108 地方特考四等 統計 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

離散型隨機變數的期望值是各可能取值與其機率的加權平均：

$$E(X)=\sum_x x f(x)$$

變異數可用 $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 計算，標準差則為變異數的平方根：

$$\sigma_X=\sqrt{Var(X)}$$

函數型隨機變數 $Y=g(X)$ 的期望值可直接依 $X$ 的分配計算：

$$E(Y)=E[g(X)]=\sum_x g(x)f(x)$$

解題方法

（一）求 $X$ 的期望值

將每個取值乘上對應機率後加總：

$$\begin{aligned} E(X) &=1(0.35)+2(0.25)+3(0.15)+4(0.25)\\ &=0.35+0.50+0.45+1.00\\ &=\boxed{2.30} \end{aligned}$$

（二）求 $X$ 的標準差

先計算 $E(X^2)$：

$$\begin{aligned} E(X^2) &=1^2(0.35)+2^2(0.25)+3^2(0.15)+4^2(0.25)\\ &=0.35+1.00+1.35+4.00\\ &=6.70 \end{aligned}$$

因此變異數為：

$$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=6.70-(2.30)^2=1.41$$

標準差為：

核心觀念

本題考驗抽樣方式與機率分配的判斷。10 個零件中有 2 個瑕疵、8 個良品：

• 不歸還抽樣：抽出後不放回，抽取結果彼此相關；可用超幾何分配計算。
• 歸還抽樣：每次抽出後放回，瑕疵機率固定為 $2/10$，各次抽取相互獨立；可用二項分配，或以補事件計算。

解題方法

(一) 不歸還抽樣，恰有 1 個瑕疵

從 2 個瑕疵品中取 1 個，並從 8 個良品中取 2 個；所有取 3 個零件的組合數為 $\binom{10}{3}$。因此：

$$P(X=1) =\frac{\binom{2}{1}\binom{8}{2}}{\binom{10}{3}} =\frac{2\times28}{120} =\frac{7}{15} \approx 0.4667$$

(二) 不歸還抽樣，沒有瑕疵

即 3 個零件全由 8 個良品中取出：

核心觀念

本題考驗兩個母體比例之差的估計與假設檢定。令 $p_1$ 為青少年喜歡流行樂的母體比例，$p_2$ 為喜歡饒舌樂的母體比例；樣本比例分別為 $\hat p_1$、$\hat p_2$。

兩個樣本比例差的點估計量為 $\hat p_1-\hat p_2$。檢定兩母體比例是否相同時，虛無假設下使用合併比例（pooled proportion）估計共同母體比例。

解題方法

（一）估計兩比例之差

流行樂與饒舌樂的樣本比例分別為

$$\hat p_1=\frac{204}{400}=0.51,\qquad \hat p_2=\frac{250}{400}=0.625.$$

因此，喜歡流行樂的比例減去喜歡饒舌樂的比例，其估計值為

$$\hat p_1-\hat p_2=0.51-0.625=-0.115.$$

故估計流行樂喜好比例比饒舌樂低 $0.115$，即低 11.5 個百分點。

（二）兩母體比例差異的檢定

以雙尾檢定判斷兩比例是否有差異：

$$H_0:p_1=p_2,\qquad H_1:p_1\ne p_2.$$

在虛無假設 $p_1=p_2$ 成立時，合併比例估計為

$$\hat p=\frac{204+250}{400+400} =\frac{454}{800}=0.5675.$$

其標準誤為

核心觀念

題目假設強度服從常態分配，樣本數 $n=8$ 且母體變異數未知，因此：

• 檢定母體平均數使用單一樣本 $t$ 檢定，自由度為 $n-1=7$。
• 檢定母體變異數使用卡方檢定，自由度同樣為 $n-1=7$。

兩小題均採顯著水準 $\alpha=0.05$。

解題方法與計算

先計算樣本平均數與樣本變異數：

$$\bar{x}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}x_i =\frac{49.9}{8}=6.2375$$ $$\sum_{i=1}^{8}(x_i-\bar{x})^2=1.10875$$ $$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{8}(x_i-\bar{x})^2}{n-1} =\frac{1.10875}{7}=0.15839,\qquad s\approx0.39798$$

（一）檢定母體平均強度是否超過 6 公斤

「是否超過」表示右尾檢定：

$$H_0:\mu\le 6,\qquad H_1:\mu>6$$

檢定統計量為：

$$t=\frac{\bar{x}-6}{s/\sqrt{n}} =\frac{6.2375-6}{0.39798/\sqrt{8}} \approx1.688$$

在自由度 $7$、右尾顯著水準 $0.05$ 下，臨界值為 $t_{0.95,7}\approx1.895$。由於 $1.688<1.895$，不拒絕 $H_0$；其單尾 $p$ 值約為 $0.068$，亦大於 $0.05$。

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中的三項基本計算：

1. 皮爾森相關係數衡量廣告費 $X$ 與銷售額 $Y$ 的線性關聯方向及強度。
2. 最小平方法以殘差平方和最小為原則，估計迴歸直線 $\hat{Y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1X$。
3. 迴歸線顯著性檢定檢定斜率是否為零。簡單線性迴歸中，斜率的 $t$ 檢定與整體迴歸的 $F$ 檢定等價。

解題方法與計算

先整理計算所需的總和：

廠商	$X$	$Y$	$X^2$	$Y^2$	$XY$
1	12	7	144	49	84
2	15	12	225	144	180
3	8	4	64	16	32
4	10	6	100	36	60
5	8	5	64	25	40
合計	53	34	597	270	396

因此 $n=5$，且

$$\bar X=\frac{53}{5}=10.6,\qquad \bar Y=\frac{34}{5}=6.8.$$

計算離均差平方和與乘積和：

$$S_{xx}=\sum X_i^2-\frac{(\sum X_i)^2}{n} =597-\frac{53^2}{5}=35.2,$$ $$S_{yy}=\sum Y_i^2-\frac{(\sum Y_i)^2}{n} =270-\frac{34^2}{5}=38.8,$$ $$S_{xy}=\sum X_iY_i-\frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n} =396-\frac{53\cdot34}{5}=35.6.$$

（一）相關係數

皮爾森相關係數為

$$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} =\frac{35.6}{\sqrt{35.2\cdot38.8}} \approx 0.964.$$

相關係數為正且接近 $1$，表示這 5 家廠商的廣告費與銷售額呈高度正線性相關。

（二）最小平方估計的迴歸係數

簡單線性迴歸的斜率與截距估計式為

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat{\beta}_0=\bar Y-\hat{\beta}_1\bar X.$$

代入數值：

$$\hat{\beta}_1=\frac{35.6}{35.2}\approx1.0114,$$ $$\hat{\beta}_0=6.8-(1.0114)(10.6)\approx-3.9205.$$

故估計迴歸線為

$$\hat Y=-3.9205+1.0114X.$$

斜率表示在此線性模型下，廣告費每增加 1 百萬元，預測銷售額平均增加約 $1.0114$ 百萬元。

（三）迴歸線顯著性檢定