\beta1=0,\qquad H1:\beta1
e 0. $$ 解題方法 將表中的截距估計 $4.221$ 與 $\Delta GDP(t)$ 的係數估計 $-0.083$ 代入迴歸式，得到估計迴歸模型： $$ \widehat{UEM}(t)=4.221-0.083\Delta GDP(t). $$ 若保留誤差項，對應的模型估計式可寫為 $$ UEM(t)=4.221-0.083\Delta GDP(t)+\widehat{\varepsilon}t. $$ 係數為負，表示在此線性模型下，GDP 變動率愈高，失業率的估計值愈低。由於兩者都是以百分比表示，$\Delta GDP$ 增加 $1$ 個百分點時，模型估計的失業率平均減少 $0.083$ 個百分點。截距 $4.221$ 表示當 GDP 變動率為 $0$ 時，模型估計的失業率為 $4.221\%$。 顯著性判讀與表格一致性

108 地方特考四等統計以實例命題考古題詳解

第一題30 分

核心觀念

（一）分層抽樣

（二）系統抽樣

第二題15 分

核心觀念

解題方法

（一）癌症發生率與死亡率的定義

第三題20 分

核心觀念

解題方法

第四題15 分

核心觀念

解題方法

第五題20 分

其他考古題

108 年統計的其他科目

統計《以實例命題》其他年度

108 地方特考四等 統計 以實例命題 考古題詳解

第 一 題30 分

核心觀念

（一）分層抽樣

（二）系統抽樣

第 二 題15 分

核心觀念

解題方法

（一）癌症發生率與死亡率的定義

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

第 四 題15 分

核心觀念

解題方法

第 五 題20 分

其他考古題

108 年統計的其他科目

統計《以實例命題》其他年度

108 地方特考四等統計以實例命題考古題詳解

第一題30 分

第二題15 分

第三題20 分

第四題15 分

第五題20 分