109 警察特考三等 交通警察人員交通組 交通統計與分析 考古題詳解

核心觀念

本題評量描述統計學中資料之線性轉換（Linear Transformation）對「位置量數（集中趨勢量數、分位數）」與「分散量數（離散趨勢量數）」的影響性質，以及離散程度（差異程度）之比較指標。

設原始變數為 $X$，線性轉換後變數為 $W = aX + b$（其中 $a, b$ 為常數，$a \neq 0$）：

1. 位置量數（Location Measures）：包含平均數（Mean）、中位數（Median）、眾數（Mode）、分位數（Quantiles, $Q_k$）。

• 線性轉換後數值同步縮放並平移： $L(aX + b) = a \cdot L(X) + b \quad (a > 0)$

2. 分散量數（Dispersion Measures）：包含全距（Range, $R$）、四分位距（$IQR$）、標準差（Standard Deviation, $S$）、變異數（Variance, $\text{Var}$）。

• 離散量數僅受乘數 $a$ 的影響，不受常數平移 $b$ 影響： $R(aX + b) = |a| \cdot R(X)$ $S(aX + b) = |a| \cdot S(X)$ $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

3. 差異程度比較：

• 絕對差異（Absolute Dispersion）：以全距、變異數或標準差直接衡量資料的絕對離散大小。
• 相對差異（Relative Dispersion）：消除單位或平均數尺度差異後之比較，使用變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）： $CV = \frac{S}{|\bar{X}|} \times 100\%$

解題方法

已知原始資料 $X$ 的各項統計量：

• 平均數 $\bar{X} = 10$
• 中位數 $Me(X) = 11$
• 眾數 $Mo(X) = 0$
• 第 $3$ 四分位數 $Q_3(X) = 20$
• 全距 $R(X) = 48$
• 標準差 $S(X) = 12 \implies$ 變異數 $\text{Var}(X) = S(X)^2 = 12^2 = 144$

(一) 資料均減 $20$ 元之各項統計量

定義新變數 $Y = X - 20$（即 $a = 1, b = -20$）：

1. 眾數（Mode）： $Mo(Y) = Mo(X) - 20 = 0 - 20 = -20 \text{（元）}$
2. 第 $3$ 四分位數（$Q_3$）： $Q_3(Y) = Q_3(X) - 20 = 20 - 20 = 0 \text{（元）}$
3. 變異數（Variance）： 平移不改變資料點之間的距離與分散程度（$b = -20$ 消失，$a = 1$）： $\text{Var}(Y) = 1^2 \cdot \text{Var}(X) = 144 \text{（元}^2\text{）}$

(二) 資料均減 $10\%$ 之各項統計量

均減 $10\%$ 意即新資料為原資料的 $90\%$，定義新變數 $Z = X \times (1 - 10\%) = 0.9X$（即 $a = 0.9, b = 0$）：

1. 中位數（Median）： $Me(Z) = 0.9 \cdot Me(X) = 0.9 \times 11 = 9.9 \text{（元）}$
2. 全距（Range）： $R(Z) = |0.9| \cdot R(X) = 0.9 \times 48 = 43.2 \text{（元）}$
3. 變異數（Variance）： $\text{Var}(Z) = a^2 \cdot \text{Var}(X) = (0.9)^2 \times 144 = 0.81 \times 144 = 116.64 \text{（元}^2\text{）}$ （亦可由標準差推導：$S(Z) = 0.9 \times 12 = 10.8 \implies \text{Var}(Z) = 10.8^2 = 116.64$）

(三) 兩種分析差異程度之比較

在統計學中，「差異比較」可由「絕對差異」與「相對差異」兩個層面進行分析：

1. 依絕對差異（絕對離散程度）比較： 以變異數（Variance）或標準差（Standard Deviation）作為衡量指標。

• 計算公式：$\text{Var}(W) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$，或 $S(W) = |a| \cdot S(X)$

核心觀念

本題評量機率論基礎在交通工程與事故分析中的應用，核心考核重點包括：

1. 獨立事件（Independent Events）的乘法定理： 若事件 $E_1, E_2, \dots, E_n$ 相互獨立，則交集機率等於各自機率之連乘積： $P(E_1 \cap E_2 \cap \dots \cap E_n) = \prod_{i=1}^n P(E_i)$ 且其個別餘事件（Complementary Events）亦維持相互獨立性。
2. 互斥事件（Mutually Exclusive Events）的加法定理： 若事件之間兩兩互斥，則聯集機率等於個別機率之和： $P\left(\bigcup_{i=1}^k E_i\right) = \sum_{i=1}^k P(E_i)$
3. 條件機率（Conditional Probability）與貝氏定理（Bayes' Theorem）架構： $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$
4. 條件獨立（Conditional Independence）與樣本空間縮減： 在事件彼此獨立的條件下，已知某事件發生，其餘事件之發生機率不受影響。

解題方法

令 $A, B, C, D$ 分別表示路口 A、B、C、D 發生事故之事件。 由題意可知，各事件彼此獨立，且個別發生機率為： $P(A) = 0.2,\quad P(B) = 0.3,\quad P(C) = 0.5,\quad P(D) = 0.4$

對應各路口「未發生事故」之餘事件機率分別為： $P(A^c) = 1 - 0.2 = 0.8$ $P(B^c) = 1 - 0.3 = 0.7$ $P(C^c) = 1 - 0.5 = 0.5$ $P(D^c) = 1 - 0.4 = 0.6$

(一) 僅路口 B 與 D 發生事故之機率

「僅路口 B 與 D 發生事故」代表：路口 B 發生、路口 D 發生，且路口 A 與路口 C 均未發生。 所求事件為 $A^c \cap B \cap C^c \cap D$。

依獨立事件之乘法定理： $P(A^c \cap B \cap C^c \cap D) = P(A^c) \times P(B) \times P(C^c) \times P(D)$ 代入數值： $P(A^c \cap B \cap C^c \cap D) = 0.8 \times 0.3 \times 0.5 \times 0.4 = 0.048$

(二) 若已知僅有一個路口發生事故，則發生於路口 C 之機率

令 $E_1$ 表示「恰有一個路口發生事故」之事件。 $E_1$ 可拆解為四個互斥狀況：

1. 僅路口 A 發生事故： $P(A \cap B^c \cap C^c \cap D^c) = 0.2 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.6 = 0.042$
2. 僅路口 B 發生事故： $P(A^c \cap B \cap C^c \cap D^c) = 0.8 \times 0.3 \times 0.5 \times 0.6 = 0.072$
3. 僅路口 C 發生事故： $P(A^c \cap B^c \cap C \cap D^c) = 0.8 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.6 = 0.168$
4. 僅路口 D 發生事故： $P(A^c \cap B^c \cap C^c \cap D) = 0.8 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.4 = 0.112$

由加法定理，條件事件 $E_1$ 之全機率為： $P(E_1) = 0.042 + 0.072 + 0.168 + 0.112 = 0.394$

核心觀念

本題評量母體平均數之假設定檢定（單一母體、常態母體且母體標準差已知），核心在於釐清不同利益關係人（利害關係者）之研究目的如何轉化為適當的「虛無假設（$H_0$）」與「對立假設（$H_1$）」，進而決定檢定方向（左尾、右尾或雙尾）。

1. 基本設定與抽樣分配： 設電池之使用里程數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，已知母體標準差 $\sigma = 20$。 抽樣樣本數 $n = 49$，樣本平均數 $\bar{X} = 505$。 根據常態分配性質，樣本平均數之抽樣分配為： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ 標準誤（Standard Error）為： $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{49}} = \frac{20}{7} \approx 2.857$

2. 檢定統計量： 在 $H_0: \mu = \mu_0$ 為真之假設下，採用標準常態檢定統計量（$Z$ 檢定）： $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{505 - 500}{20 / 7} = \frac{35}{20} = 1.75$

3. 顯著水準與臨界值（$\alpha = 0.05$）：

• 左尾檢定臨界值：$-z_{0.05} = -1.645$
• 右尾檢定臨界值：$z_{0.05} = 1.645$
• 雙尾檢定臨界值：$\pm z_{0.025} = \pm 1.96$

解題方法與完整推導

(一) 消費保護團體之檢定

1. 假設設定： 製造商宣稱「至少 $500$ 公里」（即 $\mu \ge 500$）。消保團體關心是否「言過其實」，即懷疑電池平均里程數根本未達標（$\mu < 500$）。研究者欲尋求支持的懷疑或挑戰置於對立假設，故建立左尾檢定： $H_0: \mu \ge 500 \quad (\text{或簡記為 } H_0: \mu = 500)$ $H_1: \mu < 500 \quad (\text{宣稱言過其實})$

2. 檢定統計量與拒絕域： 在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，左尾拒絕域為： $C = \{Z \mid Z < -z_{0.05} = -1.645\}$ 檢定統計量之計算值為： $Z^* = \frac{505 - 500}{20 / \sqrt{49}} = 1.75$

3. 決策與結論： 因為 $Z^* = 1.75 > -1.645$（未落在拒絕域內），統計決策為不拒絕 $H_0$。 結論：在 $5\%$ 之顯著水準下，樣本資料沒有足夠證據顯示製造商之宣稱言過其實，尚無法推翻製造商宣稱之有效性。

(二) 製造商品管部門之檢定

1. 假設設定： 品管部門同時擔憂「達不到宣稱而吃官司（$\mu < 500$）」與「超過宣稱而浪費成本（$\mu > 500$）」，亦即品管目標為維持製程規格恰好等於宣稱值，任何雙向偏離均不可接受。因此應建立雙尾檢定： $H_0: \mu = 500 \quad (\text{符合規格，無法律風險且無過度成本})$ $H_1: \mu \neq 500 \quad (\text{偏離規格})$

2. 檢定統計量與拒絕域： 在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，雙尾拒絕域為： $C = \{Z \mid |Z| > z_{0.025} = 1.96\}$ 檢定統計量之計算值為： $Z^* = 1.75$

3. 決策與結論： 因為 $|Z^*| = 1.75 < 1.96$（未落在拒絕域內），統計決策為不拒絕 $H_0$。 結論：在 $5\%$ 之顯著水準下，無充分證據顯示電池之平均里程數顯著偏離 $500$ 公里。品管部門暫時毋須擔心有達不到標準或成本過度浪費之顯著異常。

(三) 製造商行銷部門之檢定

1. 假設設定： 行銷部門欲探討是否能「標示高一點以具競爭力」，亦即尋求統計證據證實電池平均里程數顯著大於 $500$ 公里（$\mu > 500$）。欲證實之新主張置於對立假設，故建立右尾檢定：

核心觀念

本題考「單因子完全隨機設計變異數分析」（one-way ANOVA），比較三種訓練方法的母體平均成績。題目將 12 人隨機分成三組，每組接受一種訓練，因此以組別為單一因子，檢定三組平均數是否相同。

檢定假設為：

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，若 $F>F_{0.05;(k-1,\;N-k)}$，則拒絕 $H_0$。其中 $k$ 是組數，$N$ 是總樣本數。

變異數分析將總變異分成組間變異與組內變異：

（一）比較三種訓練方法的效果

三組平均數及組內平方和如下：

總平均為：

組間平方和：

組內平方和：

自由度分別為 $df_B=3-1=2$、$df_W=12-3=9$，因此：

臨界值 $F_{0.05;(2,9)}\approx4.256$。由於 $4<4.256$，不拒絕 $H_0$。

（二）成績加倍後再比較

將每一筆成績乘以 2，平方和會乘以 $2^2=4$，但自由度不變。因此：